高等代数电子教案 第7章 线性变换

PAGEPAGE1《高等代数》教学教案第7章线性变换授课序号01教学基本指标教学课题第7章第1节线性变换的定义（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点线性变换的定义、常见的线性变换的实例教学难点抽象定义到具体实例的过渡参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉线性变换的定义和基本性质；能够准确判断变换是否为线性变换；熟悉一些常见的线性变换.教学基本内容基本定义定义1设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,𝜎是𝑉的一个变换.如果对于任意的,都有(1),(2),则称𝜎是𝑉的一个线性变换.定义2设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,则以下变换都是𝑉的线性变换:(1),其中任取.称为𝑉的零变换.(2),其中任取.称为𝑉的恒等变换或单位变换.(3)取,定义,对任意.称为𝑉的数乘变换.线性变换的基本性质设𝑉是一个𝑛维线性空间,是𝑉的一组基,𝜎,𝜏都是线性空间𝑉的线性变换.证明:如果,则.三.例题例1设,定义,使得对任意,.证明:𝜎是上的一个线性变换.例2证明:在线性空间𝑃[𝑥]或者中,求导变换是一个线性变换.例3令𝐶(𝑎,𝑏)表示闭区间[𝑎,𝑏]上全体实连续函数空间.定义,使得对任意的,.证明:是𝐶(𝑎,𝑏)的一个线性变换.例4设,定义,使得对任意,都有.证明:是𝑉上一个线性变换.授课序号02教学基本指标教学课题第7章第2节线性变换的运算（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点线性变换的加法、乘法、数乘及逆运算的定义及运算规律教学难点线性变换的逆变换也是线性变换参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉线性变换的加法、乘法与数乘运算的定义；熟悉线性变换可逆的定义及线性变换的多项式的定义熟悉线性变换运算的10条基本性质；了解线性变换的乘法不满足交换律.教学基本内容基本定义定义1.设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,设对任意的，定义的乘法运算为定义数与的数乘运算为定义与的加法运算为定义2.设𝜎是线性空间𝑉的一个变换,如果存在𝑉的一个变换𝜏使得,则称𝜎可逆,称𝜏是𝜎的逆变换,记作.定义3.设,任取,规定称𝑓(𝜎)为线性变换𝜎的多项式基本性质命题1.对任意的，有（1）；（2）；（3）加法满足结合律即（4）加法满足交换律即（5）零变换为加法的零元素即；（6）每个元素都存在负元素，即是的负元素，满足（7）;(8);(9);(10).命题2.设,如果𝜎可逆,则.三．例题例1.在中,和是它的两个线性变换.证明:.授课序号03教学基本指标教学课题第7章第3节线性变换与矩阵（3课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点线性变换在某组基下矩阵的定义、同阶方阵相似的定义及线性变换和矩阵之间的对应关系教学难点线性变换和矩阵之间的对应关系参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉有限维线性空间的线性变换在某组基下矩阵的定义；熟悉两个同阶方阵相似的定义；能够理解和掌握有限维线性空间的线性变换构成的线性空间与同数域上阶数等于空间维数的所有方阵构成的线性空间之间的同构关系.理解和掌握线性变换在不同基下的矩阵之间的关系--矩阵的相似定义与基本性质。教学基本内容基本定义定义1.设是数域上的一个维线性空间,是的一组基.任取,有其中称矩阵𝐴为线性变换𝜎在基下的矩阵.定义2.设,如果存在可逆矩阵𝑋,使得,则称𝐴与𝐵相似.基本性质命题1设𝑉是数域𝑃上一个𝑛维线性空间,是𝑉的一组基.令使得对任意,这里𝐴是𝜎在基下的矩阵.则（1）Φ是一个单映射.（2）Φ是一个满映射.（3）Φ是L(𝑉)到的一个同构映射.（4）。（5）如果𝜎可逆,则Φ(𝜎)可逆且.命题2设线性变换𝜎在基下的矩阵是𝐴,向量𝜉在基下的坐标是,则𝜎(𝜉)在基下的坐标是.命题3设𝑛维线性空间𝑉的线性变换𝜎在两组基（1）和,（2）下的矩阵分别为𝐴和𝐵,且(1)到(2)的过渡矩阵为𝑋,则.命题4设.如果𝐴与𝐵相似,即存在可逆矩阵𝑋使得,则以下结论成立:(1)|𝐴|=|𝐵|;(2)𝑅(𝐴)=𝑅(𝐵);(3)对任意正整数𝑚,都有;(4)任取.命题5线性变换在不同基下的矩阵相似.反之,两个相似矩阵可以看成同一个线性变换在两组基下的矩阵.三．例题例1在中,取它的一组基.求:求导变换在这组基下的矩阵.例2设𝑉是数域𝑃上𝑛维线性空间,且𝜎在𝑉的基下的矩阵为𝐴.证明：任取,𝑓(𝜎)在这组基下的矩阵为𝑓(𝐴).例3设𝑉是数域𝑃上一个二维线性空间,是一组基,线性变换𝜎在下的矩阵是令.求:(1)𝜎在下的矩阵,(2).授课序号04教学基本指标教学课题第7章第4节特征值与特征向量（3课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点线性变换的特征值和特征向量的定义、性质及求法教学难点Hamilton-Cayley定理参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉线性变换的特征值和特征向量的定义；熟悉特征多项式和零化多项式的定义理解并掌握求特征值与特征向量的过程；熟悉Hamilton-Cayley定理.教学基本内容基本定义定义1.设𝜎是数域𝑃上线性空间𝑉的一个线性变换.如果存,使得则称是𝜎的一个特征值,𝜉称为𝜎的属于特征值的一个特征向量.定义2.设,𝜆是一个未定元,称为𝐴的特征矩阵.它的行列式称为𝐴的特征多项式.定义3.设𝜎是数域𝑃上线性空间𝑉的一个线性变换,.如果,则称𝑓(𝑥)为𝜎的一个零化多项式.类似地,如果且𝑓(𝐴)=𝑂,则称𝑓(𝑥)为矩阵𝐴的一个零化多项式.基本性质命题1设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,是𝜎的一个特征值,则是𝑉的一个子空间,称为𝑉的属于特征值的特征子空间.命题2设.证明:0是𝐴的一个特征值当且仅当.命题3设.如果𝐴与𝐵相似,则.命题4.(Hamilton-Cayley定理)设是𝐴的特征多项式,则.例题设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,,求数乘变换的特征值和特征向量.例2.求线性空间𝑃[𝑥]的求导变换𝒟的特征值和特征向量.例3.设.证明:(1)对于任意的正整数𝑘,都有;(2)任取,都有.特别地,如果,可得.例4.设线性变换𝜎在基下的矩阵是,求𝜎的特征值与特征向量.授课序号05教学基本指标教学课题第7章第5节矩阵的对角化（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点线性变换及矩阵可对角化的充要条件教学难点性变换对应不同特征值的特征向量之间的关系参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求1.熟悉线性变换和矩阵可对角化的定义；2.熟悉线性变换可对角化的充要条件；3.理解线性变换对应不同特征值的特征向量之间的关系。教学基本内容基本定义定义设𝑉是一个线性空间,.如果𝜎在𝑉的某组基下的矩阵为对角矩阵,则称𝜎可对角化.如果矩阵𝐴相似于对角矩阵,则称𝐴可对角化.二．可对角化的判定定理和基本性质命题1.设,则𝜎可对角化的充分必要条件是它有𝑛个线性无关的特征向量.命题2.设𝜎是𝑛维线性空间𝑉的一个线性变换,是𝜎的𝑠个互不相同的特征值,是属于的特征向量,则向量组线性无关.命题3.设𝜎是𝑛维线性空间𝑉的一个线性变换,是𝜎的𝑠个互不相同的特征值,是属于的线性无关的特征向量,则向量组线性无关.三.例题例1.证明：线性空间的线性变换在任何一组基下的矩阵都不是对角形.例2.计算斐波那契数列的通项.授课序号06教学基本指标教学课题第7章第6节线性变换的值域与核（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点线性变换的值域与核的定义、性质和它们的维数公式教学难点值域与核的的维数公式参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求掌握线性变换的值域与核的定义；掌握线性变换的秩与零度的定义；理解线性变换的核与特征子空间的关系；掌握线性变换的值域与核的维数公式.教学基本内容基本定义定义1.设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,.令称𝜎(𝑉)和分别为线性变换𝜎的值域与核.定义2.设𝑉是线性空间,.称𝜎(𝑉)的维数为𝜎的秩,的维数为𝜎的零度.基本性质命题1.𝜎(𝑉)和都是𝑉的子空间.命题2.当且仅当0是𝜎的一个特征值,且,其中表示特征值0的特征子空间.命题3.设𝜎是数域𝑃上𝑛维线性空间𝑉的线性变换,是𝑉的一组基,𝜎在这组基下的矩阵是𝐴.下列结论成立：(1);(2)𝜎的秩等于𝐴的秩,即.命题4.设𝜎是数域𝑃上𝑛维线性空间𝑉的线性变换.则𝜎𝑉的一组基的原像及的一组基合起来是𝑉的一组基.由此可得.三.例题例.设,𝒟是𝑉的求导变换.求𝒟的值域与核.授课序号07教学基本指标教学课题第7章第7节线性变换的不变子空间（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点线性变换的不变子空间的定义、性质与判定教学难点不变子空间的判定参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求掌握线性变换的不变子空间的定义、性质与判定；掌握不变子空间的特例-值域、核、特征子空间。教学基本内容基本定义定义设𝜎是数域𝑃上线性空间𝑉的线性变换,𝑊是𝑉的子空间.如果任取,都有,则称𝑊是𝜎的不变子空间,简称𝜎-子空间.不变子空间的基本性质命题1.设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,.证明:如果都是𝜎的不变子空间,则也是𝜎的不变子空间.命题2.设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,.取𝑉的一个向量组,则是𝜎的不变子空间当且仅当.例题例1.线性空间𝑉的平凡子空间𝑉和{0}是它的任何一个线性变换的不变子空间.例2.线性空间𝑉的任何一个子空间都是它的数乘变换的不变子空间.例3.设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,,是𝜎的一个特征值.证明:和都是𝜎的不变子空间.例4.设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,，且.证明：都是的不变子空间.同样道理，都是的不变子空间.授课序号08教学基本指标教学课题第7章第8节线性空间的直和分解（3课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点幂零线性变换的定义、性质及若尔当块及若尔当形矩阵的定义教学难点线性空间的直和分解定理参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉幂零线性变换的定义、性质；熟悉若尔当块及若尔当形矩阵的定义；熟悉线性空间的直和分解定理；了解有限维复线性空间上线性变换和复矩阵的若尔当标准形存在定理。教学基本内容基本定义定义1.设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,.如果存在正整数𝑘使得,则称𝜎是𝑉的一个幂零线性变换.定义2.形为的矩阵称为一个𝑘-级若尔当块,其中.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵,其中中有一些可以相同.幂零线性变换的基本性质命题1.设𝑉是数域𝑃上一个线性空间,.如果存在𝑉中非零向量𝜉和正整数𝑘,使得,但是,则向量组线性无关.命题2.幂零线性变换只有特征值0.命题3.设𝑉是数域𝑃上一个非零的线性空间,𝜎是𝑉的一个幂零线性变换,则.命题4.设𝑉是数域𝑃上一个𝑛维线性空间,是𝜎的一个零化多项式且其中是𝑃中互不相同的𝑠个常数.令则以下结论成立:(1);(2)𝑉可以分解成𝜎-子空间的直和.命题5.设𝜎是𝑛-维线性空间𝑉的一个幂零线性变换,则𝑉中必然有下列形式的一组向量作为基：于是𝜎在这组基下的矩阵为命题6.设𝜎是复数域上𝑛维线性空间𝑉的一个线性变换,则𝑉中一定存在一组基,𝜎在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵,称为𝜎的若尔当标准形.命题7.每个𝑛阶复矩阵𝐴一定与一个若尔当形矩阵相似.这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是由𝐴唯一决定,称为𝐴的若尔当标准形.授课序号09教学基本指标教学课题第7章第9节最小多项式（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点最小多项式的定义及性质教学难点矩阵可对角化与最小多项式的关系参考教材自编《高等代数》；《高等代数》作业布置课后习题大纲要求掌握最小多项式的定义及性质；理解矩阵的最小多项式和特征多项式的关系；会求矩阵的最小多项式教学基本内容基本定义定义设,如果首项系数为1的多项式满足以下条件:(1),(2)任取,只要,都有,则称𝑚(𝑥)是矩阵𝐴的最小多项式.最小多项式的基本性质命题1.矩阵𝐴的最小多项式唯一.命题2.设𝑚(𝑥)是𝐴的最小多项式,则𝑓(𝑥)是𝐴的零化多项式的充分必要条件是.命题3.设是一个准对角矩阵,并设的最小多项式分别为,则𝐴的最小多项式为与的最小公倍式.命题4.𝑘阶若尔当块的最小多项式为.命题5.相似矩阵的最小多项式相同.命题6.设,则𝐴与对角矩阵相似的充分必要条件为𝐴的最小多项式是𝑃上互素的