2017考研数学三期中试卷｜附解析版

2017考研数学三期中试卷｜附解析版一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)在点x₀处可导，且极限lim_{h→0}\frac{f(x₀+h)-f(x₀)}{h}=3，则下列说法正确的是（）A.f(x)在x₀处必连续但未必可导B.f(x)在x₀处的导数f'(x₀)可能为-3C.曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线斜率必为3D.f(x)在x₀处的二阶导数f''(x₀)必存在且等于92.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)在x=2处为零，则实数a与b的值分别为（）A.a=6,b=9B.a=4,b=5C.a=5,b=4D.a=9,b=63.计算不定积分∫(x^2+2x+3)e^xdx，其结果可以表示为（）A.(x^2+2x)e^x+CB.(x^2+2x+2)e^x+CC.(x^2+2x+3)e^x+CD.(x^2+2)e^x+C4.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则下列结论一定成立的是（）A.f(x)在[0,1]上必存在最大值B.存在x₁,x₂∈[0,1]，使得x₁+x₂=1且f(x₁)=f(x₂)C.f(x)在[0,1]上必存在零点D.f(x)在[0,1]上必单调5.已知级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，且a_n>0，则下列级数中必定收敛的是（）A.∑_{n=1}^∞(a_n+1)B.∑_{n=1}^∞\frac{a_n}{n}C.∑_{n=1}^∞a_n^2D.∑_{n=1}^∞\frac{1}{a_n}6.设函数f(x,y)=x^2y-y^3，则该函数在点(1,1)处的全微分df等于（）A.2xdx-3y^2dyB.2xdx+3y^2dyC.(2x-3y^2)dx+(x^2-3y^2)dyD.(2x+3y^2)dx-(x^2+3y^2)dy7.计算二重积分∬_D(x^2+y^2)dxdy，其中区域D由曲线y=x和y=x^2围成，其值为（）A.\frac{1}{12}B.\frac{1}{6}C.\frac{1}{3}D.\frac{1}{4}8.已知向量场F(x,y,z)=(y^2z,xz^2,2xyz)，则该向量场的散度∇•F在点(1,1,1)处的值等于（）A.3B.6C.9D.129.微分方程y''-4y'+3y=e^x的通解形式为（）A.y=C₁e^x+C₂e^3x+\frac{1}{2}xe^xB.y=C₁e^x+C₂e^3xC.y=C₁e^x+C₂e^3x+\frac{1}{6}e^xD.y=C₁e^x+C₂xe^3x10.已知矩阵A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}，则其伴随矩阵A等于（）A.\begin{pmatrix}4&-6\\-2&3\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}-4&6\\2&-3\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}3&-2\\-6&4\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}-3&2\\6&-4\end{pmatrix}二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.极限lim_{x→0}\frac{\sinax}{\tanbx}=\frac{5}{3}，则实数a与b的比值为______。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为______。3.若函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1，lim_{x→0}\frac{f(x)-1}{x}=2，则f'(0)=______。4.不定积分∫(e^x+\frac{1}{x})dx=______+C。5.级数∑_{n=1}^∞\frac{(-1)^n}{n^p}收敛的充分必要条件是p>______。6.函数f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y的驻点坐标为______。7.若函数y=x^2在区间[1,2]上用n等分插值，则拉格朗日插值余项R(x)的表达式为______。8.向量场F(x,y,z)=(x,y,z)的旋度∇×F在点(1,1,1)处的值等于______。9.微分方程y''+y=0的通解为______。10.矩阵A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}的秩rank(A)=______。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题后括号内，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上必存在最大值和最小值。（）2.若级数∑_{n=1}^∞a_n发散，则级数∑_{n=1}^∞a_n^2也必定发散。（）3.若函数f(x,y)在某点(x₀,y₀)处取得极值，且偏导数f_x(x₀,y₀)和f_y(x₀,y₀)都存在，则必有f_x(x₀,y₀)=0且f_y(x₀,y₀)=0。（）4.若向量场F(x,y,