2017年全国统考数学二期中试卷（名师编写）

2017年全国统考数学二期中试卷（名师编写）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x³-1=0}，则A∩B等于（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0}解析：集合A由方程x²-3x+2=0解得x=1或x=2，即A={1,2}；集合B由方程x³-1=0解得x=1或x=ω或x=ω²（ω为1的三次单位根），其中ω和ω²为虚数，故A∩B={1}，选A。2.函数f(x)=lg(x²-2x+3)在区间[-1,3]上的最小值是（）A.0B.lg2C.lg3D.lg1解析：函数定义域为x²-2x+3>0恒成立，故定义域为R。令t=x²-2x+3，对称轴x=1，区间[-1,3]上t在x=-1时取最小值3，在x=3时取最大值6，故f(x)在x=-1时取最小值lg3，选C。3.若直线l：ax+by+c=0与圆O：x²+y²=r²相切，则（）A.a²+b²=r²B.a²+b²=2r²C.|a|+|b|=rD.|a|+|b|=2r解析：直线与圆相切的条件为圆心到直线距离等于半径，即|ac|/√(a²+b²)=r，化简得a²+b²=|c|²=r²，故a²+b²=r²，选A。4.已知等差数列{aₙ}中，a₁+a₅=10，a₂+a₄=6，则该数列的前10项和为（）A.30B.40C.50D.60解析：由a₁+a₅=2a₃=10得a₃=5，由a₂+a₄=2a₃=6得a₃=3矛盾，故原题数据错误，无法作答。5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于y轴对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A.kπ+π/2B.kπ-π/2C.kπD.kπ+π解析：函数图像关于y轴对称需满足ωx+φ=kπ+π/2，周期为π即ω=2，故φ=kπ+π/2，选A。6.已知三棱锥D-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，点D到底面ABC的距离为h，则（）A.V=S•h/3B.V=S•h/2C.V=2S•h/3D.V=3S•h/2解析：三棱锥体积公式为V=S•h/3，选A。7.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）A.8，-8B.10，-2C.10，-8D.8，-2解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-8，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=0，故最大值10=f(2)，最小值-8=f(-2)，选C。8.已知圆C₁：x²+y²-2x+4y-4=0与圆C₂：x²+y²+4x-2y+k=0相切，则k的值为（）A.8或-8B.12或-12C.16或-16D.20或-20解析：圆C₁标准式为(x-1)²+(y+2)²=9，圆心(1,-2)，半径3；圆C₂标准式为(x+2)²+(y-1)²=5+k，圆心(-2,1)，半径√(5+k)。两圆外切时3+√(5+k)=√(13)，解得k=8；内切时|3-√(5+k)|=√(13)，解得k=-8，故k=±8，选A。9.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.eB.e²C.1/eD.1/e²解析：f'(x)=e^x-a，x=1处取得极值需f'(1)=e-a=0，故a=e，选A。10.已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，AA₁=3，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为（）A.√2B.√3C.2√2D.3√2解析：直三棱柱中平面BCC₁B₁即为底面BCB₁C₁的延长面，点A₁在AA₁上，投影为A，BC=2，CC₁=3，高为√(1²+2²)=√5，故点A₁到平面距离为√5•AA₁/BC=3√2，选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足z²+2z+3=0，则|z|等于__________。参考答案：√2解析：z=-1±√2i，|z|=√((-1)²+(√2)²)=√3，原题数据错误，正确答案应为√3。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为__________。参考答案：3解析：分段函数f(x)={-2x-1|x<-2，3|-2≤x≤1，2x+1|x>1}，最小值在x=1时取得为3。3.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=1/3，则cosC等于__________。参考答案：-5/6解析：cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-1/2×1/3+√(1-1/4)×√(1-1/9)=-5/6。4.已知圆O：x²+y²=r²与直线l：y=kx+1相切，则k²等于__________。参考答案：r²-1解析：圆心到直线距离|1|/√(1+k²)=r，故k²=r²-1。5.已知等比数列{aₙ}中，a₃=1，a₆=4，则a₁等于__________。参考答案：1/2解析：q³=(a₆/a₃)=4，q=√2，a₁=a₃/q²=1/(√2)²=1/2。6.不等式|x-1|+|x-2|<3的解集为__________。参考答案：(0,4)解析：分段函数f(x)={2x-3|x<1，1<x≤2，4-2x|x>2}，解得0<x<4。7.已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则向量a+b的模长为__________。参考答案：√10解析：a+b