2018年全国统考数学一习题集（附解析版）

2018年全国统考数学一习题集（附解析版）一、单项选择题（总共10题，每题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上单调递增，若对任意x1,x2∈I(x1＜x2)，都有f(x1)＜f(c)＜f(x2)，则实数c的取值范围一定是（）A．x1＜c＜x2B．c∈(x1,x2)C．c=x1或c=x2D．c∈[x1,x2]解析：由f(x)单调递增可知，f(c)介于f(x1)与f(x2)之间时，必有x1＜c＜x2，排除C、D选项；若c取x1或x2，则f(c)=f(x1)或f(c)=f(x2)，不满足f(c)介于两者之间，排除C；由单调性可知c必在x1与x2之间，但若c取端点值则不满足f(x1)＜f(c)＜f(x2)，故正确选项为A。2.极限lim(x→0)sin(2x)cos(3x)/x²的值等于（）A．5B．3C．2D．1解析：利用三角函数乘法公式展开原式为lim(x→0)(2sin(x)cos(x)cos(3x))/x²，进一步变形为2lim(x→0)(sin(x)/x)cos(x)cos(3x)=2×1×1×1=2，故选C。3.设函数f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=2，则极限lim(x→0)(xf'(x)+f(x))/x²的值等于（）A．1B．2C．3D．4解析：由洛必达法则可知原式=lim(x→0)(f'(x)+xf''(x)+f'(x))/2x=lim(x→0)(2f'(x)+xf''(x))/2=f''(0)+f'(0)=4，故选D。4.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|（k为常数），则f(x)在[a,b]上（）A．可导B．必为常数C．单调递增D．必为线性函数解析：由条件可知f(x)满足利普希茨条件，必为一致连续函数，但未必可导（如分段线性函数），也未必为常数或线性函数，故选C。5.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1，f'(0)=2，则函数g(x)=|f(x)-f(0)|在x=0处的导数等于（）A．2B．0C．不存在D．-2解析：g(x)=|f(x)-1|，其左右导数分别为lim(h→0⁺)(f(h)-1)/h=f'(0)-1=1，lim(h→0⁻)(1-f(h))/h=-f'(0)=-2，左右导数不相等，故导数不存在，选C。6.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且对任意x∈[0,1]，都有f(x)≥0，若∫[0,1]f(x)dx=1，则下列结论一定成立的是（）A．f(x)在[0,1]上取到最大值大于1B．f(x)在[0,1]上取到最小值小于0C．存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=1D．f(x)在[0,1]上必为常数函数解析：由连续函数性质可知f(x)在[0,1]上必有最值，但最值未必等于1，也可能在端点取到，排除A；由f(x)≥0可知最小值非负，排除B；若f(x)为常数函数则必等于1，但未必为常数函数，排除D；由积分值等于1可知f(x)必在某点取到值1，选C。7.设函数f(x)在区间I上连续，且对任意x1,x2∈I，都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则f(x)在I上必满足（）A．f(x)为常数函数B．f(x)为单调函数C．f(x)的导数存在D．f(x)为凸函数解析：由条件可知f(x)满足利普希茨条件，必为一致连续函数，但未必可导（如分段线性函数），也未必单调或为凸函数，排除B、D；若f(x)为常数函数则满足条件，但未必为常数函数，排除A；正确选项为C，由利普希茨条件可得f(x)的导数存在。8.设函数f(x)在点x=0处三阶可导，且f(0)=0，f'(0)=0，f''(0)=0，f'''(0)=1，则函数F(x)=x²f(x)/e^x在x=0处的导数等于（）A．-1B．0C．1D．2解析：由高阶导数定义可知F'(0)=lim(h→0)(h²f(h)/e^h)/h=lim(h→0)hf(h)/e^h=lim(h→0)f(h)/e^h=0，故选B。9.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且对任意x∈[0,1]，都有f(x)≥0，若∫[0,1]f(x)dx=1，则下列结论一定成立的是（）A．f(x)在[0,1]上取到最大值大于1B．f(x)在[0,1]上取到最小值小于0C．存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=1D．f(x)在[0,1]上必为常数函数解析：由连续函数性质可知f(x)在[0,1]上必有最值，但最值未必等于1，也可能在端点取到，排除A；由f(x)≥0可知最小值非负，排除B；若f(x)为常数函数则必等于1，但未必为常数函数，排除D；由积分值等于1可知f(x)必在某点取到值1，选C。10.设函数f(x)在区间I上连续，且对任意x1,x2∈I，都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|²，则f(x)在I上必满足（）A．f(x)为常数函数B．f(x)为单调函数C．f(x)的导数存在D．f(x)为凸函数解析：由条件可知f(x)满足更强的利普希茨条件，必为一致连续函数，且必为常数函数，排除B、C、D；正确选项为A，由条件可得f(x)为常数函数。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1，f'(0)=2，则极限lim(x→0)(e^x-1-f(x))/x²的值等于________。参考答案：-1/2解析：由泰勒展开e^x=1+x+x²/2+o(x²)，f(x)=1+2x+o(x)，原式=lim(x→0)((x