2022数学三期中试卷（含答案详解）

2022数学三期中试卷（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{2}解析：集合A={x|x^2-3x+2=0}={1,2}，由B⊆A，可得B的可能情况为：B=∅，B={1}，B={2}，B={1,2}。当B=∅时，Δ=a^2-4<0，解得-2<a<2；当B={1}时，代入x=1得a=2；当B={2}时，代入x=2得a=4（舍去）；当B={1,2}时，Δ=a^2-4=0且1+a+1=0或4-2a+1=0，解得a=-2。综上，a的取值集合为{-2,1,2}，故选项D正确。2.函数f(x)=√(x-1)的定义域为（）A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.[-1,+∞)解析：由x-1≥0，解得x≥1，故函数f(x)=√(x-1)的定义域为[1,+∞)，故选项B正确。3.若sin(α+β)=1/2，cos(α-β)=1/2，且α∈(0,π/2)，β∈(π/2,π)，则tan(α-β)的值为（）A.1/3B.3C.-3D.-1/3解析：由α∈(0,π/2)，β∈(π/2,π)，可得α-β∈(-π/2,π/2)，α+β∈(π,3π/2)。由sin(α+β)=1/2，可得α+β=5π/6或11π/6（舍去）。由cos(α-β)=1/2，可得α-β=π/3。故tan(α-β)=tan(π/3)=√3，故选项B正确。4.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3+a_7=12，则S_9的值为（）A.54B.72C.108D.144解析：由等差数列性质可得a_3+a_7=2a_5=12，故a_5=6。由S_9=9/2×(a_1+a_9)=9/2×(a_3+a_7)=9/2×12=54，故选项A正确。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值为（）A.4B.3C.2D.1解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0，解得x=1±√(1/3)。由x∈[-1,3]，可得驻点x_1=1-√(1/3)，x_2=1+√(1/3)。计算f(-1)=-4，f(1-√(1/3))=4-2√(3)，f(1+√(1/3))=4+2√(3)，f(3)=2。比较可得最大值为f(1+√(1/3))=4+2√(3)，故选项D正确。6.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆C的圆心坐标为（）A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(-2,1)解析：圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，故圆心坐标为(1,-2)，半径为2，故选项A正确。7.已知函数f(x)=2^x+1/x，则f(x)在区间(0,+∞)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.非单调解析：f'(x)=2^x•ln2-1/x^2，当x>0时，2^x>0，ln2>0，故2^x•ln2>0；同时1/x^2>0，故f'(x)=2^x•ln2-1/x^2的符号取决于2^x•ln2与1/x^2的大小关系。当x=1时，2^1•ln2-1/1^2=2ln2-1>0（ln2≈0.693）；当x=2时，2^2•ln2-1/2^2=4ln2-1/4≈2.693>0。故f'(x)>0，故f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，故选项A正确。8.已知直线l的方程为y=2x+1，则直线l的斜率为（）A.1B.2C.-2D.-1解析：直线l的方程为y=2x+1，故斜率为2，故选项B正确。9.已知三角形ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=5，则三角形ABC的面积为（）A.6B.12C.15D.24解析：由a^2+b^2=c^2，可得三角形ABC为直角三角形，直角边为3和4，故面积为1/2×3×4=6，故选项A正确。10.已知函数f(x)=sin(x+π/6)，则f(x)的最小正周期为（）A.2πB.πC.4πD.π/2解析：函数f(x)=sin(x+π/6)的周期与sin(x)相同，故最小正周期为2π，故选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x^2-4x+3<0}，则A∩B=________。解析：由x^2-4x+3<0，解得1<x<3，故B=(1,3)。由A=[1,3]，B=(1,3)，可得A∩B=(1,3)。2.已知角α的终边经过点P(√3,-1)，则cosα=________。解析：由x=√3，y=-1，可得r=√(x^2+y^2)=2，故cosα=x/r=√3/2。3.已知等比数列{a_n}的公比为q，若a_2=6，a_4=54，则q=________。解析：由a_4=a_2•q^2，可得54=6q^2，解得q=±3，故q=3。4.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a=________。解析：f'(x)=3x^2-a，由f'(1)=0，可得3-a=0，解得a=3。5.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，则圆C到直线x-y+4=0的距离为________。解析：圆心(2,3)到直线x-y+4=0的距离d=|2-3+4|/√(1^2