武理工高等机构学课件第3章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法

第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法学习目标共同点的坐标变换刚体的定点转动方向余弦矩阵的导数刚体的瞬时转动不共原点的坐标变换刚体的一般运动用矩阵法研究复杂的相对运动3.13.23.33.4坐标变换矩阵的推导方向余弦矩阵的性质方向余弦矩阵的表示方向余弦矩阵的应用方向余弦矩阵的一次导数和角速度矩阵方向余弦矩阵的二次导数和角加速度矩阵不共原点的坐标变换刚体的位移矩阵和螺旋位移参数用逆矩阵云算法求刚体的位移矩阵位置、速度、加速度封闭性的矩阵方程式3.1共原点的坐标变换和刚体的定点的转动3.1.1坐标变换矩阵的推导——方向余弦矩阵两组共原点的坐标,i为旧系，j为新系。

图3.1坐标变换示意图

(3-1)(3-2)

(3-3)

图3.1坐标变换示意图

写成矩阵形式：

（3-4）方阵中的每个元素都是坐标方向之间的余弦，所以叫做方向余弦矩阵

(3-6)对于两个没有相对旋转的坐标系（空间平移）,则有：

3.1.2方向余弦矩阵的性质也就是：

2.方向余弦矩阵中9个元素中，只有3个是独立的，各元素之间必须满足下面6个

关系式。任一列元素的平方和为1另外，由于三个坐标是两两垂直的1列乘2列由于存在6个关系式，只有3个彼此不在同一行或同一列的元素才是独立的。

图3.2坐标变换示意图23．方向余弦矩正为正交矩阵

4．方向余弦矩阵的行列式等于1

对(3-9)两边都取行列式，由于故：

3.1.3方向余弦矩阵的表示

(3-11)1.绕一个坐标轴旋转的坐标变换

(2)绕x、y轴旋转

(3-12)2.两个坐标轴旋转的坐标变换

图3.4绕两个坐标轴旋转的坐标变换

(3-14)(3-13)3.任意旋转的坐标变换：

共原点的坐标变换的一般形式，就是任意旋转的坐标变换，根据以前讨论的方向余弦矩阵的性质，知道9个元素中只有3个是独立的。任意给定3个不在同一行或同一列的3个元素，其它元素就随之确定，可根据前面给定的6个方程求出。

但是，这要解6个联立的二次方程式，比较困难。接下来介绍确定方向余弦矩阵的两种方法。(1)用三个欧拉角表示的坐标变换矩阵

图3.5三个欧拉角表示的坐标变换(2)用绕某任意轴的旋转角表示的坐标变换矩阵

因此有：(3-16)应用方向余弦矩阵的性质2，6个未知数，6个方程，可求解。

将（3-16）式3个矩阵相乘展开，并化简可得：

3.1.4

刚体的定点转动

3．1．5方向余弦矩阵的应用1.进行点的坐标或矢量的坐标轴分量的变换；2.表达和计算矢量的方向余弦；

用来推导和计算矢量投影，矢量交角及公垂线的方向；

这些在求机构中速度、加速度、力、力矩等矢量时常用到。3.

研究刚体的定点转动3.2方向余弦矩阵的导数和刚体的瞬时转动3.2.1方向余弦矩阵的一次导数和角速度矩阵

（3-29）

（3-30）

（3-31）

(3-9)(3-32)(3-33)(3-34)(3-45)

3．角速度矩阵的计算（3-8）（3-29）

将（3-30）展开，同理，可以得到坐标系i中，系j对系i的角速度列阵。

3.2.2

方向余弦矩阵的二次导数和角加速度矩阵（3-40）

（3-41）

对（3-34）、（3-35）求导

两个不同的坐标系中角加速度矩阵的变换关系由（3-40）、（3-42）可以推导出：

3.2.3

刚体转动中，点的速度和加速度共原点的两坐标系，点的坐标变换公式为：

(3-45)

若利用（3-30）、（3-40）

3.3

不共原点的坐标变换和刚体的一般运动3.3.1

不共原点的坐标变换J坐标系相对于i坐标系来讲，除了转动外，还有平移，不共原点。

图3.6不共原点的坐标变换两个坐标系之间的坐标变换矩阵表达式，相对于共原点的两坐标系来说，增加了一项平移。即：式（3-58）可简写为4阶矩阵形式，点的坐标变换可以用4阶矩阵形式表达。

3.3.2

刚体的位移矩阵和螺旋位移参数以上的坐标变换关系，可以用来研究刚体的一般运动

i系——研究刚体时的参考系

j系——代表刚体运动

图3.7螺旋运动

3.3.3

用逆矩阵运算法求刚体的位移矩阵1.一般空间位移矩阵的求法则：

A、B、C三点构成空间中的一个平面，第4点D则不在该平面上。D点可以取过该平面上的一个点（如c点）且与ABC平面垂直的法线上。2.平面特例以上有关刚体位移矩阵公式，同样适用于研究在xy平面有限位移的平面刚体。例：已知平面刚体上A、C两点的两个位置，

1）以A、C为直角边作一个等腰△ACD确定D点

代入已知数据：

3.4刚体一般运动中，点的速度和加速度点的坐标变换公式：（3-58）求导可得到P点在i系中速度和加速度

3.5

用矩阵法研究复杂的相对运动3.5.1

复杂相对运动中的位置、速度、加速度表达式图3.8复杂相对运动示意图1有0，1，2，…，m个坐标系做复杂相对运动；0—

—固定坐标系。

可以写出逆推形式的方程式：

该式子展开后的结果与（3-107）相同利用公式（3-29）公式（3-30）对（3-107）求导可得到p点的绝对速度

…（3-109）

也可以通过对（3-108）式进行求导，得到用4阶矩阵计算的p点绝对速度表达式···(3-110)

式中：（ij=01;02;…;m-1,m）

···(3-111)

则得到刚体绕顶点作复杂相对转动时的运动方程式。

3.5.2

封闭性的矩阵方程式如果最后一个刚体m与0重合，组成一个封闭链形式，此时，由（3-107）式可以得到：（3-116）四阶矩阵即：（3-117）

图3.9复杂相对运动示意图2

（3-116）（3-117）两式表明，对于封闭链形式的坐标系系统，从0系开始，经过1、2、…、m-1、m（即0）一个封闭的环形路线，又回到0系，称为封闭性的矩阵方程式。(118）式表明，对于封闭链式的坐标系系统，无论按逆时针路线还是按照顺时针路线都可以达到

坐标系，也是一种表达封闭形的封闭性矩阵方程式。

相等矩阵中，对应的元素应相等。因此，由封闭性的矩阵方程式，一般得到6个独立的三角方程式。右乘逆阵，上式又可以写为：（3-118）

六连杆压力机的分析与综合案例分析图1六连杆压机机构简图

图2六连杆压机机构矢量图

将（1）式展开并合并同类项，可以求出(4)(5)这里，(6)(7)(8)

IHI摆式飞剪剪切机构机构分析与综合

同步机构a.位置分析：

图1同步机构—双导杆机构工作简图b.角速度和滑块相对导杆的滑动速度分析：

剪切本体飞剪本体是一个较复杂的3个自由度十杆机构，是由3个原动件与3个基本组(CDE，FGH，MLK)构成。把飞箭本体分解成3个封闭的环形：OCDEO，OEFGHO，OJKLMHO，每个封闭环形可以建立矢量方程式，则可解出各构件结点的位置、速度和加速度。

图2剪切本体—剪切摆动机构工作简图a.位置分析：

从几何关系式得：

1.上剪刃直角坐标位置：

即

故

3.剪刃的开口度H（上下剪刃之间的距离）

b.速度分析原动件HOC杆的角速度已知，表示式为：

剪刃速度在水平方向的分量是一个