2027届高中数学一轮复习第八章解析几何第三节直线与圆、圆与圆的位置关系学案（教师用）

第三节直线与圆、圆与圆的位置关系新课标要求真题分布1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．2025年全国Ⅰ卷T72024年—2023年新高考Ⅰ卷T6，新高考Ⅱ卷T15必备知识·回归教材清单式排查彰显一个“准”知识导图【重要结论】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2(r＞0)上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．两圆相交时公共弦的性质圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0D12+E12-4F1＞0与C2：x2＋y2＋D2(1)将两圆方程直接作差，消去x2，y2得到两圆公共弦所在直线方程．(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦．(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防漏解)．回归教材1.(人教A版选修一P98练习T1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是()A．外切 B．相交C．外离 D．内切2．(人教A版选修一P103复习参考题T16)圆心在直线y＝－2x上，经过点A(2，－1)，且与直线x＋y＝1相切的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2D．(x＋1)2＋(y－2)2＝23．(多选)(人教A版选修一P98习题T4改编)圆心在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为27的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y－3)2＝9B．(x－1)2＋(y－3)2＝9C．(x－1)2＋(y＋3)2＝9D．(x＋1)2＋(y＋3)2＝94．(人教A版选修一P93T3改编)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．多元视角·拓展教材探究式精练收获一个“赢”视角一直线与圆的位置关系题型1位置关系的判断及应用例1(1)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切(2)(2025·全国Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是()A．(0，1) B．(1，3)C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)学霸笔记：(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆上或圆内，可判断直线与圆相切或相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系几何法更适用于动直线问题．跟踪训练(1)(2026·驻马店模拟)若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点P(a，b)()A．在圆O外B．在圆O内C.在圆O上D．与圆O的位置关系不确定(2)圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋b的距离等于1，此时b＝________．题型2弦长问题例2已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，过点P(3，3)作不过圆心的直线交圆C于A，B两点，则△ABC面积的最大值是________．学霸笔记：(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2跟踪训练(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m题型3切线问题例3(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1 B．15C．104 D．学霸笔记：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．跟踪训练(1)过点A(－1，－2)作圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝1的切线l，则l的方程为()A．4x＋3y＋10＝0B．x＋1＝0或4x＋3y＋10＝0C．3x＋4y＋11＝0D．x＋1＝0或3x＋4y＋11＝0(2)(2026·长治模拟)从点P(m，2－m)向圆Q：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．5 B．19C．17 D．32视角二圆与圆的位置关系例4(2026·河北多校联考)若圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－a)2＋(y－b)2＝9(a，b∈R)有且仅有2条公切线，则|3a－4b＋5|的取值范围为()A．[0，5)B．[1，5)C．[0，25)D．[5，25)学霸笔记：(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．跟踪训练(1)(多选)已知圆O1：x-12+y-22＝4与圆O2：x2＋y2＝rA．若r＝1，则两圆外切B．若r＝1，则直线x＝－1为两圆的一条公切线C．若r＝3，则两圆公共弦所在直线的方程为x＋2y＝0D．若r＝3，则两圆公共弦的长度为4(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝a2(a>7)和C2：(x－3)2＋y2＝1，动圆M与圆C1，圆C2均相切，|MC1|＋|MC2|＝3|C1C2|，则a的值为________.提示：请完成课时作业48第三节直线与圆、圆与圆的位置关系必备知识·回归教材回归教材1．解析：易知圆C1：x2＋y2＝4的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝2，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，圆心为C2(4，3)，半径为r2＝3，圆心距|C1C2|＝42+32＝5＝r1答案：A2．解析：设圆心为(a，－2a)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2，依题意可知2-a2+-1+2a2＝r2，a-2a-12＝r.解得a＝1，r答案：A3．解析：设圆心坐标为(a，3a)，因为圆与x轴相切，所以半径r＝3|a|，r2＝(3a)2＝9a2，(a，3a)到直线x－y＝0的距离d＝a-3a2＝2a，所以2722＋2a2＝9a2，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9；当答案：BD4．解析：圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝2-2+222+-12＝2答案：8多元视角·拓展教材视角一例1解析：(1)圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2+b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2+b2>r，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2+b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a(2)由题意，在圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)中，圆心E(0，－2)，半径为r，到直线y＝3x＋2的距离为1的点有且仅有2个，因为圆心E(0，－2)到直线y＝3x＋2的距离为d＝0×3--2+232+-12＝2，故由图可知，当r＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有一个点(A点)到直线y＝3x＋2的距离等于1；当r＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有三个点(B，C，D点)到直线y＝3x＋2的距离等于1.则当r的取值范围为(1，3)时，圆x2＋(y＋2)2＝答案：(1)ABD(2)B跟踪训练解析：(1)由题意，圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径R＝2.直线l到圆心的距离为d＝a·0-b·0-4a2+-b2＝4a2+b2，根据相离条件d>R，即4(2)由题意，得圆的圆心O(0，0)，半径为2，若圆上恰有三个点到直线l的距离为1，则圆心O到直线l：x－y＋b＝0的距离等于1，所以b2＝1，解得b＝±2答案：(1)B(2)±2例2解析：如图，过点P(3，3)的直线不过圆心C(3，4)，所以该直线的斜率存在，设直线方程为l：y－3＝k(x－3)，即kx－y－3k＋3＝0，所以圆心C到该直线l的距离为d＝1k2+1，易得当CP⊥l时，dmax＝|CP|＝1，当直线经过圆心C时，dmin＝0，故d∈(0，1]，又因为|AB|＝2r2-d2＝24-d2，故S△ABC＝12AB·d＝d·4-d2＝-d4+4d2＝-d2答案：3跟踪训练解析：由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝21+m2，AB＝2r2-d2＝24-21+m22＝4m1+m2.由S△ABC＝85答案：2(答案不唯一，可以是±12例3解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝5，所以圆心到点(0，－2)的距离为2-02+0+22＝22.由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sinα2＝r跟踪训练解析：(1)圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心C(－2，1)，半径r＝1，点C到直线x＝－1的距离为1，则直线l的方程可为x＝－1；当l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋1)－2，由直线l与圆C相切，得-k-3k2+1＝1，解得k＝－43，则l的方程为y＝－43(x＋1)－2，即4x＋3y＋10＝0，所以直线l的方程为x(2)圆Q：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1的圆心为Q(－2，－2)，半径r＝1，点P(m，2－m)在直线x＋y－2＝0上，则圆心Q(－2，－2)到直线x＋y－2＝0的距离d＝-2-2-22＝32>1，可知直线x＋y－2＝0与圆Q相离，设其中一个切点为A，则切线长|PA|＝PQ答案：(1)B(2)C视角二例4解析：由题可知圆O1(0，0)，半径r1＝1，圆O2(a，b)，半径r2＝3.∵圆O1与圆O2有且仅有2条公切线，∴圆O1与圆O2相交，∴|O1O2|＝a2+b2∈(2，4)，∴点(a，b)在以原点(0，0)为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部(不含边界)．又|3a－4b＋5|＝5×3a-4b+55，∴3a-4b+5代表点(a，b)到直线3x－4y＋5＝0的距离的5倍．∵圆心(0，0)到直线3x－4y＋5＝0的距离为1，∴圆环内的点(a，b)到直线3x－4y＋5＝0的距离|3a-4b+5|5∈[0，5)答案：C跟踪训练解析：(1)圆O1的圆心为O1(1，2)，半径为2；圆O2的圆心为O2(0，0)，半径为r，对于A，若两圆外切，则|O1O2|＝12+22＝5＝2＋r，解得r＝5－2，A错误；对于B，若r＝1，圆心O1到直线x＝－1的距离为2，则直线x＝－1与圆O1相切，圆心O2到直线x＝－1的距离为1，则直线x＝－1与圆O2相切，故当r＝1时，则直线x＝－1为两圆的一条公切线，B正确；对于C，若r＝3，因为3－2<|O1O2|＝5<3＋2，此时两圆相交，将两圆方程相减得2x＋4y－5＝5，即x＋2y－5＝0，故当r＝3时，两圆公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＝0，C错误；对于D，当r＝3时，圆心O2到直线x＋2y－5＝0的距离为(2)圆C1：(x＋3)2＋y2＝a2(a>7)的圆心C1(－3，0)，半径R1＝a，圆C2：(x－3)2＋y2＝1的圆心C2(3，0)，半径R2＝1，由a>7，得R1－R2＝a－1>6＝|C1C2|，所以圆C2内含于圆C1，