考点02 与二次函数的增减性相关的最值问题（3考点4题型＋能力强化）（原卷版）

2/2考点02与二次函数的增减性相关的最值问题考点一：基础解析式与对称轴标准式：y=a对称轴公式：x顶点纵坐标（全域最值）：y=考点二：增减性规律a>0，抛物线开口向上对称轴左侧：x<-b2a，y随x对称轴右侧：x>-b2a，y随x图像有最小值，无最大值a<0，抛物线开口向下对称轴左侧：x<-b2a，y随x对称轴右侧：x>-b2a，y随x图像有最大值，无最小值考点三：区间最值判断三步法①求对称轴x0；②判断开口方向；③对称轴在区间内：一个最值在顶点，另一个最值在离对称轴远的端点对称轴在区间左侧：整个区间单调，最值在两个端点对称轴在区间右侧：整个区间单调，最值在两个端点题型一：根据自变量的取值范围求函数的最值易错：开口方向与增减性颠倒误区：a>0左增右增/a<0左减右减正解：上开口（a>0）：左降右升；下开口（a<0）：左升右降【例1】求二次函数y=2x2【变式1-1】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接．(1)求证：；(2)当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由．【变式1-2】（2026·山东东营·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为．(1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)当的面积等于3时，求的值；(3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由．【变式1-3】（2026·山东临沂·一模）已知抛物线的顶点为P，点，是抛物线上的任意两点．(1)当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式；(2)当点P位于x轴下方时，求点P到x轴距离的最小值；(3)若对于，当时，总有，请直接写出m的取值范围．【变式1-4】（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，抛物线经过，，三点，顶点为．

(1)点的坐标________，点的坐标________(2)求抛物线的解析式及点，的坐标；(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上，且其中有两个顶点在线段上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由．题型二：闭区间内最值（高频必考）易错1：忽略自变量取值范围误区：不管x范围，一律用顶点求最值正解：顶点最值只适用于全体实数；有范围必须结合区间判断举例：y=(x-1)2-4，2⩽x⩽4易错2：区间端点远近判断失误误区：对称轴在区间内，随便取端点定最值正解：离对称轴越远，函数值差值越大，最值出在远端点情况1：对称轴在取值区间中间【例2-1】已知y=x2-2x-3，求情况2：对称轴在区间左侧（区间单调递增）【例2-2】y=x2-2x-3，求情况3：对称轴在区间右侧（区间单调递减）【例2-3】y=x2-2x-3【变式2-1】（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．(1)求抛物线的表达式；(2)当时，求y的最大值与最小值的差；(3)过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值．【变式2-2】（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当时,,求k的最大值．(3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围．【变式2-3】（2026·江苏南京·一模）已知抛物线（为常数，）．(1)若该抛物线经过点，求抛物线的表达式；(2)若，求出当时该函数的最大值与最小值的差；(3)已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________．【变式2-4】（2026年江苏淮安市开明中学等校中考第一次模拟数学）已知二次函数y=-x2+2mx+5(1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________；(2)当时，y的最大值是8，求m的值；(3)如果点、点、点Cm+2,a都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围．【变式2-5】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式；(2)求的面积；(3)当时，求的取值范围；(4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值．题型三：含参数二次函数增减性与最值易错：含参函数不分类讨论误区：默认对称轴在区间中间直接代顶点正解：参数变动对称轴移动，必须分左、中、右三种位置讨论【例3】二次函数y=x2-2ax+3【变式3-1】（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）．(1)求该二次函数图象的对称轴．(2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，．①求的取值范围；②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值．【变式3-2】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）．(1)求这个函数图象的最小值；(2)无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，求定点坐标；(3)若点在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而减小时的取值范围．【变式3-3】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标；(2)若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围；(3)若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值．【变式3-4】（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”．(1)求直线上的“双倍点”的坐标；(2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由；(3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式；(4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”(p,8)，并当时，函数最小值为，求的值．题型四：实际应用最值（应用题必考）易错：实际应用题忘限定定义域误区：列出函数直接求顶点最值正解：利润、面积类题目，自变量受实际意义限制，优先圈定$x$取值范围再求最值【例4-1】（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象．(1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围；(2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值．【例4-2】（2026·湖北武汉·一模）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人．信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元．信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆．问题解决：(1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数；(2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用）(3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由．【变式4-1】（2026·江苏泰州·一模）为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元．(1)当时，求与的函数关系式；(2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？【变式4-2】（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表：销售价格x（元/升）4510市场需求量n（升）12011060经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升．(1)求n与x的函数关系式；(2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；(3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？【变式4-3】（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：门票单价（元）游客人数（人）景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示．(1)求游客人数与门票单价的函数表达式；(2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？(3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值．【变式4-4】（2026·贵州·模拟预测）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为1400m，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题：(1)求缆索所在抛物线的解析式；(2)花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客．①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离．1．（2026·山西忻州·一模）项目式学习项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究．数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示．(1)建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为．(2)问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？(3)由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值．2．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，二次函数的图象经过点，点．(1)求此二次函数的解析式；(2)当时，求二次函数的最值；(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围．3．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．(1)求b的值（用含a的式子表示）；(2)已知二次函数的最大值为；①求该二次函数的表达式；②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：x1-12m4．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数，其中、为两个不相等的实数．(1)当，时，求该函数图象的对称轴；(2)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点；(3)若函数在时，随的增大而减小，且满足，求的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值．5．（2026·广西钦州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长；(3)当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围．6．（25-26八年级下·河南新乡·期中）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A型客车载客人数和2辆B型客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人．信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆；B型客车租一辆车的费用为2150元，每多租一辆B型客车，B型客车租车单价减少50元．信息3：学校参加实践活动的师生共有950人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车不少于9辆．问题解决：(1)求A，B两种型号每辆车满员时的载客人数；(2)设租用B型客车x（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是W（单位：元），求W与x的函数关系式；（租车总费用租用A型客车的费用租用B型客车的费用）(3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由．7．（2026·山东济宁·一模）已知抛物线经过点．(1)求该抛物线的对称轴；(2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式；(3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值．8．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点．(1)求A点坐标；(2)两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围；(3)当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值．9．（2026·江西·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．(1)点的坐标为_____，点的坐标为_____；(2)求，之间的关系式；(3)若抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；(4)若抛物线开口向下，且当时，二次函数的最大值为，请直接写出的值．10．（2026·江苏常州·模拟预测）已知抛物线（b，c为常数）．(1)若抛物线经过，时，①求该抛物线的顶点坐标．②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围．(2)若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式．11．（2026·山东东营·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为