用列举法求概率课件

九年级上册·第二十五章用列举法求概率（1）概率初步·列举法·古典概型列表法与树状图法求解古典概型问题掷骰实验抛币试验树状图法列表法目录CONTENTS用列举法求概率·课程导航01随机事件与概率回顾回顾随机事件、必然事件、不可能事件的定义与区别复习概率的基本意义与等可能事件的计算公式02列举法与列表法理解列举法的核心思想：不重不漏地列出所有等可能结果掌握列表法的操作步骤与适用场景03树状图法学会画树状图表示多步试验的所有可能结果比较列表法与树状图的优劣与选择依据04综合应用与易错辨析运用列举法解决生活情境中的概率问题识别并纠正常见的计数错误与概念混淆05课堂小结与作业梳理本节知识脉络，形成结构化笔记完成课后练习，巩固列举法的规范书写06互动与检测随堂练习即时反馈，检验学习效果小组讨论典型问题，深化方法理解OBJECTIVES学习目标用列举法求概率·核心能力达成1知识理解能说出列举法的含义，理解"不重不漏"是列举所有等可能结果的基本要求2技能掌握会用列表法和树状图法列出两步或三步试验的所有等可能结果，并正确计算简单事件的概率3思维运用能在具体问题中判断何时用列表法、何时用树状图，并能识别放回与不放回对结果总数的影响演讲人：XXX20260808CHAPTER01随机事件与概率回顾夯实基础，为新方法铺垫PROBABILITYPROBABILITY什么是随机事件理解必然事件、不可能事件与随机事件的定义与区别必然事件一定发生在特定条件下一定会发生的事件称为必然事件，其概率为1例如：太阳从东方升起；标准大气压下纯水加热到100℃沸腾P=1不可能事件绝不会发生在特定条件下一定不会发生的事件称为不可能事件，其概率为0例如：掷一枚普通骰子出现7点；三角形内角和为200°P=0随机事件可能发生也可能不发生在相同条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，概率介于0与1之间例如：抛一枚硬币正面朝上；明天会下雨；买彩票中奖0<P<1概率的意义与表示Probability—Meaning&Notation01数值度量概率是对随机事件发生可能性大小的数值度量，取值范围是0≤P(A)≤102三类事件必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率严格介于0和1之间03记号约定记号P(A)读作"事件A的概率"，其中A是对所关注结果的明确描述04统计定义大量重复试验中某事件发生的频率会稳定在其概率附近，这是概率的统计定义FORMULA等可能事件的概率公式P(A)=m/n—一切列举法计算的基石P(A)=mnn所有等可能结果总数m事件A包含的有利结果数公式定义—如果一次试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，则P(A)=m/n使用前提—每个基本结果出现的可能性完全相同，否则不能直接套用该公式分子分母—分子m是事件A的有利结果个数，分母n是所有等可能结果的总数核心任务—计算概率的关键就是准确求出m和n，这正是列举法要解决的问题记住：列举法的本质就是"数清楚"——数出总数n，数出有利数m，代入公式即得概率JUDGMENT快速判断：是否等可能哪些情境可以用P=m/n公式？可以使用公式的情境1掷一枚质地均匀的骰子，六个面朝上的可能性相同，共6个等可能结果2从标有1-5的五张相同卡片中随机抽取一张，每张被抽到的机会均等共同特征：每个结果出现的可能性完全相同不能直接使用公式的情境1一个袋子里有3个红球和1个白球，摸到红球和白球不是等可能结果2某路口红灯亮30秒、绿灯亮60秒，到达时遇到红灯和绿灯的概率不相等共同特征：各结果出现的可能性不相等，需另寻方法使用公式P=m/n的前提：所有结果必须是等可能的！初中数学·概率初步CHAPTER02列举法与列表法系统列出所有等可能结果掌握列表法，精准枚举每一步试验的全部结果METHODOLOGY为什么要用列举法从直觉枚举到系统方法1简单试验可以凭直觉数出结果，但当试验涉及两个或以上步骤时，结果数量迅速增加2人脑在枚举多步组合时容易出现遗漏或重复计数，导致概率计算错误3列举法通过表格或树状图等工具，将所有等可能结果系统地、不重不漏地展示出来4有了完整的结果清单，分子分母的计数就有了可靠依据，概率计算才准确列举法的核心思想：把所有等可能结果"摆出来"，做到不重不漏列表法的步骤定对象→画表格→填结果→数个数1STEPONE确定试验对象确定两个试验对象，一个作为行标题，一个作为列标题2STEPTWO画出二维表格画出二维表格，行列交叉处填写该组合对应的结果3STEPTHREE逐格填写结果逐格填写所有可能的结果，确保不遗漏、不重复4STEPFOUR计算概率数出总结果数n和满足条件的结果数m，代入P=m/n计算口诀记忆：定对象、画表格、填结果、数个数——四步完成列表法求概率Example例1：掷两枚硬币用列举法分析两步试验的概率问题同时掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：1两枚硬币都正面朝上；2一枚正面朝上、一枚反面朝上；3至少有一枚正面朝上。提示：每枚硬币有正、反两种等可能结果，两枚共有多少种组合？PROBABILITY例1解答：列表展示两枚硬币投掷的等可能结果分析第二枚：正第二枚：反第一枚：正(正,正)✓(正,反)✓第一枚：反(反,正)✓(反,反)4种等可能结果(1)两正：1种，P=1/4(2)一正一反：2种，P=2/4=1/2(3)至少一正：3种，P=3/4列表法要点行=第一枚结果列=第二枚结果交叉格=全部组合✓标记=满足条件的有利结果EXAMPLE02例2：抽卡片求和从三张卡片中依次不放回抽取，用列举法求概率题干有三张卡片，分别写有数字1、2、3。从中随机抽取两张（不放回），将两张卡片上的数字相加。求(1)和为3的概率(2)和为偶数的概率思考第一次抽有几种可能？第二次呢？总共多少种有序结果？注意本题是不放回抽取，第二次可选的卡片比第一次少一张。列出所有有序结果对，是求概率的关键第一步。解题思路：先列举所有等可能的有序结果→再数出满足条件的结果数→用古典概型公式求概率例2解答：列表与计数不放回抽样·对角线无效·有效结果6种抽两张卡片结果表（不放回）第二次抽1第二次抽2第二次抽3第一次抽1✕(1,2)和=3✓(1,3)和=4第一次抽2(2,1)和=3✓✕(2,3)和=5第一次抽3(3,1)和=4(3,2)和=5✕有效结果共6种（去掉对角线✕）。(1)和为3有2种→P=2/6=1/3；(2)和为偶数有2种(1+3,3+1)→P=2/6=1/3列表法注意事项掌握四个关键点，避免常见错误01适用范围列表法最适合两步试验，当试验超过两步时表格维度增加，变得不便使用02放回与不放回必须区分"放回"与"不放回"：放回时对角线有效，不放回时对角线应剔除03标注清晰行列标题要明确标注是哪一步的结果，避免混淆顺序导致计数错误04核对总数填完表后要核对总格数是否等于理论上的等可能结果总数，防止遗漏列表法是求概率的基础工具，养成规范列表的习惯，后续学习树状图法会更轻松随堂练习1：掷骰子列表法·独立练习题目同时掷两枚质地均匀的六面骰子，用列表法求下列事件的概率：(1)两枚骰子点数之和为7(2)两枚骰子点数相同(3)至少有一枚骰子点数为6限时3分钟独立完成作答区骰子B→123456123456↓骰子A画出完整的6×6表格，标出有利结果，写出计算过程第三章·概率CHAPTER03树状图法应对多步试验的列举利器当试验步骤达到三步或以上，列表法不再适用，树状图成为更强大的列举工具METHODOLOGY树状图的结构与画法TreeDiagram·Structure&DrawingRules1根节点出发，逐层展开树状图从左侧起点（根节点）出发，向右逐层展开，每一层对应试验的一个步骤2分支数=等可能结果数每个节点引出的分支数等于该步试验的等可能结果个数，分支旁标注具体结果3路径→结果序列，叶子数=n从根到每个末端叶子的路径代表一种完整的结果序列，所有叶子数即为总结果数n4均匀绘制，便于计数画图时要保证同一层的分支长度和间距大致均匀，便于阅读和计数💡树状图像一棵倒置的树——根节点出发，每层一步试验，末端叶子就是所有可能结果例3：三次抛硬币用树状图法解决三步试验概率问题连续抛掷一枚质地均匀的硬币三次，用树状图法求下列事件的概率：1三次都是正面朝上2恰好有两次正面朝上3至少有一次反面朝上提示：每次抛掷有正、反两种结果，三次共有2³=8种等可能结果。SOLUTION例3解答：树状图展开三层分支·八种结果·列举计数树状图结构起始├─正├─正├─正

★(1)└─反└─反├─正

★(2)└─反└─反├─正├─正

★(3)└─反└─反├─正└─反8条路径=8种等可能结果1三次都正面朝上只有「正正正」仅1条路径满足条件P=1/82恰好两次正面朝上3条路径正正反·正反正·反正正P=3/83至少一次反面朝上对立事件法P=1−P(三次都正)=1−1/8P=7/8Example例4：摸球不放回用树状图法分析不放回摸球的等可能结果题目袋中有2个红球和1个白球，除颜色外完全相同。从中不放回地依次摸出两个球。求（1）两次都摸到红球的概率（2）摸到一个红球和一个白球的概率关键提醒：第一次摸有3种等可能结果，但第二次只剩2个球，分支数减少。注意区分："先红后白"和"先白后红"是两种不同的路径，都要计入等可能结果总数。树状图袋中3球红₁红₂白红₂白红₁白红₁红₂红红红白红白红白→白红白红白红第一次摸第二次摸（1）两次都摸到红球P=2/6=1/3（2）摸到一红一白P=4/6=2/3概率计算EXAMPLE4例4解答：分支计数不放回情形下的树状图结构与路径计数树状图结构第一层3个分支（红1、红2、白），每个分支下第二层剩2个分支，共3×2=6条路径1两次都红路径：红1→红2、红2→红1，共2条P=1/32一红一白红1→白、红2→白、白→红1、白→红2，共4条P=2/3验证2/6+4/6=1，所有互斥事件概率之和为1，说明计数无遗漏COMPAREPROBABILITYMETHODS列表法vs树状图：如何选择两种方法各有优势，选对了事半功倍列表法✓适合两步试验，表格直观、填写快捷、不易画歪✗超过两步时需要多维表格，难以在平面上清晰呈现树状图✓天然支持任意步数的试验，层级清晰、路径一目了然✗步骤少时比列表法占用更多空间，画图耗时稍长选择建议1两步且结果种类较少（≤6×6）优先用列表法2三步及以上，或各步结果数不同时，优先用树状图口诀：两步用表，三步以上用树EXERCISE随堂练习2：选座位用列举法求概率·树状图与排列甲、乙、丙三位同学随机坐到一排三个编号为1、2、3的座位上，每人一座。1用树状图列出所有可能的坐法；2求甲坐在1号座位的概率；3求甲和乙相邻而坐的概率。解题提示第一步谁坐1号→3种选择第二步谁坐2号→剩2种第三步确定→1种共3!=6种坐法树状图框架1号座位2号座位3号座位甲乙丙丙乙乙??丙??请同学们补全树状图，列出全部6种坐法CHAPTER04综合应用与易错辨析从会做到做对列举法·生活应用生活中的概率问题抽奖转盘转盘被等分成8份，其中2份有奖，中奖概率为2/8=1/4，前提是每份面积相等。扑克牌游戏从52张牌中抽一张，抽到红桃的概率是13/52=1/4，因为四种花色张数相同。班级抽签30人抽签决定演讲顺序，每人被抽到的概率都是1/30，体现了公平性原则。共同特征结果有限且等可能——这正是列举法大显身手的场景。M初中数学PITFALLS易错点：遗漏与重复计数剖析概率计算中最常见的两类计数错误遗漏：漏掉某些等可能结果常见于树状图画不完整、列表时跳过某些行列组合对策：画完后核对总结果数是否等于理论值（如2³=8、6×6=36）重复：同一结果被多次计数常见于未区分顺序却按有序计数，或放回/不放回混淆对策：明确问题是有序还是无序，统一计数标准后再代入公式易错点放回与不放回混淆一字之差，结果总数完全不同放回抽样每次抽取后物品放回原处，下次抽取时总数不变，各次抽取相互独立。不放回抽样抽取后物品不再放回，下次抽取时总数减少，各次抽取不独立。实例对比袋中3球抽2次：放回3×3=9种不放回3×2=6种审题时用笔圈出"放回""不放回""同时抽取"等关键词，避