2021年全国统考数学一强化试卷（含答案详解）

2021年全国统考数学一强化试卷（含答案详解）一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论错误的是（）A.存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0B.若f(x)在(a,b)内单调递增，则f(x)恒等于常数C.若f(x)在(a,b)内二阶可导，且f′(x)在(a,b)内单调递增，则f(x)的图形在(a,b)内为凸函数D.存在唯一c∈(a,b)，使得f′(c)=0【答案】D【解析】根据罗尔定理，若f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0，但c不唯一，故D错误。选项A正确，选项B正确，选项C正确，选项D错误。2.设函数y=ln(x+√(x²+1))，则y在x→-∞时的渐近线方程为（）A.y=xB.y=-xC.y=x+1D.y=-x-1【答案】B【解析】当x→-∞时，√(x²+1)≈-x，故ln(x+√(x²+1))≈ln(-x-x)=ln(-2x)，极限为ln2-∞，但需进一步分析斜渐近线。令y=f(x)，则f(x)=ln(x+√(x²+1))，f′(x)=(1+1/(2√(x²+1)))/x，f′(x)→-1/x→0，故斜渐近线斜率为-1。又f(x)-(-x)=ln(x+√(x²+1))+x，令x→-∞，[ln(x+√(x²+1))+x]/x=[ln((x+√(x²+1))/x)+1]/x=[ln(1+1/x+o(1/x))+1]/x→1，故渐近线为y=-x，选项B正确。3.设函数f(x)满足f(0)=0，f′(0)=1，且对所有x，有|f(x)|≤ex，则f(x)在x=1处的泰勒展开式的前三项为（）A.x+x²/2+x³/3B.x-x²/2+x³/3C.x-x²/2-x³/3D.x+x²/2-x³/3【答案】D【解析】根据泰勒展开式，f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)x²/2!+o(x²)，由f′(0)=1，需求f′′(0)。根据条件|f(x)|≤ex，对x=0取导，f′(0)=1，f′′(0)=f′(0)-f(0)=1。故f(x)=x+x²/2+x³/6+o(x³)，前三项为x+x²/2-x³/3（因f′′(0)=1），选项D正确。4.设级数∑(n=1→∞)(a_nx^n)在x=2收敛，则级数∑(n=1→∞)(a_n(2-x)^n)在x=0处的敛散性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定【答案】A【解析】由根值判别法，若∑(a_n2^n)收敛，则lim(n→∞)√(n)|a_n2^n|<1，即|a_n|2^n→0，故|a_n|≤C/2^n，对x=0，级数变为∑(C/2^n(2-x)^n)，因|2-x|<2，故级数绝对收敛。5.设区域Ω由曲面z=√(x²+y²)与z=1-x²-y²围成，则∭_Ω(x+y)dz的值为（）A.0B.π/4C.π/2D.π【答案】A【解析】由对称性，区域Ω关于x轴、y轴对称，故∭_Ωxdz=∭_Oydz=0，则∭_Ω(x+y)dz=∭_Ωxdz+∭_Oydz=0，选项A正确。6.设函数y=y(x)由方程x²+y²+xy=1确定，则曲线在点(1,0)处的曲率为（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】C【解析】对方程两边求导，2x+2yy′+xy′=0，在(1,0)处，2+2y′+y′=0，y′=-2/3，再求二阶导，4+4(y′²+y′′)+y′+xy′′=0，代入y′=-2/3，解得y′′=8/9，曲率k=|y′′|/[(1+y′²)^(3/2)]=8/9/[(1+4/9)^(3/2)]=2，选项C正确。7.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A.若f(x)在(a,b)内单调递减，则f(x)恒等于常数B.存在唯一c∈(a,b)，使得f′(c)=0C.若f(x)在(a,b)内二阶可导，且f′(x)在(a,b)内单调递增，则f(x)的图形在(a,b)内为凸函数D.存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0【答案】D【解析】根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0，但c不唯一，故D正确。选项A正确，选项B错误，选项C错误。8.设函数y=xe^(-x²)的极值点为x₀，则∫(x₀→+∞)xe^(-x²)dx的值为（）A.1/2eB.1/eC.eD.2e【答案】A【解析】y′=e^(-x²)-2xe^(-x²)x=0，得x₀=±1/√2，取x₀=1/√2，∫(x₀→+∞)xe^(-x²)dx=-1/2e^(-x²)|_(x₀→+∞)=1/2e。9.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A.若f(x)在(a,b)内单调递增，则f(x)恒等于常数B.存在唯一c∈(a,b)，使得f′(c)=0C.若f(x)在(a,b)内二阶可导，且f′(x)在(a,b)内单调递增，则f(x)的图形在(a,b)内为凸函数D.存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0【答案】D【解析】根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0，但c不唯一，故D正确。选项A正确，选项B错误，选项C错误。10.设函数f(x)在[a,b]上连