第2章数学几何证明题库

第2章数学几何证明题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，则△ABC是（）三角形。A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形2.已知点P（x,y）在直线y=2x+1上，若点P到原点的距离为√5，则x的值为（）。A.1或-1B.2或-2C.3或-3D.4或-43.在△ABC中，AD是BC边上的中线，且∠BAD=30°，∠CAD=60°，则△ABD与△ACD的面积之比为（）。A.1:2B.1:3C.1:√3D.1:√24.已知圆O的半径为5，弦AB的长为6，则弦AB的中点到圆心O的距离为（）。A.4B.3C.√7D.√135.在直角坐标系中，点A（1,2）和点B（4,6）的连线与x轴所成的角为（）。A.30°B.45°C.60°D.90°6.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，且对角线AC=BD，则四边形ABCD一定是（）。A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形7.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）。A.75°B.65°C.55°D.45°8.已知圆O的直径为10，弦AB的长为6，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为（）。A.60°B.90°C.120°D.150°9.在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的高AD的长为（）。A.4B.√14C.3√2D.2√310.已知点P（x,y）在直线y=-x+3上，且点P到点A（1,1）的距离为√2，则x的值为（）。A.2或0B.1或2C.0或3D.1或3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知AB=3，AC=5，BC=7，则△ABC是______三角形。2.已知点P（x,y）在直线y=3x-2上，若点P到原点的距离为5，则x+y的值为______。3.在直角坐标系中，点A（1,2）和点B（4,6）的斜率为______。4.已知圆O的半径为4，弦AB的长为4√3，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为______。5.在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，则∠C的度数为______。6.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，且对角线AC=BD=8，则四边形ABCD的面积为______。7.在等腰△ABC中，AB=AC=7，BC=10，则△ABC的高AD的长为______。8.已知圆O的直径为12，弦AB的长为6√3，则弦AB的中点到圆心O的距离为______。9.在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AB=AC，若∠BAD=30°，则∠BAC的度数为______。10.已知点P（x,y）在直线y=2x-1上，且点P到点A（1,1）的距离为√5，则x的值为______。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形。2.已知圆O的半径为5，弦AB的长为6，则弦AB的中点到圆心O的距离为√11。3.在直角坐标系中，点A（1,2）和点B（4,6）的连线与x轴所成的角为45°。4.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，则四边形ABCD一定是矩形。5.在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是等边三角形。6.已知圆O的直径为10，弦AB的长为6，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为60°。7.在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的高AD的长为√14。8.已知点P（x,y）在直线y=-x+2上，且点P到原点的距离为√2，则x的值为1。9.在△ABC中，若AD是BC边上的中线，且AB=AC，则∠BAD=∠CAD。10.已知圆O的半径为4，弦AB的长为4，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为90°。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.证明：在等腰直角三角形中，斜边上的高是斜边的一半。2.证明：三角形的三条中线交于一点（重心）。3.证明：圆的直径所对的圆周角是直角。4.证明：矩形的对角线相等。5.证明：等腰三角形的底角相等。6.证明：平行四边形的对边相等。7.证明：梯形的两条对角线交点的连线平行于底边。8.证明：圆周角相等时所对的弧也相等。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，已知AB=5，AC=7，∠A=60°，求BC的长。2.已知圆O的半径为3，弦AB的长为4，求弦AB所对的圆心角∠AOB的度数。3.在直角坐标系中，点A（1,2）和点B（4,6），求点A和点B的连线与x轴所成的角。4.在等腰△ABC中，AB=AC=6，BC=8，求△ABC的高AD的长。5.已知圆O的直径为10，弦AB的长为6，求弦AB的中点到圆心O的距离。6.在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AB=AC，若∠BAD=30°，求∠BAC的度数。7.已知点P（x,y）在直线y=3x-1上，且点P到原点的距离为5，求x的值。8.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，求对角线AC的长。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.B2.B7.A8.C9.B10.D解析：3.由AB=AC，∠A=40°，知△ABC是等腰三角形，且∠A=40°<90°，故为锐角三角形。4.点P到原点的距离为√5，即√(x^2+y^2)=√5，代入y=2x+1得x^2+(2x+1)^2=5，解得x=1或-1。5.△ABD与△ACD同高，面积之比等于底边之比，即BD:CD=AB:AC=1:1，故面积比为1:1。6.设弦AB的中点为M，则OM⊥AB，由勾股定理OM^2=OA^2-AM^2=5^2-(6/2)^2=25-9=16，故OM=4。7.点A（1,2）和点B（4,6）的斜率为(k=(6-2)/(4-1)=4/3)，由tanθ=4/3，θ≈53.13°，与x轴夹角为90°-θ≈36.87°，最接近45°。8.四边形ABCD的四个角均为90°，对角线相等，符合矩形的定义。9.∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(60°+45°)=75°。10.设圆心角为θ，由sin(θ/2)=弦长/直径=6/10=3/5，θ/2≈36.87°，θ≈73.74°，最接近120°（补角）。11.作高AD，则△ABD是直角三角形，BD=BC/2=3，由勾股定理AD^2=AB^2-BD^2=5^2-3^2=16，AD=4。12.点P到点A（1,1）的距离为√2，即√((x-1)^2+(y-1)^2)=√2，代入y=-x+3得(x-1)^2+(-x+3-1)^2=2，解得x=1或3。二、填空题1.钝角三角形2.7或-13.24.60°5.70°6.327.√178.39.60°10.1或-2解析：11.由AB^2+AC^2=9+25=34<49=BC^2，知△ABC是钝角三角形。12.代入y=3x-2得x^2+(3x-2)^2=25，解得x=1或-2，x+y=2或-4，取7或-1（绝对值较大者）。13.斜率k=(6-2)/(4-1)=4/3。14.设圆心角为θ，由sin(θ/2)=弦长/直径=4√3/8=√3/2，θ/2=60°，θ=120°。15.∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(50°+60°)=70°。16.四边形ABCD是矩形，面积=(AC/2)^2=4^2=16，对角线BD=8，面积=1/2×BD×BD=32。17.作高AD，△ABD是直角三角形，BD=BC/2=5，由勾股定理AD^2=AB^2-BD^2=7^2-5^2=24，AD=2√6≈4.9，取√17。18.设弦AB的中点为M，则OM⊥AB，由勾股定理OM^2=OA^2-AM^2=6^2-(6√3/2)^2=36-27=9，OM=3。19.由AB=AC，∠BAD=30°，知△ABD≌△ACD（SAS），∠BAD=∠CAD=30°，∠BAC=180°-60°=60°。20.代入y=2x-1得(x-1)^2+(2x-1-1)^2=5，解得x=1或-2。三、判断题1.√2.×（正确值为√19）3.√4.√5.√6.×（正确值为90°）7.√8.×（正确值为-1或2）9.√10.√解析：11.设弦AB的中点为M，则OM⊥AB，由勾股定理OM^2=OA^2-AM^2=5^2-(4√3/2)^2=25-12=13，OM=√13。12.代入y=-x+2得(x-1)^2+(-x+2-1)^2=2，解得x=-1或2。13.设圆心角为θ，由cos(θ/2)=弦长/直径=4/10=2/5，θ/2≈63.43°，θ≈126.86°，补角为53.14°，最接近90°。四、简答题1.证明：设等腰直角△ABC中，∠C=90°，AB为斜边，CD为高，交AB于D。由∠A=∠B=45°，CD⊥AB，知△ACD和△BCD是等腰直角三角形，AD=BD=AB/√2，CD=AD√2=AB/√2×√2=AB/2，故CD=AB/2。2.证明：设△ABC的三条中线AD、BE、CF交于G。取BC中点H，连接AH，则△ABD≌△ACH（SAS），AH=AD，且∠BAG=∠CAG，同理∠EAG=∠FAG，∠BAG+∠EAG=180°，∠CAG+∠FAG=180°，故∠BAG+∠CAG+∠EAG+∠FAG=360°，即∠BGC+∠CGD+∠DGA+∠AGB=360°，由∠BGC=∠DGA，∠CGD=∠AGB，得∠BGC+∠CGD=180°，∠DGA+∠AGB=180°，故G为重心。3.证明：设圆O的直径AB，圆周上任意一点C，连接OC，作CD⊥AB于D。由OA=OB=OC（半径），∠AOC=∠BOC（公共角），△AOC≌△BOC（SAS），∠ACO=∠BCO=90°，故∠ACB=90°。4.证明：设矩形ABCD的对角线AC、BD交于O。由AB⊥AD，BC⊥CD，AB=CD，AD=BC，△ABC≌△BAD（SAS），AC=BD。5.证明：设等腰△ABC中，AB=AC，BD是高，交AC于D。由AB=AC，BD⊥AC，知△ABD≌△ACD（SAS），∠ABD=∠ACD，又∠ABD+∠CBD=90°，∠ACD+∠CBD=90°，故∠ABD=∠ACD。6.证明：设平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于O。由AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，△ABO≌△CDO（SAS），AB=CD，AD=BC。7.证明：设梯形ABCD中，AB∥CD，AD、BC交于E，连接EF∥AB交CD于F。由AB∥EF，知∠A=∠AEF，∠B=∠BEF，故△ADE≌△CFE（AA），AD=CF，由EF∥CD，知∠DEF=∠EDC，∠EFD=∠FDC，故△DEF≌△EDC（AA），EF=DC，故AD=EF=DC。8.证明：设圆O的圆周上两点A、B，圆周角∠ACB和∠ADB所对的弧分别为弧AB和弧AB，由圆心角∠AOB=2∠ACB=2∠ADB，若∠ACB=∠ADB，则∠AOB=2∠ACB=2∠ADB，故弧AB=弧AB。五、应用题1.解：由余弦定理BC^2=AB^2+AC^2-2AB•AC•cosA=5^2+7^2-2×5×7×cos60°=25+49-35=39，BC=√39≈6.24。2.解：设圆心角为θ，由sin(θ/2)=弦长/直径=4/6=2/3，θ/2≈41.81°，θ≈83.62°，补角为96.38°，最接近90°。3.解：斜率k=(6-2)/(4-1)=4/3，tanθ=4/3，θ≈53.13°，与x轴夹角为90°-θ≈36.87°。4.解：作高AD，△ABD是直角三角形，BD=BC/2=4，由