数理统计的基本概念

第一章数理统计的基本概念§1.1数理统计概述数理统计——研究如何有效地收集、整顿和分析带有随机性的数据，以及对所考察的问题作出推断或预测，直至为采用一定的决策和行动提供根据和建议。简而言之：数据解决、统计推断普通办法：归纳推理法基本问题应用：数理统计办法在工农业生产、工程技术、自然科学、经济学以及社会学等领域中都有广泛的应用。1.在农业中的应用：

数理统计办法在农业中应用的一种重要方面，是对田间实验进行适宜的设计和统计分析。实验设计的基本思想和办法，就是从田间实验开始发展起来的。数理统计办法在农业中应用的另一领域就是数量遗传学。例如，在哺育高产优质农产品的研究中，其数据分析就需要使用多个统计办法，如应用很复杂的回归和方差分量分析的办法来计算遗传力。2.在工业中的应用：数理统计方法在工业中的应用，主要有二方面：一是试制新产品和改进老产品，改革工艺流程，使用代用原材料和寻找适当的配方，鉴定影响产品质量的重要因素、次要因素，决定一组最优的生产条件。二是工序控制，制订成批产品的抽样验收方案，对大批生产的元件的可靠性及包含大量多个元件的系统的可靠性。3.在医、药学中的应用：如：应用统计方法证实肺癌与吸烟的关系，确定一种药物对治疗某种疾病是否有效，用处多大，以及比较几种药物或治疗方案的效力。4.在自然科学和技术科学中的应用：检验一种学说或假说的正确性；发现某种规律性，如孟德尔的遗传定律的发现。孟德尔在豌豆试验中发现了这一定律，并用数理统计学的拟合优度检验法验证了该定律。在寻求该定律的理论解释的过程中，便诞生了“基因学说”；统计方法用于地震、气象和水文方面的预报；在地质勘探中，在一个地区的若干点进行观察用以指导找矿。5.在社会、经济领域中的应用：例如，社会学中的抽样调查、列联表分析，人口学中的人口发展动态模型、随机过程统计，经济学中的经济计量模型等使对社会现象研究的定量化发展趋势日益彰显。时间序列分析方法用于市场预测，继之一门边缘分支学科——经济计量学便应运而生。

6.在公司经营管理中的应用：市场研究——产品研究、销售研究、购置行为研究、竞争分析、广告及促销研究、销售成本和利润分析、营销环境研究。经济活动分析——按经营状况对公司或部门进行分类；拟定该公司的经营状况的类属；根据某些经济效益指标，进行综合评价，拟定公司的排名；拟定影响经济效益的潜在因素。例为理解黄石市民2009年收入状况，现抽样调查10000人的收入。问题：1.如何从10000人的收入状况去预计全体黄石市民的平均收入？如何预计全部黄石市民的收入与平均收入的偏离程度？2.若市政府提出了全体黄石市民平均收入应达成的原则，从抽查得到的10000人收入数据，如何判断全体黄石市民的平均收入与收入原则有无差别？差别与否明显？3.抽查得到的10000人的收入有多有少，若这10000人来自不同的行业，那么，收入的差别是由于行业不同引发的，还是仅由随机因素造成的？4.假设收入与年纪有关，从抽查得到的10000人收入和年纪的对应数据，如何表述全体黄石市民的收入与年纪之间的关系？问题1实质：从10000人的收入出发，预计全体黄石市民收入分布的某些数字特性(此处是盼望和方差)。-----在数理统计中，解决这类问题的办法称为参数预计。问题2实质：根据抽查得到的数据，去检查总体收入的某个数字特性(此处是盼望)与给定值的差别。-----在数理统计中，解决这类问题的办法称为假设检查。问题3实质：分析数据误差的因素(此处是行业)。当有多个因素起作用时，还要分析哪些因素起重要作用。-----在数理统计中，解决这类问题的办法称为方差分析。问题4实质：根据观察数据研究变量间(此处是收入与年纪间)的关系。-----在数理统计中，解决这类问题的办法称为回归分析。§3.1基本概念总体——被研究的对象的全体,它是一种随机变量(或随机向量).记为X.X的分布函数和数字特性称为总体的分布函数和数字特性.个体——总体中的每个对象.容量——总体中个体的个数.注：按总体容量可将总体分为：有限总体和无限总体.例1、研究某批灯泡的质量例2、考察国产轿车的质量注：在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布状况.这时，每个个体含有的数量指标的全体就是总体.该批灯泡寿命的全体就是总体全部国产轿车每公里耗油量的全体就是总体样本

——从总体中抽取的部分个体.称为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用表示,n为样本容量.样本空间——样本全部可能取值的集合.简朴随机样本——满足下列条件的样本：(1)与X

有相同的分布(2)

相互独立

统计的任务---根据从总体中抽取的样本,去推断总体的性质.由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量…)，因此在理论上能够把总体与概率分布等同起来.那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表达.总体概念的要旨:总体就是一种概率分布再如,若研究某地区中学生的营养状况时,关心的数量指标是身高和体重,用X和Y分别表达身高和体重，设总体X的分布函数为F(x),则样本若总体X是持续型r.v.,d.f.为f(x),则样本的联合d.f.为的联合分布函数为若总体X是离散型r.v.,其概率分布为p(x)=P(X=x),则样本的概率分布为：统计推断：运用总体的样本信息对未知的总体分布进行推断。总体(理论分布)？样本样本值总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而能够由样本值去推断总体.是总体的代表,含有总体的信息样本是联系两者的桥梁总体、样本及样本值间的关系称为样本分布函数(或经验分布函数)。经验分布函数-----设总体X的一组样本观察值为，将这组值依大小顺序重排成,构造函数注：由贝努利大数定律或W.格里汶科定理(1953)可从理论上证明：当n很大时，有例1例2数理统计学的发展可分为三个时期：

萌芽时期（20世纪以前）这个时期，总的说没有超出描述性统计的范畴。★历史上最早出现的统计推断能够看作是英国统计学家J‧格兰特在1662年组织调查伦敦市死亡人数，从数量上去掌握集体的统计推断，并发表专著《从自然和政治方面观察死亡统计表》。发展简史因此，数理统计学可认为是格兰特于17世纪60年代开创的。格兰特对生命统计，保险统计及经济统计进行数学的研究。这一学问曾被称为「政治算术」。他由统计的成果发现人口出生率与死亡率相对稳定，于是提出「大数恒静定律」，成为统计学的基本原理。

★贝叶斯办法----这种办法运用了过去的经验知识，在可靠性统计中优越性特别突出。T‧贝叶斯在1763年发表的《论有关机遇问题的求解》对后世的统计思想影响很大。

★19世纪初开始用概率模型进行数据分析。高斯和勒让德首先把最小二乘法用于分析天文观察中的误差。正态分布（高斯分布）的性质和重要性受到广泛重视。

★比利时统计学家A‧凯特勒，其重要功绩在于使统计办法获得普遍应用。他对天文学、数学、物理学、生物学、社会统计学及气象学等都有研究，将统计办法应用到上述研究范畴上去，并强调了正态分布的用途。高尔顿最早把统计办法应用于生物学。在★英国生物学家S‧E‧高尔顿。1889年出版了《自然的遗传》一书，引进了回归直线、有关系数的概念，创立了回归分析。另外，高尔顿还提出了中位数、四分位数、百分位数及四分位偏差等概念。

★德国大地测量学者赫尔梅特1876年发现了分布。蓬勃发展时期（19世纪末到二战结束）：出现某些带根本性的重要概念和办法，某些基本分支形成。

★Ｋ.皮尔森在1990年提出了检验拟合优度的统计量,并证明了其极限分布就是分布。★Ｋ.皮尔森的学生英国医生戈塞特1908年导出了统计量的精确分布—

分布,开创了小样本的先河。★费希尔系统发展了正态分布总体下多个统计量的抽样分布理论；建立了以极大似然预计为中心的点预计理论；创立了实验设计，并发展了对应的数据分析办法——方差分析。★奈曼和小皮尔森建立了假设检查的严格数学理论，奈曼还建立了置信区间的数学理论。★多元统计分析、时间序列分析和序贯分析也得到了较快的发展。★克拉美写了名著“统计学的数学办法”。进一步发展时期（第二次世界大战后）：数理统计学在应用和理论两方面继续发展。战后，由于经济和军事技术上的飞速发展以及电子计算器的出现，使统计办法的应用范畴十分广泛。如在工业上应用统计质量管理，并由此产生了抽样检查、管理图等办法，其它如实验设计、多元分析、时间序列分析等也找到了不少新的应用领域。最大似然预计和非参数统计的大样本理论逐步完善。随机过程的统计形成了重要分支。未知参数,则称随机变量的一个样本值.为统计量统计量的定义§1.2统计量为统计量.设是取自总体X的一个样本,为一实值连续函数,且不含有若是一样本值,称例1

是未知参数,

若,已知,则为统计量.是统计量,其中是一样本,则但不是统计量.例2设X1,X2,X3是取自正态总体X~(,2)的一种样本,其中已知,未知.问:下列样本函数中哪些是统计量,那些不是？X1,X2+1,(X1+

X2

+

X3

)/3,Max{X1,X2,X3},

其中只有不是统计量。注:统计量的值与样本的观察值有关。不同的样本观察值对应的统计量的值能够相似，也可以不同。为样本均值为样本方差为样本标准差设是来自总体

X

的容量为n的样本,称统计量常用的统计量为样本的k阶原点矩为样本的k阶中心矩例如例1从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):

210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.解例1令则(5)次序统计量与极差为样本值,且定义r.v.，则称为次序统计量.其中,设为样本,当取值为时,统计量称为极差.例

设X1,X2,

X3

是总体

X

的一个样本,三次观测值如下,

X1

X2

X3

1

1

0

1

2

3

1

0

3

1

2

0则样本次序统计量的观察值表为

X1*

X2*

X3*

1

2

3011013012样本极差的观察值r1=1-0=1,r2=3,r3=2.特别地阐明定理1.6：定理1.6的推论：例且都服从原则正态分布N(0,1),则n=1

时,其密度函数为卡分布2468100.20.40.60.811.2正态总体的抽样分布相互独立,分布：设n=2

时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.2468100.10.20.30.4其中，一般的密度函数为自由度为

n的分布的性质：称为

函数.n=2n=3n=5n=10n=15则称F服从为第一自由度为m,第二自由度为n的F分布.

其密度函数为令X,Y相互独立，设F分布的性质性质则称T服从自由度为n的t分布