9.1离散型随机变量及其分布-中职《数学》下册知识拓展教学课件

9.1离散型随机变量及其分布探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业很多随机试验的结果都能够用数量来表示.如足球比赛时某队的

进球数、数学测试时某分数段的人数等.当把随机试验的结果看作是随机变量时，这些数量就是随机变量的取值,概率就成为随机变量的函数，这样就可以利用数学工具更全面地研究随机现象的规律性.情境导入离散型随机变量9.1.1情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业在第45

届世界技能大赛上，我国选手共获得

16枚金牌，位列金牌榜、奖牌榜、团体总分第一名.为备战世界技能大赛数控车项目比赛，某选手需要按尺寸要求进行钢件加工训练.从前期的训练结果可知，钢件的加工误差(单

位：mm)有-0.02,

-0.01,0,0.01,0.02,

产生这些误差的概率分别为

0.06,

0.1,

0.6,

0.2,

0.04.

通过分析这些数据,该选手可以改进编程参数和操作技巧，提高成绩.试问,误差与

应的概率之间是否具有西数关系？这些误差具有怎样的特点？

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业根据函数的定义可知，这里的概率是误差的函数，误差是自变量而概率是函数值.值得注意的是，在加工钢件时每一个误差的出现是不确定的.也就是说，误差这一变量的取值具有不确定性，加工钢件可以看作是一个随机试验.类似地，“掷一颗骰子”是一个随机试验，试验中骰子朝上一面的点数是一个取值具有不确定性的变量，其取值为1，2，3，4，5，6.事实上，以前学习过的许多随机试验都和这两个例子一样，每次实验的结果都对应于一个实数，并且试验结果具有随机性：于是，

这些随机试验可能出现的结果可以用一个变量来表示.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业随机试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，这个变量的取值就是随机的，我们把这个变量称为随机变量.一般地，随机变量用大写字母X,Y,⋯表示，有时也用希腊字母ξ,η,⋯表示.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业例如，若10件产品中含有2件次品，从中任取3件，用X

表示取得次品的件数，则X是一个随机变量，它的取值范围是{0,1,2}；用ξ表示骰子朝上一面的点数，则ξ是一个随机变量，它的取值范围是{1,2,3,4,5,6}.再如，用η表示从

1,2,3,4

中任取两个数相加所得的值，则η是一个随机变量，它的取值范围是{3,4,5,6,7}.

有些随机试验的结果虽然不是实数,但仍可以将它们数量化.如拋掷一枚硬币时，可以用“1”表示“正面向上”，用“0”表示“反面向上”，这个随机试验的结果就可以用一个随机变量来表示了.情境导入探索新知巩固练习归纳总结布置作业例题辨析情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

在上述随机实验中，随机变量所有可能的取值都能一一列举出来.一般地，所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.

本章我们主要学习离散型随机变量及其分布.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习

1.

下列随机变量中，哪些是离散型随机变量？写出离散型随机变量的取值范围.

(1)从某同学的家到学校有5个红绿灯路口，路上遇到绿灯的次数ξ;

(2)某同学可能出生的月份ξ;(3)投神两颗骰子，朝上的点数之和ξ;

(4)某品牌电灯的寿命ξ(以小时为单位).情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习2.

甲、乙两队进行足球比赛，胜方得3分，负方得0分，平局各得

1分，试写出比赛结束后甲队可能的胜负结果及对应的分值ξ.离散型随机变量的分布列及其数字特征9.1.2情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业在9.1.1的“情境与问题”中，概率是误差的函数.如何表示这个函数呢？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业容易看出,这个函数可以用列表法表示.误差是一个随机变量,记为ξ；与误差ξ相对应的概率是函数值,记为P,见下表.若一个离散型随机变量ξ所有可能的取值为x1,x2,…,xn,与各个取值相对应的概率分别为p1,p2,…,pn,则可列表表示ξ的各个取值与其概率的关系.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业离散型随机变量的取值及其相对应的概率的全体称为离散型随机变量的概率分布，通常把上表称为离散型随机变量的分布列.

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业观察第一个表可以发现，与误差ξ相对应的概率都是非负的，并且各个概率的和等于

1.对更多随机试验的研究表明，离散型随机变量

的分布列具有以下性质：

(1)

pi≥0，i=1,2,3,…,n；

(2)p1+p2+…+pn=1.

显然，离散型随机变量的分布列从概率角度全面反映了随机变量的取值规律.但是，在很多实际问题中，人们还关心离散型随机变量的平均取值和取值的离散程度等.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业一般地，若离散型随机变量ξ所有可能的取值为x1,x2,…,

xn,且各个取值所对应的概率分别为p1,p2,…,

pn,则称E(ξ)=x1p1+x2p2+…+xnpn为离散型随机变量的均值(或期望值)，称为离散型随机变量的方差.

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业在离散型随机变量的数字特征中，最重要的是均值和方差.离散型随机变量的均值刻画了这个随机变量的平均取值水平；离散型随机变量的方差刻画了这个随机变量的取值相对于均值的平均波动大小.

若随机变量概率分布的某种整体特征(平均取值、取值的集中程度等)可以用一个数值来表示，则称该数值为随机变量的数字特征.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例1学校举办一项活动，某班需要从

4

名男生、3名女生中随机选出3人参加.若选出的同学中女生人数为ξ，求：

(1)ξ的分布列；(2)选出的同学中至少有2名女生的概率；

(3)选出的同学中至多有2名女生的概率.(1)根据题意，ξ的取值为0，1，2，3.所以，ξ的分布列表为：解情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例1解学校举办一项活动，某班需要从

4

名男生、3名女生中随机

选出3人参加.若选出的同学中女生人数为ξ，求：

(1)ξ的分布列；(2)选出的同学中至少有2名女生的概率；

(3)选出的同学中至多有2名女生的概率.(2)P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=(3)P(ξ≤2)=

1-P(ξ=3)=情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题解

例3根据历次设计训练的记录，甲、乙、丙三人命中环数的分布列分别为下表.(1)求m的值；(2)试比较甲、乙两人射击水平的高低；(3)乙、丙两人睡的射击水平比较稳定？(1)由离散型随机变量分布列的性质可知，0.4+0.5+m=1，解得m=0.1；(2)E(ξ1)=8×0.4+9×0.5+10×0.1=8.7，

E(ξ2)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，这说明，乙射击命中环数的均值比甲射击命中环数的均值高，因此可以认为乙的射击水平比甲高.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题解

例3根据历次设计训练的记录，甲、乙、丙三人命中环数的分布列分别为下表.(1)求m的值；(2)试比较甲、乙两人射击水平的高低；(3)乙、丙两人睡的射击水平比较稳定？(3)E(ξ3)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，

D(ξ2)=(8-9)²×0.2+(9-9)²×0.6+(10-9)²×0.2=0.4，D(ξ3)=(8-9)²×0.4+(9-9)²×0.2+(10-9)²×0.4=0.8，由E(ξ2)=E(ξ3)，D(ξ2)<D(ξ3)可知，乙的射击水平比丙稳定.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习1.以下三个表中是离散型随机变量分布列的为

.表1.表2.表3.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习2.抛掷一颗骰子，朝上的点数记为

ξ.

(1)求5的分布列；

(2)求点数大于

4

的概率；

(3)求点数是偶数点的概率.

3.

已知随机变量ξ的分布列为下表

.求E(ξ)，D(ξ).二项分布9.1.3情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业1984

年，在第23届奥运会上，我国射击运动员许海峰获得了第一枚金牌，打破了我国在與运会金牌榜上“零”的纪录.在2021年第32届奥运会上，中国射击队获得4金1银6铜共11枚奖牌，取得如此优秀的成绩是与每名射击运动员在赛前的刻苦训练分不开的.已知赛前训练中，某射击运动员命中靶心的概率是0.9.若该运动员射击10次，则恰有8次命中靶心的概率是多少？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业在这个随机试验中，射击运动员射击

10

次，每次命中靶心的概率都是0.9.并且只有命中和不命中两种结果.因此，所求的概率为

.在日常生活和社会实践中、有些随机试验和这个例子一

样，只有两个结果，并且每次试验结果发生的概率互不影响.例如、从一批含有次品的产品中抽出一件产品进行检验，有放回地抽取n次、则每件产品被抽到的概率相同，且检验结果只有为合格和不合格两个结果.

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业像这样，在相同条件下重复地做n次试验，每一次试验只有两个可能的结果，并且每一次试验的结果发生的概率都不依赖于其他试验的结果，则称这样的n次试验为n次独立重复试验或n重伯努利试验.显然，前面的两个例子都是n次独立重复试验.

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业在n次独立重复试验中，若在一次试验中事件

A

发生的概率是

p，则它不发生的概率q=1-p，于是事件A恰好发生k(k=0,1,2,…,n)次的概率为

.设ξ是n次独立重复试验中事件A

发生的次数，则ξ的分布列为下表.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业我们把上述概率分布成为二项分布.有时，也说离散型随机变量ξ服从参数为n，p的二项分布，记作ξ~B(n,p).计算可得E(ξ)=np，D(ξ)=npq，其中q=1-p.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题解例3

某射击运动员每次命中目标的概率是0.6,该运动员射击10

次，求：

(1)10次射击中恰有4

次命中目标的概率；

(2)10次射击中恰有6次命中目标的概率；

(3)10次射击全部命中目标的概率.

(结果保留

5位小数)设该射击运动员命中目标的次数为

ξ，则服从二项分布.于是，(1)P(ξ=4)=；

(2)P(ξ=6)=；

(3)P(ξ=10)=.

情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题解例4

在10件产品中，有3件次品.每次抽取一件，有放回地抽取3次，求取得的次品件数

ξ

的概率分布.

ξ

可能的值为0,1,2,3.由于每次抽取

1件，有放回地抽取3次,故可以看作是3次独立重复试验，ξ服从二项分布.因为每次抽到次品的概率

p=0.3，所以，

，

，随机变量ξ的分布列表为在产品的抽样检验中，若每次抽样都放回，则抽取n件进行检验就相当于做n次独立重复试验，因此，在有放回地抽样检验中，抽取n件产品中含有次品的件数ξ服从二项分布.

一般地，当产品总数很大时，无放回地抽样检验也可以看作是有放回地抽样检验.情境导入探索新知巩固练习归纳总结布置作业例题辨析情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题解例5已知ξ~B(10,0.2)：P(ξ=k)=(k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)，求E(ξ)和D(ξ).根据题意可知，E(ξ)=np=10×0.2=2，D(ξ)=npq=10×0.2×0.8=1.6.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题分析例6某地区发生一种猪瘟疫情，生猪患病的概率是0.2,且每头生猪患病与否是彼此独立的.现有一种新研制的预防药，任选20头生猪做实验，结果这20头生猪服用此药后均未患病，问此药是

否有效？

检验预防药是否有效，我们恪守“小概率事件在一次试验中，几乎不可能发生”的原理.随机抽取

20

头生猪、计算它们都不患病的概率，若“20

头生猪都不患病”发生的概率很小，而现在这

20

头生猪都未患病，那么可以推断此药有