高等数学多元函数求导习题

高等数学多元函数求导习题一、单项选择题（每题2分，共10题，计20分）1.设函数f(x,y)在点P(x0,y0)处偏导数存在，则下列说法正确的是（）。A.f(x,y)在点P处连续B.f(x,y)在点P处可微C.f(x,y)沿任意方向的方向导数存在D.f(x,y)在点P处沿x轴和y轴的方向导数分别为f_x(x0,y0)和f_y(x0,y0)解析：偏导数存在仅保证函数在该点沿坐标轴方向的变化率存在，不能推导出函数连续或可微。方向导数与偏导数存在无必然联系，但沿坐标轴方向的方向导数等于对应偏导数。因此正确选项为D。2.若函数z=f(x,y)在区域D内满足f_x(x,y)=0且f_y(x,y)=0，则（）。A.f(x,y)在D内必有极值B.f(x,y)在D内必有驻点C.f(x,y)在D内必为常数函数D.f(x,y)在D内可能存在驻点但不一定有极值解析：偏导数为零的点为驻点，但驻点未必是极值点。例如f(x,y)=x^3在(0,0)处驻点但非极值点。故B正确，A、C错误。方向导数为零的点不一定是极值点，D正确。3.设函数f(x,y)=|x|+|y|在点(0,0)处（）。A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在C.可微D.方向导数存在解析：f_x(0,0)=0且f_y(0,0)=0，但f(x,y)在(0,0)处不可微，因为沿不同路径的极限不同。方向导数存在但偏导数不连续。故D正确。4.若函数z=f(x,y)在点P处沿方向l=ai+bj的方向导数为√(a^2+b^2)，则（）。A.f(x,y)在P处可微B.f(x,y)在P处沿其他方向的方向导数均大于零C.f(x,y)在P处沿x轴方向导数为aD.f(x,y)在P处沿y轴方向导数为b解析：方向导数公式为∇f•e_l，若方向导数等于模长，则∇f与l同向。即f_x=a且f_y=b，但无法判断可微性。故C正确。5.设函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D上，则∇f在D上的模长最大值出现在（）。A.原点(0,0)B.边界上C.内部任意点D.不确定解析：∇f=(2x,2y)，模长为√(4x^2+4y^2)=2√(x^2+y^2)，在原点处模长为零，边界上模长无限大，内部模长随距离原点增大而增大。故B正确。6.若函数f(x,y)在区域D上满足f_x(x,y)=2x且f_y(x,y)=2y，则f(x,y)在D上（）。A.必有驻点B.必有极值点C.必为线性函数D.必为二次函数解析：驻点满足f_x=0且f_y=0，即x=0且y=0，驻点存在。但无法判断是否为极值点。由全微分f(x,y)=2xdx+2ydy可知f(x,y)=x^2+y^2+C，故C正确。7.设函数z=f(x,y)在点P处可微，且f_x(x,y)=1，f_y(x,y)=2，则当(x,y)从(1,1)沿方向l=3i+4j变化时，方向导数为（）。A.11B.10C.9D.8解析：方向导数∇f•e_l=1×3+2×4=11。故A正确。8.若函数f(x,y)在区域D上连续可微，且在D内满足f_x(x,y)=0，则（）。A.f(x,y)在D内为常数函数B.f(x,y)在D内沿任意方向的方向导数为零C.f(x,y)在D内必为x的函数D.f(x,y)在D内沿y轴方向的方向导数为零解析：f_x=0意味着f不随x变化，即f(x,y)=g(y)为y的函数。沿x方向方向导数为f_x=0，沿y方向为f_y。故C正确。9.设函数z=f(x,y)在点P处沿方向l=cosθi+sinθj的方向导数为最大值√2，且f_x(P)=1，则（）。A.f_y(P)=1B.f_y(P)=0C.θ=π/4D.θ=π/2解析：方向导数最大时∇f与l同向，即cosθ=f_x/√(f_x^2+f_y^2)，sinθ=f_y/√(f_x^2+f_y^2)。已知f_x=1且方向导数√2，则√(1+f_y^2)=√2，f_y=±1。cosθ=sinθ=±1/√2，θ=π/4或3π/4。故C正确。10.若函数f(x,y)在区域D上满足f_x(x,y)=y且f_y(x,y)=x，则f(x,y)在D上（）。A.必为一次函数B.必为二次函数C.必为x^2-y^2+CD.必为xy+C解析：由全微分f(x,y)=ydx+xdy可得f(x,y)=xy+C。故D正确。二、填空题（每空2分，共10空，计20分）1.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微，且f_x(x0,y0)=2，f_y(x0,y0)=-3，则当(x,y)从(x0,y0)沿方向l=i+j变化时，函数f(x,y)的增量近似为________。参考答案：-1/√2解析：增量Δf≈delf=∇f•dl=(2,-3)•(1/√2,1/√2)=2/√2-3/√2=-1/√2。2.设函数z=f(x,y)在点(1,2)处可微，且f(1,2)=5，f_x(1,2)=1，f_y(1,2)=-1，则f(1.01,1.98)≈________。参考答案：5.003解析：f(1.01,1.98)≈f(1,2)+f_x(1,2)×(1.01-1)+f_y(1,2)×(1.98-2)=5+1×0.01+(-1)×(-0.02)=5.03。3.若函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2在点(1,1)处的方向导数为√10，则该方向的方向余弦为________。参考答案：(3/√10,1/√10)解析：∇f=(2x+2y,2x+2y)在(1,1)处为(4,4)，方向余弦为(4/√32,4/√32)=(3/√10,1/√10)。4.设函数f(x,y)在区域D上满足f_x(x,y)=2y且f_y(x,y)=2x，则f(x,y)在D上的一般表达式为________。参考答案：x^2+2xy+C解析：由全微分f(x,y)=2ydx+2xdy可得f(x,y)=x^2+2xy+C。5.若函数z=f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，f_x(0,0)=1，f_y(0,0)=2，则lim_{(x,y)→(0,0)}[f(x,y)-f(0,0)-(x,y)]/(√x^2+y^2)的值为________。参考答案：0解析：由可微定义，lim_{(x,y)→(0,0)}[f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y]/√x^2+y^2=0。6.设函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)在点(1,1)处的梯度向量为________。参考答案：(2,2)解析：∇f=(∂ln(x^2+y^2)/∂x,∂ln(x^2+y^2)/∂y)=(2x/(x^2+y^2),2y/(x^2+y^2))在(1,1)处为(2,2)。7.若函数f(x,y)在区域D上满足f_x(x,y)=0且f_y(x,y)=0，则f(x,y)在D上必为________函数。参考答案：常数解析：偏导数为零意味着函数不随x或y变化，必为常数函数。8.设函数z=f(x,y)在点P处沿方向l=2i-3j的方向导数为-5，且f_x(P)=1，则f_y(P)的值为________。参考答案：3解析：方向导数-5=∇f•(2/√13,-3/√13)=f_x(2/√13)-f_y(3/√13)，即-5=2/√13f_x-3/√13f_y，代入f_x=1解得f_y=3。9.若函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D上，则∇f在D上的模长最大值出现在________处。参考答案：无穷远处解析：∇f=(2x,2y)，模长为2√(x^2+y^2)，随距离原点增大而增大，无最大值。10.若函数f(x,y)在区域D上连续可微，且在D内满足f_y(x,y)=0，则f(x,y)在D上必为________函数。参考答案：x解析：f_y=0意味着f不随y变化，即f(x,y)=g(x)为x的函数。三、判断题（每题2分，共10题，计20分）1.若函数f(x,y)在点P处沿任意方向的方向导数存在，则f(x,y)在P处必可微。（×）解析：方向导数存在不能保证偏导数连续，例如f(x,y)=|x|在(0,0)处沿任意方向方向导数存在但不可微。2.若函数f(x,y)在区域D上满足f_x(x,y)=0，则f(x,y)在D上必为常数函数。（×）解析：仅f_x=0不能保证函数为常数，例如f(x,y)=g(y)为y的函数。3.若函数f(x,y)在点P处可微，则f(x,y)在P处必连续。（√）解析：可微必连续是多元函数的基本定理。4.若函数f(x,y)在区域D上满足f_y(x,y)=0，则f(x,y)在D上必为x的函数。（√）解析：f_y=0意味着f不随y变化，即f(x,y)=g(x)为x的函数。5.若函数f(x,y)在点P处沿方向l的方向导数为零，则∇f在P处必垂直于l。（×）解析：方向导数为零时∇f与l可能平行或∇f=0。例如f(x,y)=x^2-y^2在(0,0)处沿y=x方向方向导数为0但∇f=(0,0)。6.若函数f(x,y)在区域D上连续，则f(x,y)在D上必可微。（×）解析：连续不能保证可微，例如f(x,y)=|x|在(0,0)处连续但不可微。7.若函数f(x,y)在点P处可微，且f_x(P)≠0，则f(x,y)在P处沿x轴方向的方向导数等于f_x(P)。（√）解析：沿x轴方向的方向导数为f_x。8.若函数f(x,y)在区域D上满足f_x(x,y)=f_y(x,y)=0，则f(x,y)在D上必为常数函数。（√）解析：偏导数为零必为常数函数。9.若函数f(x,y)在区域D上连续可微，且在D内满足f_x(x,y)=0，则f(x,y)在D上必为y的函数。（×）解析：f_x=0意味着f不随x变化，即f(x,y)=g(y)为y的函数。10.若函数f(x,y)在点P处沿任意方向的方向导数存在且相等，则f(x,y)在P处必为常数函数。（√）解析：方向导数相等且连续必为常数函数。四、简答题（每题2分，共8题，计16分）1.解释什么是多元函数的偏导数，并举例说明其在实际问题中的应用。答：偏导数表示函数沿某个坐标轴方向的变化率。例如，某城市房价z随房屋面积x和距市中心距离y变化，f_x(x,y)表示面积增加1单位时房价的变化率，f_y(x,y)表示距离增加1单位时房价的变化率。2.多元函数可微与连续的关系是什么？答：可微必连续，但连续不一定可微。例如f(x,y)=|x|在(0,0)处连续但不可微。3.什么是方向导数？其物理意义是什么？答：方向导数表示函数沿某个方向的变化率。物理意义为某物理量在某个方向上的变化速度。例如温度场中方向导数表示温度沿某个方向的变化率。4.梯度的定义是什么？其模长的物理意义是什么？答：梯度为偏导数组成的向量∇f=(f_x,f_y)。模长表示函数变化最快的方向和变化率。5.若函数f(x,y)在区域D上满足f_x(x,y)=0，f_y(x,y)=0，则f(x,y)在D上必为常数函数，为什么？答：偏导数为零意味着函数不随x或y变化，即f(x,y)=g(x)为x的函数且g_y=0，必为常数函数。6.解释全微分的定义及其几何意义。答：全微分delf=f_xdx+f_ydy表示函数在点(x,y)附近沿dx和dy方向的线性近似变化。几何意义为切平面的增量。7.若函数f(x,y)在点P处沿任意方向的方向导数存在且相等，则f(x,y)在P处必为常数函数，为什么？答：方向导数相等且连续意味着函数在所有方向上的变化率相同，必为常数函数。8.解释驻点、极值点、鞍点的区别。答：驻点为偏导数为零的点；极值点为驻点且满足二阶条件；鞍点为驻点但二阶条件不满足，沿一个方向增加沿另一个方向减少。五、应用题（每题4分，共8题，计32分）1.某工厂生产两种产品A和B，产量分别为x和y，成本函数为C(x,y)=10x^2+20y^2+5xy+1000。求当x=10，y=20时，总成本的变化率。解：总成本C(x,y)=10x^2+20y^2+5xy+1000，∇C=(20x+5y,40y+5x)，在(10,20)处为(250,450)，沿x方向变化率为250，沿y方向变化率为450。2.设函数z=f(x,y)=x^2+y^2在区域D上，求∇f在D上的模长最大值及其方向。解：∇f=(2x,2y)，模长为2√(x^2+y^2)，随距离原点增大而增大，无最大值。3.若函数f(x,y)=x^3+3xy^2在点(1,1)处沿方向l=2i-3j变化，求方向导数。解：∇f=(3x^2+3y^2,6xy)，在(1,1)处为(6,6)，方向余弦为(2/√13,-3/√13)，方向导数=6×2/√13+6×(-3)/√13=-6/√13。4.设函数f(x,y)=ln(x+y)在区域D上，求在点(1,1)处的线性近似。解：∇f=(1/(x+y),1/(x+y))，在(1,1)处为(1/2,1/2)，线性近似L(x,y)=f(1,1)+∇f•(x-1,y-1)=1/2(x+y-2)。5.若函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D上，求∇f在D上的模长最小值及其方向。解：∇f=(2x,2y)，模长为2√(x^2+y^2)，在原点处模长为零，最小值为0。6.设函数f(x,y)=e^(xy)在区域D上，求在点(0,0)处的线性近似。解：∇f=(yxe^(xy),xie^(xy))，在(0,0)处为(0,0)，线性近似L(x,y)=f(0,0)+∇f•(x-0,y-0)=1。7.若函数f(x,y)=sin(x+y)在区域D上，求在点(π,0)处的线性近似。解：∇f=(cos(x+y),cos(x+y))，在(π,0)处为(-1,-1)，线性近似L