高等数学无穷小与无穷大习题

高等数学无穷小与无穷大习题【考核对象】高等数学课程学习者、理工科专业学生【题型分值分布】-单项选择题（10题×2分=20分）-填空题（10题×2分=20分）-判断题（10题×2分=20分）-简答题（8题×2分=16分）-应用题（8题×4分=32分）一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，当x→0时，哪一项是x²的高阶无穷小？A.x²sin(1/x)B.xln(x+1)C.ex-1D.arcsinx解析：-高阶无穷小定义：若lim(x→0)f(x)/g(x)=0，则f(x)是g(x)的高阶无穷小。-A项：x²sin(1/x)的极限为0，但比x²低阶（因sin(1/x)无界）；-B项：xln(x+1)≈x²（泰勒展开），与x²同阶；-C项：ex-1≈x（泰勒展开），与x²低阶；-D项：arcsinx≈x（泰勒展开），与x²低阶。正确参考答案：A2.函数f(x)=x³-3x在x→0时的无穷小阶数是？A.一阶B.二阶C.三阶D.非无穷小解析：-分解f(x)=x(x²-3)，当x→0时，x³为主导项，无穷小阶数为3。-选项C正确，其他选项错误。正确参考答案：C3.若lim(x→a)g(x)=0且g(x)≠0，函数f(x)/g(x)可能为？A.无穷大B.0C.常数D.以上皆有可能解析：-若f(x)→0且比g(x)高阶，则f(x)/g(x)→0；-若f(x)→非0，则f(x)/g(x)→∞；-若f(x)与g(x)同阶，则极限存在且为常数。正确参考答案：D4.函数f(x)=sin(1/x)在x→0时属于？A.无穷小B.无穷大C.无界但非无穷大D.极限存在解析：-sin(1/x)在x→0时振荡无界，但非单调增长，不属于无穷大。正确参考答案：C5.若f(x)=x²sin(1/x)且g(x)=x，则当x→0时，下列说法正确的是？A.f(x)是g(x)的高阶无穷小B.f(x)与g(x)同阶C.f(x)是g(x)的低阶无穷小D.f(x)与g(x)非无穷小关系解析：-lim(x→0)f(x)/g(x)=lim(x→0)xsin(1/x)=0，f(x)是g(x)的高阶无穷小。正确参考答案：A6.函数f(x)=ln(1+x)-x在x→0时的主导项是？A.x²B.x³C.1D.0解析：-泰勒展开：ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…，主导项为-x²。正确参考答案：A7.若f(x)是x→a时的无穷小，则f(x)sin(f(x))在x→a时是？A.无穷小B.无穷大C.常数D.不确定解析：-令y=f(x)，当x→a时y→0，sin(y)≈y，f(x)sin(f(x))≈f(x)²→0。正确参考答案：A8.函数f(x)=xsin(1/x)+cos(1/x)在x→0时的行为是？A.无穷小B.无穷大C.无界但非无穷大D.极限存在解析：-xsin(1/x)→0，cos(1/x)无界，整体无界但非单调，属于无界非无穷大。正确参考答案：C9.若f(x)=x²sin(1/x)且g(x)=x³cos(1/x)，则当x→0时，f(x)/g(x)的极限是？A.0B.1C.-1D.不存在解析：-lim(x→0)f(x)/g(x)=lim(x→0)(x²sin(1/x))/x³cos(1/x)=lim(x→0)tan(1/x)/x→0。正确参考答案：A10.函数f(x)=e^(-1/x²)在x→0时属于？A.无穷小B.无穷大C.无界但非无穷大D.常数解析：-e^(-1/x²)→0，属于无穷小。正确参考答案：A---二、填空题（每题2分，共20分）1.若lim(x→0)(x³+x^2sin(1/x))/x^n=5，则n=______。参考答案：3解析：-分子主导项为x³，极限为5，需n=3。2.函数f(x)=xsin(1/x)在x→0时是______无穷小。参考答案：一阶解析：-f(x)≈x，无穷小阶数为1。3.若f(x)=x²ln(1+x)，则当x→0时，f(x)是x的高阶无穷小，阶数为______。参考答案：三解析：-f(x)≈x³，无穷小阶数为3。4.函数f(x)=1-cos(x²)在x→0时是______无穷小。参考答案：四解析：-1-cos(x²)≈x⁴/2，无穷小阶数为4。5.若f(x)=x²sin(1/x)且g(x)=x³，则当x→0时，f(x)/g(x)是______无穷小。参考答案：二阶解析：-f(x)/g(x)=x⁻¹sin(1/x)→0，无穷小阶数为2。6.函数f(x)=e^(-1/x)在x→0时是______无穷小。参考答案：非无穷小解析：-e^(-1/x)→0，属于无穷小。7.若f(x)=sin(x)/x且g(x)=cos(x)，则当x→0时，f(x)是g(x)的______无穷小。参考答案：同阶解析：-f(x)→1，g(x)→1，同阶。8.函数f(x)=ln(1+x²)在x→0时是______无穷小。参考答案：二解析：-f(x)≈x²，无穷小阶数为2。9.若f(x)=xsin(1/x)且g(x)=x²，则当x→0时，f(x)/g(x)的极限是______。参考答案：0解析：-f(x)/g(x)=x⁻¹sin(1/x)→0。10.函数f(x)=e^(-1/x²)在x→0时是______无穷小。参考答案：三解析：-e^(-1/x²)→0，无穷小阶数≥3。---三、判断题（每题2分，共20分）1.若f(x)是x→a时的无穷小，则f(x)²也是无穷小。（√）解析：-无穷小平方仍为无穷小。2.函数f(x)=1/x在x→0时是无穷大。（√）解析：-1/x→∞，属于无穷大。3.若f(x)与g(x)都是无穷小，则f(x)+g(x)也是无穷小。（√）解析：-无穷小和仍为无穷小。4.函数f(x)=x²sin(1/x)在x→0时是无穷小。（√）解析：-f(x)≈x，无穷小阶数为1。5.若f(x)是x→a时的无穷大，则1/f(x)是无穷小。（√）解析：-1/f(x)→0，属于无穷小。6.函数f(x)=e^x在x→0时是无穷小。（×）解析：-e^x→1，非无穷小。7.若f(x)与g(x)同阶无穷小，则f(x)/g(x)有极限。（×）解析：-例子：f(x)=x，g(x)=2x，f(x)/g(x)→1/2；但若f(x)=x²，g(x)=x，则极限不存在。8.函数f(x)=ln(1+x)在x→0时是无穷小。（√）解析：-f(x)≈x，无穷小阶数为1。9.若f(x)是x→a时的无穷大，则f(x)sin(f(x))也是无穷大。（×）解析：-例子：f(x)=1/x，f(x)sin(f(x))=sin(1/x)，振荡无界但非单调，非无穷大。10.函数f(x)=1-cos(x²)在x→0时是无穷小。（√）解析：-f(x)≈x⁴/2，无穷小阶数为4。---四、简答题（每题2分，共16分）1.简述无穷小量的定义及其性质。参考答案：-定义：若lim(x→a)f(x)=0，则称f(x)是x→a时的无穷小量。-性质：①有限个无穷小的和仍是无穷小；②无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小；③若f(x)→0且g(x)→0，则f(x)/g(x)可能为0、∞或不确定。2.如何判断两个函数在x→a时的无穷小阶数？参考答案：-方法：比较主导项的阶数。若f(x)≈x^m，g(x)≈x^n，则f(x)是g(x)的高阶无穷小当m<n；同阶当m=n。-例子：f(x)=x²sin(1/x)，g(x)=x³cos(1/x)，f(x)是g(x)的高阶无穷小（3<3）。3.函数f(x)=xsin(1/x)在x→0时是否为无穷小？为什么？参考答案：-是无穷小。-因为lim(x→0)f(x)/x=lim(x→0)sin(1/x)=1，但sin(1/x)振荡，f(x)仍为无穷小（根据定义，极限为0即可）。4.函数f(x)=e^(-1/x²)在x→0时是无穷小吗？为什么？参考答案：-是无穷小。-因为e^(-1/x²)→0，无论x从左或右趋近0，极限均为0。5.若f(x)=x²ln(1+x)，则当x→0时，f(x)是x的高阶无穷小吗？参考答案：-是。-因为f(x)≈x³（泰勒展开），无穷小阶数为3，比x的高阶。6.函数f(x)=1-cos(x²)在x→0时是几阶无穷小？参考答案：-二阶无穷小。-因为1-cos(x²)≈x⁴/2，无穷小阶数为4。7.若f(x)是x→0时的无穷小，则f(x)sin(f(x))是无穷小吗？参考答案：-是。-因为f(x)sin(f(x))≈f(x)²，无穷小阶数为2，仍为无穷小。8.函数f(x)=ln(1+x²)在x→0时是几阶无穷小？参考答案：-二阶无穷小。-因为ln(1+x²)≈x²，无穷小阶数为2。---五、应用题（每题4分，共32分）1.案例：某函数f(x)在x→0时满足f(x)=x³+ax²+bx+c，且已知f(x)/x³→2，求a、b、c的值。参考答案：-解：①由f(x)/x³→2，得1+a+b/x+c/x³→2，故a=1，b=0，c=0。②因此f(x)=x³+x²。2.案例：函数f(x)=x²sin(1/x)+cos(1/x)，当x→0时，判断其是否为无穷小。参考答案：-解：①x²sin(1/x)→0，cos(1/x)无界，整体无界但非单调，非无穷大。②故f(x)非无穷小。3.案例：函数f(x)=e^(-1/x²)在x→0时是否为无穷小？若f(x)g(x)=e^(-1/x²)，求g(x)的阶数。参考答案：-解：①e^(-1/x²)→0，是无穷小。②若f(x)g(x)=e^(-1/x²)，则g(x)需为主导项，即g(x)≈e^(1/x²)，非无穷小。4.案例：函数f(x)=ln(1+x)-x，当x→0时，求其无穷小阶数。参考答案：-解：①泰勒展开：ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…，主导项为-x²。②故无穷小阶数为2。5.案例：函数f(x)=x³sin(x)/x²，当x→0时，求f(x)/x²的极限。参考答案：-解：①f(x)/x²=xsin(x)/x=xsin(x)→0，极限为0。6.案例：函数f(x)=x²ln(1+x)，当x→0时，求f(x)/x³的极限。参考答案：-解：①f(x)/x³=ln(1+x)/x→1，极限为1。7.案例：函数f(x)=xsin(1/x)+cos(1/x)，当x→0时，求f(x)/x的极限。