2026年北师大版高二数学第三章函数性质题库试卷

2026年北师大版高二数学第三章函数性质题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,2)上的最大值和最小值分别为（）A.最大值8，最小值-8B.最大值4，最小值-4C.最大值0，最小值-8D.最大值8，最小值0解析：f(x)的导数为f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。当x∈(-2,-1)时，f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,2)时，f'(x)>0，函数单调递增。因此f(x)在x=-1处取得极大值4，在x=1处取得极小值-2。又f(-2)=-8，f(2)=0，故最大值为4，最小值为-8。参考答案：B2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)分段为：x∈[-3,-2]时，f(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时，f(x)=3；x∈[1,3]时，f(x)=2x+1。显然f(x)在x=-2处取得最小值2。参考答案：B3.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：f'(x)=2x+2a，由题意f'(1)=0得2+2a=0，解得a=-1。此时f''(x)=2>0，故x=1处为极小值点。参考答案：A4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f(x)=ln((x-1)²+2)，定义域为R，当x∈(0,1)时，(x-1)²+2单调递减，f(x)单调递减；当x∈(1,3)时，(x-1)²+2单调递增，f(x)单调递增。参考答案：C5.函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点坐标为（）A.(0,2)B.(1,0)C.(2,-1)D.(1,1)解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，f(1)=1³-3×1²+2×1=0，故拐点为(1,0)。参考答案：B6.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）A.1B.2C.eD.-1解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。此时f''(0)=e>0，故x=0处为极小值点。参考答案：A7.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2。经检验f(π/6)=√3/2+1/2=√3，为最大值。参考答案：C8.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的函数为（）A.g(x)=x³-3x-1B.g(x)=-x³+3x+1C.g(x)=x³+3x-1D.g(x)=-x³+3x-1解析：若f(x)关于(1,0)对称，则f(1-x)=-f(1+x)，代入f(x)=x³-3x+1验证，仅选项D满足。参考答案：D9.函数f(x)=x²ln(x)在x=1处的切线方程为（）A.y=x-1B.y=2x-2C.y=xD.y=2x解析：f'(x)=2xln(x)+x，f'(1)=2，f(1)=0，切线方程为y=2(x-1)。参考答案：B10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x²-6x+2，判别式Δ=36-24=12>0，f'(x)=0有两不等实根，结合f(-1)=-4，f(0)=0，f(1)=-2，f(3)=0，可知有三个零点。参考答案：C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-6x²+9x+1在区间[0,5]上的最大值为_________。参考答案：28解析：f'(x)=3x²-12x+9，令f'(x)=0得x=1或x=3，f(0)=1，f(1)=5，f(3)=1，f(5)=56，故最大值为56。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域为_________。参考答案：[3,+\infty)解析：f(x)分段为：x∈(-∞,-2]时，f(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时，f(x)=3；x∈[1,+∞)时，f(x)=2x+1。最小值为3，值域为[3,+\infty)。3.函数f(x)=x²-2x+3在区间[1,3]上的最小值是_________。参考答案：2解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1，f(1)=2，f(3)=6，故最小值为2。4.若函数f(x)=x³+ax²+bx在x=1处取得极值，且极值为-2，则a+b=_________。参考答案：-5解析：f'(x)=3x²+2ax+b，由f'(1)=0得3+2a+b=0，f(1)=-2得1+a+b=-2，解得a=-3，b=1，故a+b=-2。5.函数f(x)=ln(x²+1)在区间(-1,1)上的单调递减区间为_________。参考答案：(-1,0)解析：f'(x)=2x/(x²+1)，令f'(x)<0得x<0，故单调递减区间为(-1,0)。6.函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点坐标为_________。参考答案：(1,0)解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，f(1)=0，故拐点为(1,0)。7.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a=_________。参考答案：1解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。8.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值为_________。参考答案：√3解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2，经检验f(π/6)=√3为最大值。9.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的函数为_________。参考答案：-x³+3x-1解析：若f(x)关于(1,0)对称，则f(1-x)=-f(1+x)，代入f(x)=x³-3x+1验证，仅选项D满足。10.函数f(x)=x²ln(x)在x=1处的切线方程为_________。参考答案：y=2x-2解析：f'(x)=2xln(x)+x，f'(1)=2，f(1)=0，切线方程为y=2(x-1)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间[-1,1]上既有最大值也有最小值。（）参考答案：正确解析：f'(x)=3x²≥0，函数单调递增，故最大值为1，最小值为-1。2.函数f(x)=|x|在定义域上处处可导。（）参考答案：错误解析：x=0处不可导，存在折点。3.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则必有f'(c)=0。（）参考答案：正确解析：根据极值必要条件，可导函数在极值点处导数为0。4.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于原点对称。（）参考答案：错误解析：f(-x)=-x³+3x-1≠-f(x)，非奇函数。5.函数f(x)=e^x在定义域上单调递增。（）参考答案：正确解析：f'(x)=e^x>0，处处单调递增。6.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,2π]上有四个零点。（）参考答案：正确解析：令sin(x)+cos(x)=0得tan(x)=-1，在[0,2π]上有x=3π/4，5π/4，7π/4，9π/4。7.函数f(x)=x³-3x+2在区间[-2,2]上有三个零点。（）参考答案：正确解析：f(-2)=-8，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，由连续性可知有三个零点。8.函数f(x)=ln(x)在x=1处的切线方程为y=x-1。（）参考答案：正确解析：f'(1)=1，f(1)=0，切线方程为y=x-1。9.函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点为(1,0)。（）参考答案：正确解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，f(1)=0，故拐点为(1,0)。10.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上单调递增。（）参考答案：正确解析：f'(x)=cos(x)-sin(x)=√2sin(π/4-x)，在[0,π/2]上f'(x)≥0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值4，最小值-2解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈2.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=6，故最大值为6，最小值为-4。2.判断函数f(x)=x³-6x²+9x+1在区间[0,3]上的单调性。参考答案：先增后减解析：f'(x)=3x²-12x+9，令f'(x)=0得x=1或x=3，当x∈[0,1]时，f'(x)≥0，单调递增；当x∈[1,3]时，f'(x)≤0，单调递减。3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域。参考答案：[3,+\infty)解析：分段为：x∈(-∞,-2]时，f(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时，f(x)=3；x∈[1,+∞)时，f(x)=2x+1。最小值为3，值域为[3,+\infty)。4.若函数f(x)=x³+ax²+bx在x=1处取得极值，且极值为-2，求a+b的值。参考答案：-5解析：f'(x)=3x²+2ax+b，由f'(1)=0得3+2a+b=0，f(1)=-2得1+a+b=-2，解得a=-3，b=1，故a+b=-2。5.求函数f(x)=ln(x²+1)在区间(-1,1)上的单调递减区间。参考答案：(-1,0)解析：f'(x)=2x/(x²+1)，令f'(x)<0得x<0，故单调递减区间为(-1,0)。6.求函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点坐标。参考答案：(1,0)解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，f(1)=0，故拐点为(1,0)。7.求函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值时a的值。参考答案：1解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。8.求函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值。参考答案：√3解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2，经检验f(π/6)=√3为最大值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x³-6x²+9x+10（x为产量），求产量x=3时的边际成本，并解释其经济意义。参考答案：边际成本为0解析：边际成本为C'(x)=3x²-12x+9，当x=3时，C'(3)=3×3²-12×3+9=0，经济意义：此时产量每增加一个单位，总成本不变。2.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的零点个数。参考答案：3个解析：f'(x)=3x²-6x+2，判别式Δ=36-24=12>0，f'(x)=0有两不等实根，结合f(0)=0，f(1)=0，f(2)=0，可知有三个零点。3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值3，x=-2解析：分段为：x∈[-3,-2]时，f(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时，f(x)=3；x∈[1,3]时，f(x)=2x+1。最小值为3，取得最小值时x=-2。4.求函数f(x)=x³-3x+2的图象关于点(1,0)对称的函数表达式。参考答案：g(x)=-x³+3x-1解析：若f(x)关于(1,0)对称，则f(1-x)=-f(1+x)，代入f(x)=x³-3x+2验证，仅选项D满足。5.求函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值及取得最大值时的x值。参考答案：最大值√3，x=π/6解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2，经检验f(π/6)=√3为最大值。6.求函数f(x)=x²ln(x)在x=1处的切线方程，并说明其几何意义。参考答案：y=2x-2解析：f'(x)=2xln(x)+x，f'(1)=2，f(1)=0，切线方程为y=2(x-1)，几何意义是函数在x=1处的瞬时变化率。7.某物体运动的路程函数为s(t)=t³-6t²+9t，求该物体在t=3时的速度和加速度。参考答案：速度为0，加速度为6解析：速度v(t)=s'(t)=3t²-12t+9，加速度a(t)=v'(t)=6t-12，当t=3时，v(3)=0，a(3)=6。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.C5.B6.A7.C8.D9.B10.C二、填空题1.2812.[3,+\infty)13.214.-515.(-1,0)16.(1,0)17.118.√319.-x³+3x-120.y=2x-2三、判断题1.√22.×23.√24.×25.√26.√27.√28.√29.√30.√四、简答题1.最大值4，最小值-4解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈2.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=6，故最大值为6，最小值为-4。2.先增后减解析：f'(x)=3x²-12x+9，令f'(x)=0得x=1或x=3，当x∈[0,1]时，f'(x)≥0，单调递增；当x∈[1,3]时，f'(x)≤0，单调递减。3.[3,+\infty)解析：分段为：x∈(-∞,-2]时，f(x)=-2x-1；x∈[-2,1]时，f(x)=3；x∈[1,+∞)时，f(x)=2x+1。最小值为3，值域为[3,+\infty)。4.-2解析：f'(x)=3x²+2ax+b，由f'(1)=0得3+2a+b=0，f(1)=-2得1+a+b=-2，解得a=-3，b=1，故a+b=-2。5.(-1,0)解析：f'(x)=2x/(x²+1)，令f'(x)<0得x<0，故单调递减区间为(-1,0)。6.(1,0)解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，f(1)=0，故拐点为(1,0)。7.1解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=