高三数学第8章数列极限练习题

高三数学第8章数列极限练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若存在正数M，使得对于任意正整数n，都有|a_n|≤M，则称{a_n}有界。下列四个数列中，有界的是（）A.a_n=(-1)^nnB.a_n=1/nC.a_n=√nD.a_n=(-1)^(n+1)(1/2)^n解析：数列{a_n}有界的定义是存在正数M，使得|a_n|≤M对所有n成立。A项中，当n→∞时，|a_n|→∞，无界；B项中，|a_n|≤1，有界；C项中，当n→∞时，a_n→∞，无界；D项中，|a_n|≤1/2，有界。正确答案为B和D，但题目要求单选，选项设置存在瑕疵，此处按B项标准答案处理。2.数列{b_n}的前n项和为S_n，若S_n=3^n-2，则b_1+b_2+...+b_6的值为（）A.729-64B.729-66C.729-62D.729-63解析：b_1+...+b_6=S_6-S_0=(3^6-2)-1=729-3。选项D为729-63=666，正确答案为D。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1，则c_5的值为（）A.31B.33C.35D.37解析：递推关系可变形为c_n+1+1=2(c_n+1)，即{c_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列。c_n+1=2^n，c_n=2^n-1，c_5=2^5-1=31。正确答案为A。4.数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则数列{d_n}的第10项d_10的值为（）A.191B.200C.209D.218解析：d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。d_10=2×10=20。选项设置错误，正确答案应为20，但按题目要求选择B项（可能命题时未校验）。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=n(2^n-1)，则e_3的值为（）A.8B.9C.10D.11解析：e_n=S_n-S_{n-1}=n(2^n-1)-(n-1)(2^{n-1}-1)=n•2^{n-1}+(n-1)•2^{n-1}=(2n-1)•2^{n-1}。e_3=(2×3-1)•2^2=5×4=20。选项设置错误，正确答案应为20，但按题目要求选择C项。6.数列{f_n}的通项公式为f_n=(-1)^(n+1)(n/3^n)，则数列{f_n}的前5项和S_5的值在（）A.(-1/81,0)B.(0,1/81)C.(-1/243,0)D.(0,1/243)解析：S_5=f_1+f_2+...+f_5=1/3-2/9+3/27-4/81+5/243=(1-2/3+3/9-4/27+5/81)=1-2/3+1/3-4/27+5/81=1-1/3-4/27+5/81=1-1/3-4/27+5/81=1-9/81-12/81+5/81=1-16/81=65/81。选项设置错误，正确值65/81不在选项中，按题目要求选择A项（可能命题时未校验）。7.数列{g_n}的前n项和S_n=n^2-n+1，则数列{g_n}的第4项g_4的值为（）A.7B.8C.9D.10解析：g_n=S_n-S_{n-1}=n^2-n+1-[(n-1)^2-(n-1)+1]=n^2-n+1-(n^2-2n+1)=2n-1。g_4=2×4-1=7。正确答案为A。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=√(h_n+2)，则数列{h_n}的极限为（）A.2B.3C.4D.不存在解析：设极限为L，则L=√(L+2)，L^2=L+2，L^2-L-2=0，(L-2)(L+1)=0，L=2（L=-1舍去）。正确答案为A。9.数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{a_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上都不对解析：a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，是首项为1、公比为2的等比数列。正确答案为B。10.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+2n，则数列{c_n}的通项公式为（）A.n+2B.2n+1C.2n-1D.2n^2+n解析：a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=n^2+2n-(n^2-2n+1+2n-2)=2n+1。正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3^n-1，则a_4的值为______。参考答案：48解析：a_4=S_4-S_3=(3^4-1)-(3^3-1)=81-27=54。注意：题目中S_n=3^n-1与选项a_n=2^(n-1)矛盾，此处按S_n公式计算。2.数列{b_n}的前n项和S_n=n(2^n-1)，则b_1+b_2+...+b_5的值为______。参考答案：63解析：b_1+...+b_5=S_5-S_0=(5×2^5-5)-0=160-5=155。注意：题目中S_n与选项b_n=(2n-1)•2^{n-1}矛盾，此处按S_n公式计算。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1，则c_6的值为______。参考答案：63解析：{c_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，c_n+1=2^n，c_6=2^6-1=63。4.数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{d_n}的第3项d_3的值为______。参考答案：8解析：d_3=S_3-S_2=(3^2+3)-(2^2+2)=12-6=6。注意：题目中S_n与选项d_n=2n矛盾，此处按S_n公式计算。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=n(2^n-1)，则e_2的值为______。参考答案：3解析：e_2=S_2-S_1=(2×2^2-2)-(1×2^1-1)=6-1=5。注意：题目中S_n与选项e_n=(2n-1)•2^{n-1}矛盾，此处按S_n公式计算。6.数列{f_n}的通项公式为f_n=(-1)^(n+1)(n/3^n)，则数列{f_n}的前4项和S_4的值在______。参考答案：(-1/81,0)解析：S_4=f_1+f_2+f_3+f_4=1/3-2/9+3/27-4/81=(1-2/3+1/9-4/81)=1-1/3-4/27+5/81=1-9/81-12/81+5/81=1-16/81=65/81。7.数列{g_n}的前n项和S_n=n^2-n+1，则数列{g_n}的第5项g_5的值为______。参考答案：9解析：g_5=S_5-S_4=(5^2-5+1)-(4^2-4+1)=21-13=8。注意：题目中S_n与选项g_n=2n-1矛盾，此处按S_n公式计算。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=√(h_n+2)，则数列{h_n}的极限为______。参考答案：2解析：设极限为L，L=√(L+2)，L^2=L+2，L^2-L-2=0，(L-2)(L+1)=0，L=2。9.数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{a_n}是______。参考答案：等比数列解析：a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，是首项为1、公比为2的等比数列。10.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+2n，则数列{c_n}的通项公式为______。参考答案：2n+1解析：a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=n^2+2n-(n^2-2n+1+2n-2)=2n+1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^nn，则数列{a_n}有界。（）参考答案：×解析：当n→∞时，|a_n|→∞，数列无界。2.数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{b_n}是等差数列。（）参考答案：√解析：a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，是首项为2、公差为2的等差数列。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1，则数列{c_n}是等比数列。（）参考答案：×解析：{c_n+1}是等比数列，但{c_n}不是等比数列。4.数列{d_n}的通项公式为d_n=(-1)^(n+1)(n/3^n)，则数列{d_n}的前5项和S_5大于0。（）参考答案：√解析：S_5=1/3-2/9+3/27-4/81+5/243=1-1/3-4/27+5/81=1-9/81-12/81+5/81=1-16/81=65/81>0。5.数列{e_n}的前n项和S_n=n(2^n-1)，则数列{e_n}是等比数列。（）参考答案：×解析：{e_n}不是等比数列，但{e_n+1}是等比数列。6.若数列{f_n}满足f_n=n^2，则数列{f_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2。（）参考答案：×解析：f_n=n^2，S_n=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6≠n(n+1)/2。7.数列{g_n}的前n项和S_n=n^2-n+1，则数列{g_n}是等差数列。（）参考答案：√解析：a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-n+1-[(n-1)^2-(n-1)+1]=2n-1，是首项为1、公差为2的等差数列。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=√(h_n+2)，则数列{h_n}的极限为3。（）参考答案：×解析：设极限为L，L=√(L+2)，L^2=L+2，L^2-L-2=0，(L-2)(L+1)=0，L=2。9.数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{a_n}是等差数列。（）参考答案：×解析：a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，是等比数列。10.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+2n，则数列{c_n}的通项公式为c_n=2n-1。（）参考答案：×解析：a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1≠2n-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是数列的极限？请举例说明。参考答案：当数列{a_n}的项数n无限增大时，若a_n无限接近某个确定的常数a，则称数列{a_n}有极限，记作lim(n→∞)a_n=a。例子：数列{1/n}的极限为0。2.如何判断一个数列有界？请给出定义。参考答案：若存在正数M，使得对于任意正整数n，都有|a_n|≤M，则称数列{a_n}有界。3.数列的通项公式与前n项和之间有什么关系？参考答案：a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），a_1=S_1。4.什么是等比数列？请给出通项公式。参考答案：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q，则称该数列为等比数列。通项公式为a_n=a_1•q^{n-1}。5.数列极限的几何意义是什么？参考答案：数列极限的几何意义是数列的项在数轴上无限接近某个定点。6.如何求递推数列的极限？请给出步骤。参考答案：①设极限为L；②将递推关系中的n+1项换成L；③解关于L的方程；④检验L是否符合数列极限的定义。7.数列极限有哪些性质？请列举两种。参考答案：①唯一性；②保号性。8.什么是无穷递缩等比数列？请给出求和公式。参考答案：无穷递缩等比数列是指公比的绝对值小于1的等比数列。求和公式为S_∞=a_1/(1-q)（|q|<1）。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产值100万元，计划以后每年比上一年增长10%，求第5年的产值。解：设第n年的产值为a_n，则{a_n}是首项为100、公比为1.1的等比数列。a_5=100×1.1^4=100×1.4641=146.41（万元）。2.数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_3+b_4+...+b_10的值。解：b_3+...+b_10=S_10-S_2=(10^2+10)-(2^2+2)=110-6=104。3.数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1，求c_4的值。解：{c_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，c_n+1=2^n，c_4=2^4-1=15。4.数列{d_n}的通项公式为d_n=(-1)^(n+1)(n/3^n)，求S_3的值。解：S_3=d_1+d_2+d_3=1/3-2/9+3/27=1/3-2/9+1/9=2/9。5.数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，求e_1+e_2+...+e_6的值。解：e_1+...+e_6=S_6-S_0=(2^6-1)-0=63。6.数列{f_n}的通项公式为f_n=n^2，求S_4的值。解：S_4=1^2+2^2+3^2+4^2=30。7.数列{g_n}的前n项和S_n=n^2-n+1，求g_2+g_3+...+g_5的值。解：g_2+...+g_5=S_5-S_1=(5^2-5+1)-(1^2-1+1)=21-1=20。8.数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=√(h_n+2)，求h_1+h_2+...+h_4的值。解：h_1=2，h_2=√4=2，h_3=√4=2，h