高三数学函数性质习题解析

高三数学函数性质习题解析考核对象：高三学生题型分值分布-单项选择题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（8题，每题2分，共16分）-应用题（8题，每题4分，共32分）---一、单项选择题（每题2分，共20分）说明：每题有四个选项，只有一个正确，请将正确选项的字母填在括号内。1.函数f(x)=x³-3x+2在区间(-2,2)上的最大值是（）A.4B.3C.0D.-2解析：本题考查函数的单调性与最值。首先求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。-在(-2,-1)上，f'(x)>0，函数单调递增；-在(-1,1)上，f'(x)<0，函数单调递减；-在(1,2)上，f'(x)>0，函数单调递增。因此，f(x)在x=-1处取得局部最大值f(-1)=4，且f(-2)=-2，f(2)=4，故最大值为4。2.若函数g(x)=|x-1|+|x+1|在(-∞,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.a≤-1B.a≥1C.a≤1或a≥-1D.a∈R解析：本题考查绝对值函数的性质。g(x)=|x-1|+|x+1|分段为：-x≤-1时，g(x)=-2x；--1<x<1时，g(x)=2；-x≥1时，g(x)=2x。g(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上恒为常数。若g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，需满足a≤-1或a≥1。3.函数h(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.1解析：本题考查三角函数的性质。h(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期与sin(x)相同，为2π。4.若函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.0<a<1B.a>1C.a=1D.a∈(0,1)∪(1,+∞)解析：本题考查对数函数的单调性。令t=x²-2x+3，在(1,+∞)上，t>2且单调递增。-当0<a<1时，logₐ(t)单调递减；-当a>1时，logₐ(t)单调递增。故a∈(0,1)。5.函数f(x)=x²-ax+1在(-1,1)上恒为正，则实数a的取值范围是（）A.a∈(-2,2)B.a∈(-∞,-2)∪(2,+∞)C.a∈(-1,1)D.a∈(-2,2)且a≠0解析：本题考查二次函数的性质。函数f(x)开口向上，需满足：-顶点x=a/2不在(-1,1)内；-f(-1)≥0且f(1)≥0。解得a∈(-2,2)且a≠0。6.若函数F(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值是（）A.3B.-3C.2D.-2解析：本题考查函数的极值。F'(x)=3x²-a，令F'(1)=0得3-a=0，即a=3。验证：F''(1)=6>0，故x=1处为极小值点。7.函数f(x)=|x-1|-|x+1|的图像关于（）对称A.x=0B.x=1C.x=-1D.y轴解析：本题考查绝对值函数的对称性。f(x)分段为：-x≤-1时，f(x)=-2x；--1<x<1时，f(x)=-2；-x≥1时，f(x)=2x。图像关于x=-1对称。8.函数f(x)=e^x-x在R上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.无数解析：本题考查函数的零点。f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得x=0。-x<0时，f'(x)<0，函数单调递减；-x>0时，f'(x)>0，函数单调递增。f(0)=1，且f(x)在x→-∞时趋于+∞，在x→+∞时趋于+∞，故只有一个零点。9.函数g(x)=sin²(x)+cos²(x)-sin(x)cos(x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.1解析：本题考查三角函数的性质。g(x)=1-sin(x)cos(x)=1-1/2sin(2x)，其最小正周期与sin(2x)相同，为π。10.函数f(x)=x-logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.0<a<1C.a∈(0,1)∪(1,+∞)D.a∈(0,1)解析：本题考查对数函数的单调性。令t=x+1>0，f(x)=x-logₐ(t)。-当a>1时，logₐ(t)单调递减，f(x)单调递增；-当0<a<1时，logₐ(t)单调递增，f(x)单调递减。故a>1。---二、填空题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差是______。参考答案：8解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3，最大值为3，最小值为-5，差为8。2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______。参考答案：3解析：分段为：-x≤-2时，g(x)=-2x-1；--2<x<1时，g(x)=3；-x≥1时，g(x)=2x+1。最小值为3。3.函数h(x)=sin(2x)+cos(2x)的图像关于______对称。参考答案：x=π/4解析：h(x)=√2sin(2x+π/4)，图像关于x=π/4对称。4.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______。参考答案：a>1解析：令t=x²-2x+1=(x-1)²，在(1,+∞)上t单调递增。-当a>1时，logₐ(t)单调递增；-当0<a<1时，logₐ(t)单调递减。故a>1。5.函数f(x)=x³-ax+1在x=2处取得极值，则a的值是______。参考答案：12解析：f'(x)=3x²-a，令f'(2)=0得12-a=0，即a=12。6.函数g(x)=|x-2|-|x+1|的图像关于______对称。参考答案：x=1/2解析：分段为：-x≤-1时，g(x)=-3x-1；--1<x<2时，g(x)=-3；-x≥2时，g(x)=3x-1。图像关于x=1/2对称。7.函数f(x)=e^x-x在R上的零点个数为______。参考答案：1解析：f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得x=0。-x<0时，f'(x)<0，函数单调递减；-x>0时，f'(x)>0，函数单调递增。f(0)=1，且f(x)在x→-∞时趋于+∞，在x→+∞时趋于+∞，故只有一个零点。8.函数g(x)=sin²(x)-cos²(x)的最小正周期是______。参考答案：2π解析：g(x)=-cos(2x)，其最小正周期为2π。9.函数f(x)=x-logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______。参考答案：a>1解析：令t=x+1>0，f(x)=x-logₐ(t)。-当a>1时，logₐ(t)单调递减，f(x)单调递增；-当0<a<1时，logₐ(t)单调递增，f(x)单调递减。故a>1。10.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1,3]上的最小值是______。参考答案：2解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(-1)=6，f(1)=2，f(3)=6，最小值为2。---三、判断题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2在(-∞,+∞)上单调递增。（×）解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，函数在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|在(-∞,+∞)上单调递增。（√）解析：分段为：-x≤-1时，g(x)=-2x；--1<x<1时，g(x)=2；-x≥1时，g(x)=2x。g(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上恒为常数。3.函数h(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是π。（×）解析：h(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π。4.函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a∈(0,1)。（×）解析：令t=x²-2x+3，在(1,+∞)上t单调递增。-当0<a<1时，logₐ(t)单调递减；-当a>1时，logₐ(t)单调递增。故a>1。5.函数f(x)=x²-ax+1在(-1,1)上恒为正，则a∈(-2,2)。（√）解析：需满足：-顶点x=a/2不在(-1,1)内；-f(-1)≥0且f(1)≥0。解得a∈(-2,2)。6.函数F(x)=x³-ax+1在x=-1处取得极值，则a=-2。（×）解析：F'(x)=3x²-a，令F'(-1)=0得3-a=0，即a=3。7.函数g(x)=|x-1|-|x+1|的图像关于x=-1对称。（√）解析：分段为：-x≤-1时，g(x)=-2x；--1<x<1时，g(x)=-2；-x≥1时，g(x)=2x。图像关于x=-1对称。8.函数f(x)=e^x-x在R上的零点个数为2。（×）解析：f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得x=0。-x<0时，f'(x)<0，函数单调递减；-x>0时，f'(x)>0，函数单调递增。f(0)=1，且f(x)在x→-∞时趋于+∞，在x→+∞时趋于+∞，故只有一个零点。9.函数g(x)=sin²(x)+cos²(x)-sin(x)cos(x)的最小正周期是π。（√）解析：g(x)=1-sin(x)cos(x)=1-1/2sin(2x)，其最小正周期为π。10.函数f(x)=x-logₐ(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，则a∈(0,1)。（×）解析：令t=x+1>0，f(x)=x-logₐ(t)。-当0<a<1时，logₐ(t)单调递增，f(x)单调递减；-当a>1时，logₐ(t)单调递减，f(x)单调递增。故a>1。---四、简答题（每题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x+2的单调区间和极值点。参考答案：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。-x≤-1时，f'(x)>0，函数单调递增；--1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；-x≥1时，f'(x)>0，函数单调递增。极小值点x=-1，极大值点x=1。2.求函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围。参考答案：分段为：-x≤-2时，g(x)=-2x-1；--2<x<1时，g(x)=3；-x≥1时，g(x)=2x+1。最小值为3，取值范围为[3,+∞)。3.求函数h(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期及对称轴方程。参考答案：h(x)=√2sin(2x+π/4)，最小正周期为π，对称轴方程为x=kπ/4+π/8(k∈Z)。4.求函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域和单调性。参考答案：x²-2x+1=(x-1)²>0，定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。令t=(x-1)²，在(1,+∞)上t单调递增，log₃(t)单调递增，故f(x)在(1,+∞)上单调递增。5.求函数F(x)=x³-ax+1在x=0处取得极值的条件。参考答案：F'(x)=3x²-a，令F'(0)=0得a=0。验证：F''(0)=6>0，故x=0处为极小值点。6.求函数g(x)=|x-2|-|x+1|的图像对称轴方程。参考答案：分段为：-x≤-1时，g(x)=-2x-3；--1<x<2时，g(x)=-3；-x≥2时，g(x)=2x-3。图像关于x=1/2对称。7.求函数f(x)=e^x-x在R上的零点个数。参考答案：f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得x=0。-x<0时，f'(x)<0，函数单调递减；-x>0时，f'(x)>0，函数单调递增。f(0)=1，且f(x)在x→-∞时趋于+∞，在x→+∞时趋于+∞，故只有一个零点。8.求函数g(x)=sin²(x)-cos²(x)的图像对称中心。参考答案：g(x)=-cos(2x)，图像关于x=kπ/2(k∈Z)对称，对称中心为(π/4+kπ/2,0)(k∈Z)。---五、应用题（每题4分，共32分）1.案例：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²-6x+5，收入函数为R(x)=8x-x²。（1）求利润函数P(x)及其单调区间；（2）求该产品的最大利润及对应的产量。参考答案：（1）P(x)=R(x)-C(x)=(8x-x²)-(x²-6x+5)=-2x²+14x-5。P'(x)=-4x+14，令P'(x)=0得x=7/2。-x≤7/2时，P'(x)>0，函数单调递增；-x≥7/2时，P'(x)<0，函数单调递减。单调区间为(-∞,7/2]和[7/2,+∞)。（2）P(7/2)=-2(7/2)²+14(7/2)-5=24.5，故最大利润为24.5，对应产量为7/2。2.案例：某城市地铁票价函数为f(n)=|n-5|+2（n为乘车里程数，单位：km），求：（1）乘车里程数为4km时的票价；（2）票价为6元时的乘车里程数范围。参考答案：（1）f(4)=|4-5|+2=3元；（2）|n-5|+2=6⇒|n-5|=4⇒n=9或n=1。故乘车里程数为1km或9km。3.案例：函数g(x)=sin(x)+cos(x)在[0,2π]上的最大值和最小值分别为多少？参考答案：g(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2，最小值为-√2。-最大值出现在x=3π/4或x=7π/4；-最小值出现在x=7π/4或x=15π/4（但15π/4超出范围，取x=3π/4）。4.案例：函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：令t=x²-2x+3=(x-1)²，在(1,+∞)上t单调递增。-当a>1时，logₐ(t)单调递增；-当0<a<1时，logₐ(t)单调递减。故a>1。5.案例：函数F(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，求a的值及极值类型。参考答案：F'(x)=3x²-a，令F'(1)=0得a=3。F''(1)=6>0，故x=1处为极小值点。6.案例：函数g(x)=|x-2|-|x+1|的图像关于哪条直线对称？参考答案：分段为：-x≤-1时，g(x)=-2x-3；--1<x<2时，g(x)=-3；-x≥2时，g(x)=2x-3。图像关于x=1/2对称。7.案例：函数f(x)=e^x-x在R上的零点个数为多少？参考答案：f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得x=0。-x<0时，f'(x)<0，函数单调递减；-x>0时，f'(x)>0，函数单调递增。f(0)=1，且f(x)在x→-∞时趋于+∞，在x→+∞时趋于+∞，故只有一个零点。8.案例：函数g(x)=sin²(x)-cos²(x