第七节　二项分布、超几何分布与正态分布

第七节二项分布、超几何分布与正态分布明确目标1.掌握二项分布、了解超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.目录课时作业评价01Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识|1.二项分布(1)伯努利试验:把只包含两个可能结果的试验叫做_______________.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为________________.(2)二项分布:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=_____________,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作_____________.(3)均值、方差:若X~B(n,p),则E(X)=_______,D(X)=___________.伯努利试验n重伯努利试验

X~B(n,p)npnp(1-p)

np

X~N(μ,σ2)(3)正态曲线的特点①曲线是单峰的,它关于直线______对称;②曲线在x=μ处达到峰值______________;③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.(4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响:①当σ较小时,峰值高,正态曲线“_____”,表示随机变量X的分布比较______;②当σ较大时,峰值低,正态曲线“_____”,表示随机变量X的分布比较______.x=μ

瘦高集中矮胖分散(5)若X~N(μ,σ2),则E(X)=

______

,D(X)=

______

.(6)3σ原则:①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.μ

σ2

Ⅱ.|练|悟|教|材|固|基|小|题|1.(人A选必修③P74例1改编)在100件产品中有5件次品,采用放回的方式从中任意抽取10件,设X表示这10件产品中的次品数,则(

)A.X~B(100,0.05) B.X~B(10,0.05)C.X~B(100,0.95) D.X~B(10,0.95)解析:有放回地抽取,每次抽到次品的概率都是0.05,相当于10重伯努利试验,所以X~B(10,0.05).√

√

02题点一二项分布[例1]

(2026·重庆模拟)已知某计算机网络的服务器有三台设备,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8,它们之间互相不影响.设能正常工作的设备数为X.(1)求X的分布列;

X0123P0.0080.0960.3840.512(2)求E(X)和D(X);解:

因为X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4,D(X)=3×0.8×(1-0.8)=0.48.(3)求计算机网络不会断掉的概率.

解:

要使得计算机网络不会断掉,也就是要求能正常工作的设备至少有一台,即X≥1,因此所求概率为P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0.008=0.992.思维建模

二项分布问题的解题关键(1)定型:①在每一次试验中,事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.(2)定参:确定二项分布中的两个参数n和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.即时训练

120

(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率;

(2)求选手甲在该次比赛得分数为40的概率;

(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中得分数为X,求随机变量X的分布列和期望.

所以X的分布列为X020406080P

题点二超几何分布[例2]

袋中有8个除颜色外完全相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.(1)若从袋中一次性取出两个小球,记取到的红球个数为X,求X的分布列和均值;X012P

(2)若从袋中不放回地取3次,每次取一个小球,取到黑球记0分,取到白球记2分,取到红球记4分,在最终得分为8分的条件下,求恰取到一个红球的概率.

思维建模(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.即时训练3.(2026·南昌模拟)某商场为了促进消费,推出购物优惠活动.消费者购物每满300元可参加一次抽奖,抽奖活动如下:抽奖箱设置3个红球和2个白球,每次抽取2个球.若抽中2个白球,返现金50元;若抽中1个红球和1个白球,返现金30元;若抽中2个红球,返现金20元.(1)顾客A恰好消费了300元,设他所获得返现金额为随机变量X.求X的分布列与均值;X203050P0.30.60.1E(X)=20×0.3+30×0.6+50×0.1=29.

(2)顾客B消费了1000元:①顾客B获得返现金额为100元的概率是多少?

②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动(减免总金额的10%),则顾客B应选择哪种方案更优惠?(不能同时参加抽奖和打折活动)解:

②若打九折,需支付金额为1

000×0.9=900(元).由(1)知每次抽中的均值为29元,则抽取三次总的均值为29×3=87(元).因为1

000-87=913>900,故打折更划算.√题点三正态分布[例3](1)若随机变量X服从正态分布N(1,σ2),且P(X≥0.5)=0.86,则P(1<X≤1.5)= (

)A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.86解析:因为随机变量X服从正态分布N(1,σ2),即μ=1,所以P(1<X≤1.5)=P(0.5≤X<1)=P(X≥0.5)-P(X≥1)=0.86-0.5=0.36.故选B.

√√解析:依题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12),故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3>0.5,C正确,D错误;P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7<0.2,而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正确,A错误.故选BC.思维建模

解决正态分布问题的注意点(1)对于正态分布N(μ,σ2):①P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5;②对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);③P(X<x0)=1-P(X≥x0);④P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).(2)服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法:①利用P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值直接求解;②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解.即时训练√

A.σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ3 C.σ2<σ3 D.μ1=μ2解析:∵正态曲线关于x=μ对称,且μ越大图象越靠近右边,根据图象知,第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小,且第二、第三两个的均值相等,即μ1<μ2=μ3,故B、D错误;∵σ越小图象越瘦高,根据图象知,第一个图象的σ等于第二个图象的σ,且第二个图象的σ比第三个的σ要小,∴σ1=σ2<σ3,所以A错误,C正确.故选C.5.中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理,若随机变量ξ~B(n,p),则当np>5且n(1-p)>5时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为(

)(参考数据:P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545)A.0.99865 B.0.97725C.0.84135 D.0.65865√

课时作业评价03156789101112234

√156789101112234

√1567891011122343.某店经营的某种包装的面包质量X(单位:g)服从正态分布N(200,σ2),且P(X<205)=0.85,则从该店中任意买一个这种包装的面包,其质量在195~205g之间的概率为

(

)A.0.7

B.0.35

C.0.85

D.0.5解析:某种包装的面包质量X服从正态分布N(200,σ2),且P(X<205)=0.85,则有P(X≥205)=1-0.85=0.15,由对称性可得P(X≤195)=0.15,则有P(195<X<205)=1-P(X≥205)-P(X≤195)=1-0.15-0.15=0.7.所以其质量在195~205

g之间的概率为0.7.√156789101112234

√156789101112234

√√156789101112234

156789101112234

√√√156789101112234

156789101112234三、填空题7.一袋中有除颜色不同,其他都相同的2个白球,2个黄球,1个红球,从中任意取出3个球,有黄球的概率是_____,若ξ表示取到黄球的个数,则E(ξ)=____.

1567891011122348.在工业生产中轴承的直径服从N(3.0,0.0025),购买者要求直径为3.0±ε,不在这个范围的将被拒绝,要使拒绝的概率控制在4.55%之内,则ε至少为___________.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.9545)0.1解析:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.954

5,因为工业生产中轴承的直径服从N(3.0,0.002

5),所以μ=3.0,σ2=0.002

5,则σ=0.05,由P(|X-3.0|<0.1)=0.954

5,得P(|X-3.0|≥0.1)=1-0.954

5=0.045

5,则要使拒绝的概率控制在4.55%之内,则ε至少为0.1.156789101112234

156789101112234

X123P

156789101112234∴Y的分布列为Y0123P

15678910111223410.(15分)(2026·济南模拟)为了切实加强学校体育工作,促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,某高中学校计划优化课程,增加学生体育锻炼时间,提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试,得到如下表格.序号i12345678910成绩xi(分)38414451545658647480156789101112234

X0123P

(2)规定体质测试成