课时作业评价(八十二)　概率与其他知识的综合

课时作业评价(八十二)概率与其他知识的综合1.(15分)在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球,一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球,不放回.(1)若盒子中有6个球,从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为.①求红球的个数;(3分)②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.(4分)(2)已知盒子中有一半是红球,若“从盒子中任意摸两次球,至少有一个红球”的概率不大于,求盒子中球的总个数的最小值.(4分)(3)在(2)的条件下,盒子中球的总数为x,若“从盒子中任意摸两次球,恰有两个红球”奖励4x元,若“从盒子中任意摸两次球,恰有一个红球”奖励8+元,若“从盒子中任意摸两次球,没有红球”不奖励,求发放奖金期望最小时盒子中球的总个数.(4分)2.(15分)(2026·马鞍山模拟)甲、乙两人进行游戏比赛,游戏共五局,先获得三局胜利的人赢得比赛;比赛分为进攻方与防守方,一方进攻则另一方防守,进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利,一方进攻成功则继续进攻,一方进攻失败则更换进攻方;甲在进攻方胜率为a,乙在进攻方胜率为b,甲优先进攻.(1)第二局乙获胜的概率;(2分)(2)若a=,b=,求甲在四局以内赢得比赛的概率;(6分)(3)若a+b=1,记游戏局数为X,求E(X)的最大值.(7分)3.(15分)(2026·沈阳模拟)现有甲、乙两个不透明的盒子,甲盒子中装有2个红球和1个白球,乙盒子中装有1个红球和1个白球,现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,重复n(n∈N*)次这样的操作后,记甲盒子中红球的个数为Xn,甲盒子中恰有1个红球的概率为an,恰有2个红球的概率为bn(注:所有小球大小、形状、质地均相同).(1)求a1,b1的值;(2分)(2)设cn=2an+bn,求证:cn+1=cn+1;(6分)(3)求Xn的均值E(Xn)的值.(7分)

4.(15分)(2025·合肥三模)某学校举办趣味投篮比赛,选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A,B,C三个位置分别投篮一次(选手自行选择投篮顺序).在A,B,C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分,总分不低于4分就可以获得奖品,已知甲在A,B,C三处的投篮命中率分别为,,,且在这三处的投篮相互独立.(1)求甲未获得奖品的概率;(7分)(2)甲参加投篮训练,训练计划如下:在C处先投n(n∈N*,n≤60)个球,若这n个球都投进,则训练结束,否则额外在C处投(200-3n)个球.试问n为何值时,甲投篮次数的期望最大?(8分)课时作业(八十二)概率与其他知识的综合1.解:(1)①设红球的个数为n(n≥1),则摸出的两个球中恰好有一个红球的概率P=C6-n1Cn1C62=②X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C32C62=15,P(X=1)=C31C31C62=3X012P131所以E(X)=0×15+1×35+2×1(2)设球的总个数为2m,则红球的个数为m,则从盒子中任意摸两次球,都不是红球的概率P1=Cm2C2m2=m(m-1)2m(2m-1)=m2-m4m2-2m,(3)E(x=2m)=(8+78m)×m2m-1+8m×m-14m-2=4当且仅当m=5时取等号,此时x=10.2.解:(1)设第二局乙获胜的概率为P(A),则P(A)=a(1-a)+(1-a)b=(1-a)(a+b).(2)设比赛三局甲获胜的概率为P(B),比赛四局甲获胜的概率为P(C),则P(B)=a3,P(C)=(1-a)(1-b)a2+a(1-a)(1-b)a+a2(1-a)(1-b)=3a2(1-a)(1-b),代入a=12,b=13,得甲在四局以内赢得比赛的概率为P(B)+P(C)=18+18×(3)若a+b=1,则每局游戏中甲获胜的概率为a,失败的概率为b.由题意,P(X=3)=a3+b3,P(X=4)=C31a3b+C31ab3,P(X=5)=C42a3b2+C42a2b3.于是,利用a+b=1,E(X)=3(a3+b3)+12(a3b+ab3)+30(a3b2+a2b3)=3(a+b)(a2+b2-ab)+12ab(a2+b2)+30a2b2(a+b)=3(1-3ab)+12ab(1-2ab)+30a2b2=6a2b2+3ab+3.因为0<ab≤a+b22=14,3.解:(1)由题可知a1=23×12=13,b1=23×12+1(2)证明:n次操作后,甲盒子中有3个红球的概率为P(Xn=3)=1-an-bn,由全概率公式知an+1=13an+13bn,∴bn+1=23an+12bn+1-an-bn=1-13an∴2an+1+bn+1=16(2an+bn)+1,∴cn+1=16cn(3)∵cn+1=16cn+1,∴cn+1-65=又∵c1-65=2a1+b1-65=-130,∴cn-65是以∴cn=-13016n-1+65,∴E(Xn)=an+2bn+3(1-an-bn)=3-(2an+bn4.解:(1)甲三次投篮都命中的概率为P1=34×23×12=14,甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率为P2=1-34×23×12+所以甲未获得奖品的概率为P=1-P1-P2=1324(2)设甲的投篮次数为X,则X的分布列为Xn200-2nP11-1则E(X)=n2n+(200-2n)×1-12n=令f(n)=3n-2002n-2n+200(n∈N*,n≤60),则f(n+1)=3n-1972n+1-2n+198,所以f(n+1)-f(n)=203-3n-2n+22n+1,其中