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文档简介

第二章解析函数§1解析函数的概念§2函数解析的充要条件§3初等函数§1解析函数的概念1.1复变函数的导数与微分注z0+⊿z趋于z0的方式是任意的.存在，则称f(z)在点z0可导，此极限称为f(z)在点z0的导数，记作导数设函数w=f(z)在区域

D内有定义，z0为D内一点，且

z0+⊿z也属于

D.

若极限23若函数f(z)在区域D内到处可导，则称f(z)在D内可导.可导的性质1）可导必持续；2）复变函数的求导法则能够由实函数的求导法则平行推得.和差积商、复合函数、反函数4设函数w=f(z)在z0可导,则有微分称f′(z0)⊿z为w=f(z)在点z0的微分，或称f(z)在点z0

可微，

记作特别地，当f(z)=z时，51.2解析函数及其简朴性质解析函数若函数w=f(z)在点z0的邻域内到处可导，则称f(z)在点z0解析.若函数w=f(z)在区域D内到处可微，则称f(z)在D内解析，或称f(z)为D内的一种解析函数（或称正则函数、全纯函数）.奇点若函数f(z)在点z0不解析，则称z0为f(z)的奇点.注f(z)在区域D内（到处）解析和在D内（处处）可导是等价的；但f(z)在某点处解析比在某点可导要强得多.6区域D内解析函数的性质（1）两个解析函数的和差积商（除去分母为0的点）仍解析，且满足数分中类似的求导法则；（2）两个解析函数的复合函数在其定义域内仍解析，且满足复合函数的求导法则：例7柯西-黎曼方程（C.-R.方程）1.3函数解析的充要条件定理一（可微的充要条件）设函数在区域D内有定义，则f(z)在D内一点可微的充要条件是8f(z)在点的导数公式定理二（函数解析的充要条件）函数在区域D内解析的充要条件是9推论2.1（可微的充足条件）设函数在区域D内有定义，则f(z)在D内一点可微的充足条件是推论2.2函数解析的充分条件是在区域D内例判断下列函数的解析性.例设函数10知识回想导数设函数w=f(z)在区域

D内有定义，z0为D内一点.11解析若函数w=f(z)在点z0的邻域内到处可导，则称f(z)在点z0解析.称f(z)在D内解析，若函数w=f(z)在区域D内到处可微。柯西-黎曼方程（C.-R.方程）导数公式函数在D内一点z可微函数在D内一点z可微函数在D内解析函数在D内解析例判断下列函数的解析性.§3初等函数3.1指数函数复指数函数的性质：数的定义是一致的；1617173.2对数函数对数规定对数函数是指数函数的反函数.即满足方程的函数w=f(z)称为对数函数，记作方程

的所有根为在(1)式中，对每一个固定的k，它都是一个单值函数，称为

的一个分支.18注正实数的复对数也是无穷多值的；在复数域内，负数无实对数.对数函数的基本性质注不成立！！19对数函数的解析性uvOxy

在除去原点和负实轴的平面内解析，且有

在除去原点和负实轴的平面内解析.203.3幂函数21

它的各个分支在除去原点和负实轴的平面内解析，且有223.4三角函数与双曲函数正弦函数余弦函数正弦函数与余弦函数的性质：（1）当z

为实数时，定义与通常的一致；

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