柱体、椎体、台体的表面积和体积教程

空间几何体

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积基础梳理1．表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是____________的面积的和，也就是__________的面积.旋转体圆柱底面积：S底＝______侧面积：S侧＝______表面积：S＝__________各个面展开图πr2

2πrl

2πrl＋2πr2图形表面积公式旋转体圆锥底面积：S底＝______侧面积：S侧＝______表面积：S＝________圆台上底面面积：S上底＝_____下底面面积：S下底＝_____侧面积：S侧＝________表面积：S＝___________πr2

πrl

πrl＋πr2

πr′2

πr2

πl(r＋r′)

π(r′2＋r2＋r′l＋rl)练习1.边长为a的正三角形、正方形、正六边形的面积分别为__________．练习2.圆柱的底面半径是2，高(母线长)为3，下底面积为________；侧面积为________；表面积为________．练习3.圆台上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为4，上底面积为______；下底面积为______；侧面积为______；表面积为______．练习2.4π

12π

20π练习3.4π

9π

20π

33π思考应用1．三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的展开图是什么平面图形？如何计算其表面积？解析：三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的侧面展开图如下：据此可以看出，棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积是围成棱锥的各个面的面积之和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼凑成的，其表面积是围成棱台的各个面的面积之和．2．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝____.(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝____________.练习4.正方体的表面积为100，对角线长度为________．2．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？解析：(1)柱体、锥体、台体之间的关系：(2)体积公式之间的关系：如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：答：花盆的表面积约是999．空间几何体的表面积

自测自评1．棱长都是1的三棱锥的表面积为(

)2．圆锥的母线长扩大n倍，底面半径缩小n倍，那么它的侧面积变为原来的(

)A．1倍B．n倍C．n2倍D.倍解析：圆锥侧面积S＝πrl，设r缩小n倍，l扩大n倍后S′＝π×r×nl＝πrl＝S，侧面积保持不变．答案：A3．正方体的表面积是96，则正方体的体积是(

)A．48

B．64

C．16

D．96解析：正方体的表面积6a2＝96，棱长a＝4，正方体的体积为4×4×4＝64.答案：B4．若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的几何体体积是________．解析：所得旋转体是底面半径为2，高为2的圆锥，体积V＝π×22×2＝π.答案：π跟踪训练1．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(

)A．3πB．2πC.πD．4πC

空间几何体的体积

三棱台ABC—A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1—ABC，B—A1B1C，C—A1B1C1的体积之比为(

)A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4点评：(1)求台体体积的常用方法有三种：一是利用台体的体积公式来求解，这就需要知道台体的上、下底面积和高；二是抓住台体是由锥体截割而来的这一特征，把它还原成锥体，利用锥体体积公式来求其台体的体积；三是利用割补法来求其体积．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm,高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）？解：O螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252答：这堆螺帽大约有252个。跟踪训练2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O—AB1D1的体积为_______．解析：画出正方体，平面AB1D1与对角线A1C的交点是对角线的三等分点，三棱锥O—AB1D1的高h＝a，V＝Sh＝

.三棱锥OAB1D1也可以看成三棱锥AOB1D1，显然它的高为AO，等腰三角形OB1D1为底面．答案：a3几何体表面积与体积公式的综合应用

一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．

解析：由三视图知直观图下图所示，则高AA′＝2cm，底面高B′D′＝2cm，所以底面边长A′B′＝

＝4cm.一个底面的面积为×2×4＝4cm2.所以S表面积＝2×4＋4×2×3＝(24＋8)cm2，V＝4×2＝8cm3.所以表面积为(24＋8)cm2，体积为8cm3.点评：本题主要考查几何体的三视图以及表面积、体积．给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解，此类题目已经成为新课标高考的热点．跟踪训练3．如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是(

)A．2πB．4πC．6πD．8π解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×22×3－π×22×3＝8π，故选D.答案：D1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是(

)A．3π

B．3π

C．6π

D．9π2．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(

)A．6

B．3

C．11

D．12解析：设长方体长、宽、高分别为a、b、c，不妨设ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.答案：A1．柱体、锥体、台体的侧面积、体积公式的关系(1)侧面积公式的演变关系：(2)体积公式的演变关系：

类似地，我们可以推导出圆柱、圆锥、圆台的侧面积与体积公式也有这样的关系．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．3．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．祝您学业有成1．能根据柱、锥、台的结构特征，并结