高中数学必修二点线面知识点及练习

立体几何是高中数学的重要组成部分，而点、直线、平面之间的位置关系则是立体几何的基础。学好这部分内容，不仅能帮助我们建立清晰的空间概念，更为后续学习空间角、空间距离以及几何体的表面积与体积等知识奠定坚实的逻辑基础。本文将对必修二中点线面的核心知识点进行系统梳理，并辅以典型练习题，旨在帮助同学们深化理解，提升应用能力。一、平面的基本性质平面是一个不加定义的原始概念，在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面，但需注意平面是无限延展的。理解平面的基本性质（公理）是构建空间观念的出发点。1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。*作用：判断直线是否在平面内的依据。它揭示了直线的“直”与平面的“平”、“无限延展”之间的联系。2.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（简记为：不共线三点确定一个平面）*作用：确定一个平面的依据。它给出了确定平面的最基本条件。3.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。*作用：判断两个平面相交的依据，也为我们提供了寻找两个平面交线的方法。这条公共直线叫做这两个平面的交线。4.公理3的推论（常用）：*推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。*推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。*推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。*作用：这些推论与公理2共同构成了确定平面的常用方法。二、空间中直线与直线的位置关系在空间中，两条直线的位置关系相较于平面几何更为复杂，主要有以下几种：1.共面直线：*平行直线：在同一平面内，没有公共点。*相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点。2.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。*判断方法：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。*异面直线所成的角：过空间任一点作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。其范围是(0°,90°]。若所成角为90°，则称这两条异面直线互相垂直。公理4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性，在空间中依然成立）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。（推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。）三、空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有以下三种：1.直线在平面内：有无数个公共点。2.直线与平面平行：没有公共点。*判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（线线平行⇒线面平行）*性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（线面平行⇒线线平行）3.直线与平面相交：有且只有一个公共点。*直线与平面垂直：是一种特殊的相交。如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么就说这条直线与此平面垂直。这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。*判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（线线垂直⇒线面垂直）*性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。*重要概念：直线与平面所成的角（斜线与平面所成的角）：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。若直线垂直于平面，所成角为90°；若直线平行于平面或在平面内，所成角为0°。其范围是[0°,90°]。四、空间中平面与平面的位置关系两个平面的位置关系主要有：1.两个平面平行：没有公共点。*判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（线面平行⇒面面平行）*性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行⇒线线平行）*性质定理2：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（面面平行⇒线面平行）2.两个平面相交：有一条公共直线。*两个平面垂直：是一种特殊的相交。一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。*判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（线面垂直⇒面面垂直）*性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（面面垂直⇒线面垂直）*二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的大小可以用它的平面角来度量，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。五、练习与应用掌握了上述知识点，我们来通过一些典型例题巩固所学。例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)三点确定一个平面。(2)空间中两条直线不平行则相交。(3)若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则a平行于b。(4)若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。解答与分析：(1)错误。应为“不共线的三点确定一个平面”。若三点共线，则可确定无数个平面。(2)错误。空间中两条直线的位置关系有平行、相交和异面三种。(3)错误。直线a与直线b可能平行，也可能异面。(4)正确。由面面平行的性质定理2可知。例题2：如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AB、AD的中点。求证：EF∥平面CB₁D₁。分析：要证线面平行，根据判定定理，需在平面CB₁D₁内找到一条直线与EF平行。考虑到E、F是中点，中位线是常用的找平行线的方法。证明：连接BD。在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD∥B₁D₁。因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD。因此，EF∥B₁D₁。又因为EF⊄平面CB₁D₁，B₁D₁⊂平面CB₁D₁，所以EF∥平面CB₁D₁。（线线平行⇒线面平行）例题3：已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，求证：a∥b。分析：证明线线平行，可以考虑利用线面垂直的性质。证明：假设a与b不平行，设a与b相交于点P。因为a⊥α，b⊥α，所以a和b都垂直于平面α内的任意直线。过点P作直线c⊂α，则a⊥c，b⊥c。这样，在同一平面内（由相交直线a、b确定的平面），过点P有两条直线a、b都垂直于直线c，这与平面几何中“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。因此，假设不成立，故a∥b。（此为线面垂直的性质定理）例题4：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。求证：平面PAB⊥平面PBC。分析：要证面面垂直，根据判定定理，需在一个平面内找到另一个平面的垂线。证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC。又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB。又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC。（线面垂直⇒面面垂直）六、总结与提示点、线、面的位置关系是立体几何的入门知识，也是后续学习的基石。学习时，要注意以下几点：1.重视基本概念和公理：公理是推理的基础，务必深刻理解其含义和作用。2.培养空间想象能力：多观察、多画图、多动手制作模型，将抽象的文字描述转化为直观的空间图形。3.掌握转化思想：线线关系、线面关系、面面关系之间可以相互转化，例如要证面面平行，可转化为证线面平行；要