圆与相似三角形练习题

圆与相似三角形练习题圆与相似三角形的结合，是平面几何中极具综合性与挑战性的内容之一。这类问题不仅要求我们熟练掌握圆的基本性质，如垂径定理、圆心角与圆周角的关系、切线的性质等，还需要灵活运用相似三角形的判定定理及其性质来解决线段长度、角度关系、比例线段等问题。下面，我们将通过一些精选的练习题，来巩固和深化这方面的知识与技能。一、核心知识回顾在开始练习之前，我们先来回顾一下在圆的背景下，寻找和证明相似三角形常用的依据和一些重要性质：1.圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角。这是构造等角，进而证明三角形相似的重要途径。2.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。由此可以得到直角，为证明直角三角形相似（如通过AA判定）创造条件。3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。4.圆内接四边形的性质：对角互补，外角等于内对角。有时可用于转化角的关系。5.相似三角形的判定方法：AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）。在圆中，AA判定法因其便捷性而被广泛应用。6.相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。二、精选练习题（一）基础巩固例题1：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，连接OC。求证：△ACD∽△CBD∽△ABC。思路点拨与解答：要证明这三个三角形两两相似，我们可以从寻找等角入手。因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。又因为CD⊥AB，所以∠ADC=∠CDB=90°。在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，且∠A是公共角，根据AA相似判定定理，可得△ABC∽△ACD。同理，在△ABC和△CBD中，∠ACB=∠CDB=90°，且∠B是公共角，所以△ABC∽△CBD。从而可得△ACD∽△CBD∽△ABC。这是一个非常经典的“母子型相似”模型，在涉及直径和垂线的问题中经常出现，其结论（如CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB）也具有很高的实用价值。例题2：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC、BC。求证：△PAC∽△PBC。思路点拨与解答：由切线长定理可知，PA=PB，且PO平分∠APB，即∠APC=∠BPC。连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB。因为PC是⊙O的直径（延长PO交⊙O于C），所以∠PAC和∠PBC都是圆周角。在△PAC和△PBC中，我们已经有∠APC=∠BPC。接下来，考虑证明另一组角相等。因为OA=OC（半径），所以∠OAC=∠OCA。又因为∠PAO=90°，所以∠PAC=90°-∠OAC=90°-∠OCA。在Rt△POA中，∠OCA+∠POA=90°（直角三角形两锐角互余），而∠POA是△POC的一个外角，等于∠OAC+∠OCA=2∠OCA（三角形外角等于不相邻两内角和）。这里似乎绕远了。换个思路，因为PA是切线，所以∠PAC是弦切角，它所夹的弧是弧AC。根据弦切角定理，∠PAC等于它所夹的弧AC所对的圆周角∠ABC。同理，∠PBC等于它所夹的弧BC所对的圆周角∠BAC。但这样似乎还不能直接得到∠PAC=∠PBC。再回到已知PA=PB，PC=PC，∠APC=∠BPC，根据SAS全等判定，△PAC≌△PBC。全等自然相似，相似比为1。哦，对！在这种情况下，其实是全等三角形，这是更特殊的相似。看来，有时候从已知的边和角关系直接入手，可能会更简单。最初的思路被“相似”框住了，而全等是相似的特例。（二）能力提升例题3：如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，且AE=EB，CE=ED的一半。若AB=4，CD=9，求AE的长。（请自行根据描述画图）思路点拨与解答：题目中提到“弦AB与CD相交于点E”，这自然联想到相交弦定理：AE·EB=CE·ED。已知AE=EB，AB=4，所以AE=EB=2。设CE=x，则ED=2x（因为CE=ED的一半，即ED=2CE）。又因为CD=CE+ED=x+2x=3x=9，所以x=3。因此，CE=3，ED=6。此时，应用相交弦定理：AE·EB=2×2=4；CE·ED=3×6=18。4≠18，这显然矛盾。这说明什么？说明我们对题目的理解可能有误。“CE=ED的一半”，是CE=(1/2)ED，还是ED=(1/2)CE？题目原文是“CE=ED的一半”，即CE=(1/2)ED，所以ED=2CE，我们之前的设定是对的。那么CD=CE+ED=CE+2CE=3CE=9，所以CE=3，ED=6。AE=EB=2。但相交弦定理告诉我们AE·EB必须等于CE·ED，这里却不相等，这意味着题目所描述的情况是否可能存在？或者我的画图和理解哪里出了问题？哦，不对，题目说“求AE的长”，而我直接设定了AE=EB=2，因为AB=4且AE=EB。这是题目明确给出的吗？“AE=EB”，是的，题目第一句就说了“AE=EB”。那么AB=AE+EB=2AE=4，所以AE=2是确定的。但代入相交弦定理后不成立，这说明什么？这说明要么题目本身有矛盾，要么我哪里理解错了。或者，题目是否是说“CE是ED长度的一半”，即CE=(1/2)ED，那么ED=2CE，CD=CE+ED=3CE=9，CE=3，ED=6。AE·EB=2×2=4，CE·ED=3×6=18。4≠18。这确实是矛盾的。难道题目是“ED是CE的一半”？即ED=(1/2)CE，设ED=x，则CE=2x，CD=3x=9，x=3，ED=3，CE=6。则AE·EB=CE·ED=6×3=18。因为AE=EB，所以AE²=18，AE=3√2。这样就合理了。看来，可能是题目描述时的语序问题，或者我最初的理解有偏差。“CE=ED的一半”严格来说是CE=(1/2)×ED。但根据相交弦定理的结果反推，题目可能想表达的是ED=CE的一半。在实际解题中，遇到这种情况，要仔细核对题目条件，或者审视自己的理解。如果题目确实如原始描述，那么这道题就是一个悖论，或者是想考察我们对相交弦定理的掌握和对矛盾的识别。但考虑到这是“能力提升”题，更可能是我最初的理解无误，但题目存在数据设计问题，或者，这道题的本意并非直接使用相交弦定理求AE，而是另有隐情？或者，题目中并没有说AB=4是被E点平分后的总长？不，AE=EB，所以AB=AE+EB=2AE，AB=4，AE=2是确定的。那么，这道题或许是想让我们证明在这种情况下不存在这样的点E？但题目问的是“求AE的长”。看来，可能是我在设定CE和ED的关系时犯了错误。“CE=ED的一半”，即CE=ED/2，所以ED=2CE。CD=CE+ED=3CE=9→CE=3，ED=6。AE·EB=2×2=4。而根据相交弦定理，AE·EB必须等于CE·ED=18。4≠18。这说明，在给定的AB=4（即AE=2）和CD=9的条件下，如果CE=ED的一半，那么这样的交点E是不存在的。这可能是一个陷阱题，考察我们是否会盲目计算，而忽略对结果的合理性判断。或者，更有可能的是，题目中的“CE=ED的一半”应为“ED=CE的一半”，这才符合常规的出题逻辑，也能得到合理的AE长度（3√2）。在后续解题中，我们要注意审题的严谨性，并善于利用定理进行验证。例题4：如图，已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，连接AB、AC，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F。求证：AF=FD。（请自行根据描述画图：AD是切线，A是切点，BC是直径，连接AB、AC，AE⊥BC于E，BD似乎是连接B和D，D点是切线AD的端点，即AD是切线，D在圆外，连接BD交AE于F）思路点拨与解答：要证AF=FD，即F是AD的中点。可以考虑构造全等三角形，或者利用比例线段证明AF/FD=1。因为AD是⊙O的切线，切点为A，BC是直径，所以∠BAD=∠ACB（弦切角等于所夹弧对的圆周角）。又因为BC是直径，所以∠BAC=90°。AE⊥BC于E，所以在Rt△ABC中，∠BAE=∠ACB（同角的余角相等：∠BAE+∠ABC=90°，∠ACB+∠ABC=90°）。因此，∠BAD=∠BAE（等量代换）。接下来，我们尝试证明△ABF∽△DBF或者构造平行线。或者，过D作DG⊥AE于G，尝试证明△AFE≌△DFG？似乎有些复杂。另一个思路：因为AD是切线，AD⊥OA（半径）。AE⊥BC，所以AD∥BC吗？不一定，除非OA和BC重合，但OA是半径，BC是直径，O是BC中点，所以OA是半径，AD⊥OA，AE⊥BC。如果AD∥BC，则OA⊥BC，即BC⊥OA，此时AB=AC，△ABC是等腰直角三角形，但题目没有这个条件。所以AD与BC不一定平行。回到∠BAD=∠BAE，即BA是∠DAE的角平分线。在△ABD中，BE是否平行于AD？AE⊥BC，AD⊥OA。若能证明BF/FD=BE/AD或其他比例关系。或者，考虑△BFE和△DFA。∠BFE=∠DFA（对顶角）。∠BEF=90°。∠DAF=∠BAE（已证），而∠BDA是△ABD的一个内角。似乎可以尝试证明△BEF∽△DAF。若△BEF∽△DAF，则BE/DA=EF/AF=BF/DF。我们需要找到BE、DA、EF、AF之间的关系。在Rt△ABC中，AE是高，所以AB²=BE·BC，AE²=BE·EC，AC²=EC·BC。∠BAD=∠ACB，∠ADB=∠ADB（公共角），所以△ABD∽△CAB？∠ABD=∠CBA（公共角），∠BAD=∠BCA，所以△ABD∽△CBA（AA）。因此，AD/AC=AB/CB=BD/AB。即AD=AC·AB/CB，AB²=BD·CB。而AB²=BE·BC（射影定理），所以BD·CB=BE·BC→BD=BE。这似乎不对，BD是斜边，BE是直角边的一部分，不可能相等。哦，上面的相似比写反了。△ABD∽△CBA，对应角∠BAD=∠BCA，∠ABD=∠CBA，所以对应边应该是AD/CA=AB/CB=BD/AB。所以AD/CA=AB/CB→AD=(AB·CA)/CB。AB/CB=BD/AB→AB²=CB·BD。而由射影定理，AB²=BE·CB。所以CB·BD=BE·CB→BD=BE。这显然与图形不符，除非E点与D点重合，但D在圆外，E在BC上。所以，我一定是相似三角形的对应关系搞错了。应该是△ABD∽△CBA，那么∠BAD的对应角是∠BCA，∠ABD的对应角是∠CBA，所以正确的对应边比例应该是AB/CB=AD/CA=BD/AB。没错，所以AB²=CB·BD和AB²=BE·CB，所以BD=BE。这说明之前的相似判定可能有误。∠BAD=∠BCA，∠ADB和∠CAB呢？∠CAB=90°，∠ADB是锐角，所以不相等。因此，△ABD与△CBA不相似。之前的判定是错误的。回到起点，∠BAD=∠BAE（已证）。在△ABF中，∠BAF=∠BAD，∠ABF=∠ABD。若能证明△ABF∽△DBA，则AF/DA=AB/DB=BF/BA。∠BAF=∠BDA吗？不确定。或者，过B作BH⊥AD于H。因为AD是切线，BH⊥AD，AE⊥BC，OA⊥AD，所以OA∥BH∥AE。O是BC中点，若能证明H是AD中点，则F也是AD中点。因为BH∥AE，所以AF/FH=AB/BH？似乎也有些绕。我们换个角度，设∠BAE=∠BAD=α。在Rt△ABE中，BE=AB·cosα。在Rt△ABD中（假设∠ABD=β），AD=AB·sinβ/sin(180°-α-β)（正弦定理）。这个可能超出初中范围。再仔细观察图形，AE⊥BC，∠BAC=90°，所以∠ABC=∠CAE。AD是切线，∠DAC=∠ABC（弦切角∠DAC所夹弧是弧AC，它等于弧AC所对的圆周角∠ABC）。所以∠DAC=∠CAE。哦！这个发现很重要！∠DAC=∠CAE，即AC是∠DAE的角平分线。AE⊥BC，AD是切线，OA⊥AD。因为AC平分∠DAE，且AE⊥BC，若过C作AD的垂线，垂足为H，则根据角平分线性质，CH=CE。但这样似乎也不能直接得到AF=FD。在△ADC中，AF是∠DAC的角平分线（因为∠DAF=∠CAE=∠DAC），AE⊥BC。如果AD∥BC，则AF=FD成立，但AD与BC不一定平行。或者，考虑用面积法。S△ABF/S△DBF=AF/FD（等高不同底）。若能证明S△ABF=S△DBF，则AF=FD。S△ABF=(1/2)·AB·BF·sin∠ABF。S△DBF=(1/2)·DB·BF·sin∠DBF。因为∠ABF=∠DBF，所以只需证明AB=DB，S△ABF=S△DBF。但AB=DB显然不成立。看来，我需要重新审视已知条件和图形。AD是切线，切点A。连接OA，则OA⊥AD。AE⊥BC。∠OAB=∠OBA（OA=OB）。∠OAB+∠BAE=90°（因为OA⊥AD，∠DAE+∠OAE=90°，而∠BAE=