刘鸿文版材料力学课件45章

材料力学（第4-5章）弯曲内力与弯曲应力|刘鸿文版教材精讲课件Contents课件目录工程力学·弯曲问题专题01弯曲的概念与受弯杆件简化02弯曲内力计算与内力图绘制03弯曲正应力分析与强度计算04弯曲切应力与强度提高措施CHAPTER01弯曲的概念与受弯杆件简化从工程实例出发，建立弯曲变形的基本认知与力学模型MECHANICSOFMATERIALS弯曲的概念与工程实例弯曲是杆件在外力或外力偶作用下轴线由直线变为曲线的变形形式。以弯曲变形为主的杆件称为梁，起重机大梁、火车轮轴和车削工件是工程中最典型的受弯构件。起重机大梁起吊重物时承受集中载荷与自重均布载荷，轴线产生向下挠曲；两端由轨道支撑，可简化为简支梁模型。简支梁火车轮轴在车厢重力与轨道支反力作用下产生对称弯曲；两端外伸、中间受载对应外伸梁模型，需兼顾强度与刚度。外伸梁车削工件细长工件在卡盘与顶尖间受切削力弯曲变形，影响加工精度；一端固定一端自由对应悬臂梁模型。悬臂梁BENDINGTHEORY平面弯曲与对称弯曲平面弯曲要求变形后轴线为平面曲线且与外力共面，是弯曲分析的基本前提。对称弯曲是平面弯曲的特例，当梁具有纵向对称面且外力均作用于该面内时成立。01平面弯曲的定义：变形后梁轴线为平面曲线，且该曲线与外力作用平面重合，保证问题可简化为二维分析02对称弯曲的条件：梁具有纵向对称面，所有横向外力和外力偶均作用于该对称面内，变形后轴线必在对称面内03充分非必要条件：有纵向对称轴且载荷作用于对称面内时，一定发生对称弯曲（即平面弯曲）04非对称弯曲情形：外力不作用在纵向对称面内，或梁截面无对称轴，需引入主轴和主惯性矩概念工字钢梁的纵向对称面—工程结构实拍STRUCTURALMECHANICS·结构力学梁的载荷类型与支座简化受弯杆件的力学简化包括载荷简化与支座简化两个维度。载荷分为集中力、分布载荷和集中力偶三类；支座分为固定铰支座、可动铰支座和固定端三类，各自的约束反力数目不同，直接决定了结构是否静定。载荷与支座基本类型对照表类别类型力学特征约束反力载荷集中载荷作用于一点或极小区域，如吊钩力、轮压—分布载荷沿梁长度方向连续分布，如自重q(N/m)—集中力偶作用于某截面的力偶矩M(N·m)—支座固定铰支座限制水平和竖直位移，允许转动2个(FAx,FAy)可动铰支座限制一个方向位移，允许转动和水平滑动1个(FBy)固定端限制所有位移和转动3个(FAx,FAy,MA)三种载荷与三种支座的组合决定了梁的静定／超静定性质，是建立力学模型的基础StaticallyDeterminateBeams静定梁的三种基本形式静定梁按支座配置分为简支梁、外伸梁和悬臂梁三种基本形式，它们的共同特征是约束反力数目恰好等于静力平衡方程数目（3个），可仅凭平衡方程求解全部支座反力，是材料力学弯曲分析的基本模型。简支梁AxAyBy一端固定铰支座、一端可动铰支座，共3个未知反力（FAx、FAy、FBy），可用三个平衡方程求解。工程中桥梁主梁、楼板次梁等两端支撑构件均可简化为简支梁模型。ΣF=0外伸梁支座配置与简支梁相同，但梁体一端或两端伸出支座以外，伸出部分产生悬臂效应。火车轮轴是典型双外伸梁，车轮处的载荷通过外伸段传递到两支座之间的梁体。悬臂效应悬臂梁AxAyA一端为固定端约束（3个反力：FAx、FAy、MA），另一端完全自由，受力后自由端挠度最大。阳台挑梁、雨棚梁、机床刀具等一端嵌固的构件均可简化为悬臂梁模型。自由端挠度STRUCTURALMECHANICS平面曲杆的弯曲内力平面曲杆是指轴线为平面曲线的受弯构件，如吊钩、链环等。当外力与曲杆共面时，任意截面上存在轴力、剪力和弯矩三种内力分量，列写内力方程时宜采用极坐标系。01平面曲杆定义轴线为平面曲线的构件，如吊钩、环形链节、拱形支架等，区别于轴线为直线的普通梁。吊钩·链环·拱02内力分量外力与曲杆轴线共面时，任意截面上同时存在轴力FN、剪力FS和弯矩M三种内力。FN·FS·M03极坐标建模以曲率中心为原点、角度θ为参数描述截面位置，比直角坐标更适合曲线轴线的内力分析。r,θ04内力图绘制内力数值沿曲杆轴线方向标注，弯矩图画在受拉侧，与直梁的规定保持一致。受拉侧标注CHAPTER04·SUMMARY第四章小结：弯曲内力核心要点第四章弯曲内力的核心学习目标是建立从支座反力求解到内力图绘制的完整分析能力。重点掌握截面法求内力、正负号规定、剪力方程与弯矩方程的建立，以及利用微分关系快速绘制剪力图和弯矩图的技巧。01支座反力求解利用三个静力平衡方程（ΣFx=0、ΣFy=0、ΣM=0）求解简支梁、外伸梁、悬臂梁的全部约束反力。3个平衡方程02截面法求内力在目标截面处假想截开，取任一侧为研究对象，由平衡条件求出该截面的剪力FS和弯矩M。FS剪力·弯矩M03正负号规定剪力使微段顺时针转为正（左截面向上、右截面向下），弯矩使梁下侧纤维受拉为正。顺时针为正方向04微分关系快速作图dFS/dx=q(x)、dM/dx=FS，利用载荷集度与内力的微分和积分关系控制图形形状和突变。dM/dx=FS微分控制Chapter02弯曲内力计算与内力图绘制掌握截面法、剪力方程与弯矩方程，以及剪力图和弯矩图的绘制技巧弯曲内力·基本概念剪力与弯矩的定义及正负号规定截面法是求解弯曲内力的基本方法：在目标截面假想截开，取任一侧为研究对象，由平衡条件求出剪力FS和弯矩M。正负号规定是内力分析的统一标准——剪力以使微段顺时针转为正，弯矩以使梁下侧受拉为正。截面法步骤确定截面位置→假想截开→取隔离体→绘制受力图→建立平衡方程求解内力五步法剪力FS定义截面内力合力沿切线方向的分量，反映相邻截面间的横向剪切变形效应切向分量剪力正负号使微段产生顺时针转动趋势为正，逆时针转动趋势为负，便于统一内力方向顺正逆负弯矩M定义内力对截面形心的合力偶矩，使梁产生弯曲变形，是弯曲分析的核心物理量合力偶矩弯矩正负号使梁下侧纤维受拉为正（凹面向上），上侧纤维受拉为负（凸面向上）下拉为正STRUCTURALMECHANICS剪力方程与弯矩方程的建立剪力方程FS(x)和弯矩方程M(x)将内力表达为截面位置的函数，是绘制内力图的基础。建立方程需先求支座反力，再按载荷变化点分段，对每段用截面法列平衡方程。分段原则在集中力作用点、集中力偶作用点、分布载荷起止点和支座处将梁分段，每段内载荷连续SEGMENTATION方程建立对每段取距原点为x的任意截面，取截面一侧为隔离体，由ΣFy=0求FS(x)、由ΣM=0求M(x)EQUILIBRIUM剪力图特征均布载荷段FS图为斜直线，无载荷段为水平线，集中力处FS图有突变且突变值等于力的大小SHEARDIAGRAM弯矩图特征FS为常数段M图为斜直线，FS为斜直线段M图为抛物线，集中力偶处M图有突变且突变值等于力偶矩大小MOMENTDIAGRAMMECHANICSOFMATERIALS·材料力学载荷集度、剪力与弯矩的微分关系载荷集度q(x)、剪力FS(x)和弯矩M(x)之间存在三个核心微分关系：dFS/dx=q(x)、dM/dx=FS、d²M/dx²=q(x)。这组关系是快速绘制和校核内力图的理论基础。01微段平衡推导：取梁上微段dx，左截面内力为FS和M，右截面为FS+dFS和M+dM，由ΣFy=0和ΣM=0导出微分关系02一阶关系dFS/dx=q(x)：剪力图斜率等于载荷集度，q向下为正时FS图向右下倾斜03一阶关系dM/dx=FS(x)：弯矩图斜率等于剪力值，FS=0处弯矩M取极值（最大或最小）04二阶关系d²M/dx²=q(x)：弯矩图凹凸性由载荷集度方向决定，q>0时M图为下凸抛物线载荷-剪力-弯矩图形特征速查表载荷情况剪力图FS形状弯矩图M形状无载荷段q=0水平直线斜直线均布载荷q=常数斜直线抛物线集中力F处突变（跳变值=F）尖角（折点）集中力偶Me处无变化突变（跳变值=Me）FS=0处过零点极值点（最大/最小弯矩）利用微分关系可根据载荷分布直接判断内力图形状，无需逐段列方程，大幅提升作图效率。STRUCTURALMECHANICS叠加法绘制弯矩图叠加法基于线弹性小变形假设，将复杂载荷分解为若干简单载荷分别作图后叠加。其核心是同一截面处各载荷单独产生的弯矩代数和等于总弯矩，适用于同时承受多种载荷的梁，可大幅简化弯矩图绘制过程。叠加原理线弹性小变形条件下，多个载荷共同作用的效果等于各载荷单独作用效果的代数和代数和操作步骤①分解载荷为若干简单载荷→②分别画弯矩图→③相同截面纵坐标值叠加三步法典型应用桥式起重机大梁同时承受自重均布载荷q和起吊集中载荷W，可分别画弯矩图再叠加q+W适用条件材料服从胡克定律（线弹性），变形足够小（小变形），保证力与位移的线性关系成立胡克定律STRUCTURALMECHANICS综合例题：多载荷梁的内力图绘制内力图绘制的标准流程为：先求支座反力，再按载荷变化点分段，利用微分关系逐段确定FS图和M图的形状，最后通过特征点数值完成精确绘图。STEP01求支座反力对整体列ΣMA=0和ΣFy=0，解得支座反力，为后续分段计算提供边界条件。75kN↑FAy25kN↑FBySTEP02FS图绘制要点AC段FS=75kN水平线，C截面集中力使FS突降至−45kN，DE段均布载荷使FS线性增大，标注FS=0位置。−45kNC截面突变值FS=0DE段极值定位STEP03M图绘制要点AC段M从0线性增至75kN·m，D截面集中力偶使M突变80kN·m，DE段为下凸抛物线。80kN·mD截面力偶突变−83.75kN·mMF极值STEP04校核验证利用积分关系ΔFS=∫qdx和ΔM=∫FSdx检查各段内力图面积与端点值差是否吻合，确保图形正确。ΔFS=∫qdx剪力图校核ΔM=∫FSdx弯矩图校核Chapter03弯曲正应力分析与强度计算从纯弯曲试验到正应力公式推导，建立弯曲强度校核的完整方法MECHANICSOFMATERIALS纯弯曲与横力弯曲纯弯曲是指梁段上只有弯矩没有剪力的受力状态，横力弯曲则同时存在弯矩和剪力。当梁跨高比l/h>5时，纯弯曲正应力公式可直接用于横力弯曲。01纯弯曲定义：梁的某段上各截面弯矩相等（剪力为零），截面上只有正应力而无切应力，是最简单的弯曲受力状态。02横力弯曲定义：梁段上同时存在弯矩和剪力，截面上既有正应力又有切应力，是工程中更常见的弯曲状态。03实验实现：在梁上施加对称的两个集中力，两力之间的梁段即为纯弯曲段，常用于弯曲试验和公式验证。04公式推广条件：当梁的跨高比l/h>5时，横力弯曲截面上的正应力分布与纯弯曲非常接近，可直接使用纯弯曲正应力公式。四点弯曲试验·梁的纯弯曲段示意PUREBENDING·GEOMETRY变形几何关系与平面假设平面假设是纯弯曲正应力推导的几何基础：横截面变形后仍保持为平面，仅绕中性轴转动一个角度。由此推断梁内纵向纤维应变与到中性轴的距离成正比，中性层处应变为零，距中性轴越远应变越大。01平面假设变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某轴线偏转了一个角度。02纤维变形规律凹入侧纤维缩短（受压），突出侧纤维伸长（受拉），变形量与到中性层的距离y成正比。03中性层与中性轴梁内存在一层纵向纤维长度不变的过渡层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。04纵向应变表达式ε=y/ρ（ρ为中性层曲率半径），说明纵向纤维应变与到中性轴距离y成正比，中性轴上ε=0。MechanicsofMaterials纯弯曲正应力公式推导纯弯曲正应力公式σ=My/Iz的推导综合三方面条件：几何方面（平面假设→ε=y/ρ）、物理方面（胡克定律→σ=Ey/ρ）、静力学方面（合力为零确定中性轴过形心、合力矩等于M确定曲率1/ρ=M/EIz）。三者联立即得σ=My/Iz。物理关系由胡克定律σ=Eε和几何关系ε=y/ρ，得到σ=Ey/ρ，正应力与到中性轴距离y成线性分布。σ=Ey/ρ确定中性轴截面正应力轴向合力∫σdA=0，代入σ=Ey/ρ得∫ydA=0，说明中性轴通过横截面形心。∫ydA=0确定曲率正应力对中性轴合力矩∫σ·y·dA=M，代入后得E/ρ·∫y²dA=M，即1/ρ=M/(EIz)。1/ρ=M/EIz最终公式σ=My/Iz，其中Iz=∫y²dA为惯性矩，Wz=Iz/ymax为抗弯截面系数。σ=My/Iz材料力学·弯曲应力正应力分布规律与截面惯性矩纯弯曲正应力沿截面高度呈线性分布，中性轴处为零，边缘处最大。最大正应力σmax=M/Wz，其中Wz为抗弯截面系数。常见截面惯性矩与抗弯截面系数截面形状惯性矩Iz抗弯截面系数Wz特点说明矩形b×hbh³/12bh²/6h方向为弯曲方向，增大h比增大b更有效圆形直径dπd⁴/64πd³/32各向同性，任意轴惯性矩相同圆环D/dπ(D⁴−d⁴)/64π(D⁴−d⁴)/(32D)空心比实心材料利用率更高工字形组合截面计算Iz/ymax翼缘远离中性轴，抗弯效率最高抗弯截面系数Wz越大，同等弯矩下最大正应力越小，因此工字形和空心圆截面是高效的抗弯截面形式STRENGTHOFMATERIALS横力弯曲正应力与强度条件横力弯曲时正应力公式σ=My/Iz在跨高比l/h>5时仍适用。弯曲正应力强度条件为σmax=Mmax/Wz≤[σ]，需先确定最大弯矩Mmax所在危险截面，再计算最远纤维处的最大正应力。01适用条件当跨高比l/h>5时，剪力对正应力分布的影响可忽略，纯弯曲公式σ=My/Iz直接适用。02危险截面确定通过弯矩图找到|M|最大的截面，该截面上距中性轴最远的点即为最大正应力点（危险点）。03强度条件σmax=Mmax/Wz≤[σ]，其中[σ]为材料许用正应力，Wz=Iz/ymax为抗弯截面系数。04三种应用①强度校核（验算σmax≤[σ]）；②截面设计（求Wz≥M/[σ]）；③确定许用载荷。SOLVEDEXAMPLE例题：圆轴截面尺寸设计圆轴截面设计需同时满足强度与刚度条件，取较大直径。将主动轮置于从动轮之间可减小最大扭矩，是优化载荷布置的典型思路。01计算外力偶矩根据功率和转速计算各轮外力偶矩Me=9549×P/n，画出扭矩图确定各段最大扭矩值。扭矩图是分析圆轴受力的基础工具，通过扭矩分布可直观识别危险截面位置。Me=9549·P/n02强度条件设计由τmax=T/Wp≤[τ]解出d≥(16T/(π[τ]))^(1/3)，分别计算AC段d₁和BC段d₂。强度设计确保材料不发生屈服或断裂，是截面尺寸的基本约束条件。τmax≤[τ]03刚度条件设计由θmax=T/(GIp)≤[θ]解出d≥(32T/(πG[θ]))^(1/4)，分别计算各段所需直径。刚度设计限制扭转变形量，保证传动精度和运行平稳性。θmax≤[θ]04优化轮位布置将主动轮安装在两从动轮之间，使扭矩图最大值减小——通过优化载荷位置降低内力。合理的轮位布置可在不改变材料的前提下显著提升轴的承载能力。优化载荷位置Chapter04弯曲切应力与强度提高措施分析弯曲切应力分布规律，探讨提高梁弯曲强度的工程方法SOLIDMECHANICS矩形截面的弯曲切应力矩形截面弯曲切应力τ=FS·Sz*/(Iz·b)沿高度抛物线分布：中性轴处最大(τmax=1.5FS/A)，边缘处为零，为平均切应力的1.5倍。01基本假设切应力方向平行于剪力FS方向，且沿截面宽度b方向均匀分布，适用于窄矩形截面。02公式推导取微段dx，在y处作水平截面截取微元体，由微元体水平方向合力为零导出τ=FS·Sz*/(Iz·b)。03矩形截面特化代入Sz*=b(h²/4−y²)/2和Iz=bh³/12，得τ=(FS/2Iz)(h²/4−y²)，呈抛物线分布。04最大切应力中性轴处(y=0)，τmax=3FS/(2bh)=1.5×(FS/A)，为截面平均切应力的1.5倍。SECTIONANALYSIS工字形与圆形截面的弯曲切应力工字形截面绝大部分剪力由腹板承担，腹板切应力远大于翼缘，工程中常用τmax≈FS/A腹板估算。圆形截面中性轴处切应力最大，τmax=4FS/(3A)，是平均切应力的4/3倍。不同截面形式的切应力分布特征直接影响截面选择和强度校核。I-SHAPED工字形截面腹板切应力τ=FS·Sz*/(Iz·d)，其中d为腹板宽度。腹板承担截面95%以上的剪力，是切应力计算的核心区域。由于腹板厚度远小于翼缘宽度，腹板内的切应力分布可近似视为均匀分布，这为工程简化计算提供了理论依据。翼缘切应力方向沿翼缘宽度方向分布，数值较小且变化平缓，通常不做详细计算。翼缘主要承担弯矩引起的正应力，切应力贡献可忽略不计，这是工字形截面优化设计的力学基础。近似公式τmax≈FS/A腹板（A=h₀×d），工程中快速估算腹板最大切应力。该简化公式误差通常在5%以内，满足钢结构和混凝土结构设计精度要求。CIRCULAR圆形截面中性轴处最大τmax=4FS/(3A)，是平均切应力的4/3≈1.33倍。圆形截面切应力呈抛物线分布，中性轴处达到峰值，向上下边缘逐渐减小至零，形成典型的对称分布特征。边缘切应力方向沿圆周切线方向分布，中性轴处切应力平行于剪力FS方向。这种方向变化特性使得圆形截面在受剪时产生复杂的应力状态，需特别注意连接部位的应力集中问题。薄壁圆管切应力近似均匀分布在壁厚上，τmax≈2FS/A。薄壁假设下，截面材料充分利用，重量效率显著优于实心圆截面，广泛应用于航空航天和轻型结构领域。StrengthCondition弯曲切应力强度条件与校核场景弯曲切应力强度条件为τmax≤[τ]，一般细长梁以正应力控制为主，但在短粗梁、集中载荷靠近支座、薄壁截面、木梁和铆焊组合梁等情况下，切应力可能成为控制因素，必须进行切应力强度校核。切应力强度条件τmax=FSmax·Sz*max/(Iz·b)≤[τ]，塑性材料取(0.5~0.6)[σ]τmax≤[τ]短粗梁跨高比l/h<5，剪力相对弯矩较大，切应力可能先于正应力达到许用值l/h<5集中载荷近支座该区域剪力FS大而弯矩M小，切应力成为主要强度控制因素FS大·M小木梁与组合梁木梁顺纹抗剪弱，易沿中性层纵裂；铆焊组合梁需校核层间切应力层间校核ENGINEERINGMECHANICS提高弯曲强度的工程措施提高梁弯曲强度的核心思路是减小最大弯矩Mmax和增大抗弯截面系数Wz。具体包括合理安排支座和载荷位置以降低Mmax、选用工字形等高效截面以增大Wz、根据材料特性选择非对称截面以及采用等强度设计充分利用材料。01降低最大弯矩Mmax合理安排支座：将简支梁支座向内移动适当距离，可显著减小跨中最大弯矩，如均布载荷梁支座内移0.2l时Mmax减小约80%。合理安排载荷：将集中载荷靠近支座布置，或分散为多个较小载荷或均布载荷，降低弯矩峰值。增加中间支座：在简支梁中部增加支座变为连续梁，将正弯矩区减小并产生负弯矩区，有效降低最大弯矩值。Mmax↓02增大抗弯截面系数Wz选择高效截面：在面积相同条件下，工字形>圆环形>矩形>圆形，材料越远离中性轴，惯性矩和Wz越大。竖放优于横放：矩形截面竖放（h>b）时Wz=bh²/6远大于横放时Wz=hb²/6，充分利用截面高度方向。非对称截面设计：对拉压强度不同的材料（如铸铁），采用T形等非对称截面，使中性轴偏向强度低的一侧。Wz↑03等强度梁设计◆等强度原理：让梁各截面的最大应力均等于许用应力σmax(x)=M(x)/Wz(x)=[σ]，材料利用率达到100%，实现材料的最优配置。◆变截面实现：根据弯矩图M(x)的变化规律相应改变截面尺寸Wz(x)，弯矩大处截面大、弯矩小处截面小，典型应用如鱼腹梁、阶梯轴、板弹簧等。◆工程优势：相比等截面梁可节省材料20%-40%，减轻结构重量，在航空航天、汽车悬架等对重量敏感的领域广泛应用。σ=[σ]ENGINEERINGAPPLICATIONS弯曲强度优化工程案例等强度梁、工字形截面和阶梯轴是弯曲强度优化思想的三大典型工程应用。鱼腹梁通过变截面高度匹配弯矩分布实现等强度设计，工字钢利用材料远离中性轴的原理实现高效抗弯，阶梯轴通过分段变径适应弯矩变化实现材料节约。鱼腹梁桥梁结构——变截面高度匹配弯矩分布01鱼腹梁（等强度梁）截面高度随弯矩变化，跨中最高、两端最低，各截面σmax接近[σ]，材料利用率接近100%≈100%02工字钢吊车梁翼缘远离中性轴提供主要惯性矩，腹板连接翼缘并承担剪力，抗弯效率比同面积矩形截面高2-3倍2-3×03阶梯轴设计根据弯矩图分段确定轴径，弯矩大处直径大、弯矩小处直径小，兼顾强度与材料节约分段变径04叠板弹簧多片等强度钢板叠合，每片为三角形（宽度线性变化），实现等强度且具备弹性储能功能弹性储能Summary·弯曲应力第五章小结：弯曲应力核心要点第五章弯曲应力的核心内容包括：纯弯曲正应力公式σ=My/Iz的推导与应用、弯曲切应力公式τ=FS·Sz*/(Iz·b)的计算、正应力和切应力强度条件的校核方法，以及提高弯曲强度的工程措施。弯曲正应力强度计算是最核心的考点。正应力公式推导σ=My/Iz，由平面假设、胡克定律与静力等效条件三方面推导，跨高比l/h>5时可推广至横力弯曲。σ=My/Iz最大正应力σmax=Mmax/Wz，出现在最大弯矩截面的最远纤维处，是弯曲强度校核的首要指标。σmax=Mmax/Wz切应力公式τ=FS·Sz*/(Iz·b)，矩形截面中性轴处τma