导数的综合应用版

要点梳理1.曲线的切线方程点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0))

处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为_____________________.2.函数的单调性

(1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便,

但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是:基础知识自主学习§3.4导数的综合应用y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)大家好①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是______;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是_______.还可以通过列表,写出函数的单调区间.(2)在利用导数研究函数的单调性时,我们往往应用以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若f′(x)>0(或f′(x)<0),则函数f(x)在区间(a,b)内为增函数(或减函数);若函数在闭区间［a,b］上连续,则单调区间可扩大到闭区间［a,b］上.增函数减函数大家好3.函数的极值求可导函数极值的步骤求导数f′(x)→求方程________的根→检验f′(x)

在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则

f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这个根处取极小值).4.函数的最值求可导函数在［a,b］上的最值的步骤求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比较f(a)、f(b)的值和_____的大小.f′(x)=0极值大家好5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.大家好基础自测1.已知曲线C:y=2x2-x3,点P(0,-4),直线l过点P且与曲线C相切于点Q,则点Q的横坐标为()A.-1B.1C.-2D.2

解析A大家好2.函数f(x)=xcosx的导函数f′(x)在区间[-π,π]

上的图象大致是()

解析

∵f(x)=xcosx,∴f′(x)=cosx-xsinx.∴f′(-x)=f′(x),∴f′(x)为偶函数,∴函数图象关于y轴对称.由f′(0)=1可排除C、D选项.而

f′(1)=cos1-sin1<0,从而观察图象即可得到答案为A.A大家好3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列

(n∈N*)的前n项和为()

解析∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1∴f(x)=x2+x∴f(n)=n2+n=n(n+1)

C大家好4.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,则以下式子中一定成立的关系式是()A.f(a)<f(b)B.f(a+1)>f(b-)C.f(a+1)>f(b-1)D.f(a+1)>f(b-)

解析因为f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,故f(x)在区间(a,b)上单调递减,

故f(a+1)>f(b-),故选B.B大家好5.函数y=f(x)在其定义域内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式

f′(x)≤0的解集为__________.

解析由函数y=f(x)在定义域内的图象可得,函数y=f′(x)的大致图象如图所示.由图象可得不等式f′(x)≤0的解集为大家好题型一函数的极值与导数

【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

(1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.题型分类深度剖析思维启迪大家好解

(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-3.①由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称,所以所以m=-3.代入①得n=0.于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);由f′(x)<0,得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是(0,2).大家好(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2),令f′(x)=0得x=0或x=2.当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:由此可得:当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值;当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;大家好当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.综上得,当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值;当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值;当a=1或a≥3时,f(x)无极值.(1)注意体会求函数极值的基本步骤,列表可使解题过程更加清晰规范.(2)要求函数f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值,需对参数a进行讨论.探究提高大家好知能迁移1已知函数

(a为常数),求函数f(x)的极值.

解由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1},①当a>0时,由f′(x)=0,得当x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

大家好大家好题型二函数的最值与导数【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b,问是否存在实数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．

(1)研究函数f(x)在[－1,2]上的单调性;(2)确定f(x)在[－1,2]上的最大、最小值；

(3)列方程组求a、b.

解由f(x)＝ax3－6ax2＋b得f′(x)＝3ax2－12ax

＝3ax(x－4)．当a＝0时,f′(x)＝0,f(x)＝b不能使f(x)在[－1,2]

上取最大值3,最小值－29.思维启迪大家好当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4在区间[－1,2]上,大家好当a<0,令f′(x)＝0得x1＝0,x2＝4在区间[－1,2]上,大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好思想方法感悟提高方法与技巧大家好失误与防范大家好定时检测A大家好B大家好D大家好A大家好C大家好B大家好3大家好大家好4大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好大家好现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式，在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防，生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许，我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，阳春白雪，触目横斜千万朵，赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝，我们终究会明白：任何的财富都比不上精神上的愉悦，任何的快感都不及对初心的执着。愿你不趋炎附势，不阿谀奉迎，不苟且偷生，不虚掷有限的年华，活出属于自己的风采，活在每一个当下，不忘初心，不负今生曾经有人说，成大事者必经以下三种境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境界也;“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，此第二境界也;“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，此第三境界也。我想说的是：事无大小，只要你还在坚持，成功的曙光终会毫不吝啬地照向你有这样一个小故事。1987年，