第三十二讲抽屉原理-小学奥数

在我们的日常生活中，常常会遇到一些看似简单却蕴含着深刻数学道理的现象。比如，把多于几个的苹果放进固定数量的抽屉里，无论怎么放，总能找到一个抽屉里至少有几个苹果。这背后，其实就是我们今天要探讨的——抽屉原理。它是组合数学中一个非常基本且应用广泛的原理，虽然概念朴素，但在解决许多看似无从下手的问题时，却能发挥出奇制胜的作用。掌握了抽屉原理，能让我们的逻辑思维更加严密，看待问题也会更具洞察力。一、抽屉原理的基本认识我们先从一个简单的例子说起。如果有三个苹果，要把它们放进两个抽屉里，会出现什么情况呢？我们不妨动手枚举一下：第一个抽屉放1个，第二个抽屉放2个；第一个抽屉放2个，第二个抽屉放1个；第一个抽屉放3个，第二个抽屉放0个；第一个抽屉放0个，第二个抽屉放3个。无论哪种放法，我们都会发现，至少有一个抽屉里放了不止一个苹果，或者说，至少有一个抽屉里的苹果数不少于2个。如果苹果的数量再多一些，比如有五个苹果放进四个抽屉，同样地，我们可以肯定，至少有一个抽屉里会有不少于2个的苹果。原理点睛：把多于n个的物体（我们不妨称之为“苹果”）放到n个“抽屉”里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。这就是最简单的抽屉原理，也叫“抽屉原理一”。这里的“苹果”和“抽屉”只是一种形象的比喻，它们可以代表任何可以被分配的对象和分配的类别。关键在于理解“多于n个”和“至少有一个抽屉不少于2个”这两个核心条件。二、抽屉原理的延伸与推广如果苹果的数量更多，抽屉的数量相对较少，那么某个抽屉里的苹果数量会不会更多呢？答案是肯定的。比如，有十个苹果放进三个抽屉。我们来思考一下，最“平均”的放法是每个抽屉放3个，还余1个。那么这余下的1个无论放进哪个抽屉，那个抽屉就有4个苹果。所以，至少有一个抽屉里有不少于4个苹果。原理点睛：把多于m×n个苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有不少于(m+1)个苹果。这可以看作是抽屉原理的一般形式，也称为“抽屉原理二”。这里的m是商，当苹果总数除以抽屉数，得到的商是m，余数不为0时，就会出现这种情况。如果正好整除，即没有余数，那么至少有一个抽屉里有不少于m个苹果。理解这个推广形式的关键在于“商”和“余数”的概念。我们可以用除法来帮助思考：苹果总数÷抽屉数=商…余数。当余数不为0时，至少有一个抽屉里的苹果数是“商+1”；当余数为0时，至少有一个抽屉里的苹果数是“商”。三、抽屉原理的解题步骤与要点运用抽屉原理解题，通常可以遵循以下几个步骤：1.明确“苹果”和“抽屉”：这是解决问题的前提。需要仔细分析题目，确定什么是要被分配的“苹果”（即待分配的元素），什么是“抽屉”（即分配的类别或范围）。有时候，抽屉的构造需要一定的技巧，需要我们根据题目的条件去“创造”抽屉。2.计算“苹果”数和“抽屉”数：明确了苹果和抽屉之后，要准确地数出或计算出苹果的总数以及抽屉的数量。3.应用抽屉原理：根据抽屉原理的基本形式或推广形式，判断在给定的苹果数和抽屉数下，必然会出现的结果。4.得出结论：结合题目要求，给出最终的答案。要点提示：在很多时候，题目中并不会直接给出“苹果”和“抽屉”，这就需要我们具备一定的抽象思维能力，善于从题目中挖掘隐含条件，巧妙地构造出合适的“抽屉”。这往往是解决问题的关键所在，也是抽屉原理应用的难点。四、例题解析与实战演练例1：题目：教室里有13名同学，至少有几名同学的生日在同一个月？分析：这里，我们可以把“同学”看作“苹果”，把“月份”看作“抽屉”。一年有12个月，所以抽屉数是12个，苹果数是13个。解答：根据抽屉原理一，13个苹果放进12个抽屉，13>12，所以至少有一个抽屉里有2个苹果。即至少有2名同学的生日在同一个月。例2：题目：一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的球各若干个，最少要摸出多少个球，才能保证其中至少有4个球的颜色相同？分析：这道题的“苹果”是“摸出的球”，“抽屉”是“球的颜色”，有红、黄、蓝三种颜色，所以抽屉数是3个。题目要求“至少有4个球的颜色相同”，也就是某个抽屉里至少有4个苹果。我们考虑最不利的情况，也就是“最坏”的情况：每种颜色的球都先摸出了3个。这时候，再摸出任意1个球，无论是什么颜色，都能保证有一种颜色的球达到了4个。解答：每种颜色先摸3个，共摸了3×3=9个球。再摸1个，9+1=10个。所以，最少要摸出10个球，才能保证其中至少有4个球的颜色相同。这里运用了抽屉原理的推广形式，相当于m=3（每个抽屉先放3个），n=3（抽屉数），所以苹果数至少为3×3+1=10个。例3：题目：从1到10这10个自然数中，任意取出6个数，那么至少有两个数的差是5。请说明理由。分析：要证明“至少有两个数的差是5”，我们需要构造合适的“抽屉”。如果两个数的差是5，那么它们可以配对。我们可以把1到10这10个数按照差为5进行分组：(1,6)，(2,7)，(3,8)，(4,9)，(5,10)。这样就形成了5个“抽屉”。现在要从这10个数中任意取出6个数，相当于把6个“苹果”放进5个“抽屉”里。解答：根据抽屉原理一，6个苹果放进5个抽屉，至少有一个抽屉里有2个苹果。这就意味着，在这6个数中，至少有两个数来自同一个组，而同一个组中的两个数的差正好是5。因此，结论成立。这个例子的关键在于巧妙地构造了抽屉，将具有特定关系（差为5）的数对放在同一个抽屉中，从而将问题转化为抽屉原理的应用。五、方法归纳与总结抽屉原理看似简单，但要灵活运用，还需要多思考、多练习。在解题时，首先要准确识别或构造“抽屉”和“苹果”，这是核心步骤。对于一些稍复杂的问题，构造抽屉的技巧性很强，需要我们仔细观察题目特点，联想已有的知识和经验。其次，要理解“至少”的含义，它表示的是一种必然性，即在所有可能的情况下，都会出现的结果。在分析时，我们常常需要考虑“最不利原则”，也就是先设想一种最极端、最不利于我们期望结果出现的情况，然后在此基础上进行推理，往往能快速找到答案。最后，抽屉原理的应用非常广泛，从简单的计数问题到复杂的逻辑推理，都能看到它的身影。掌握了抽屉原理，能让我们在解决这类问题时，思路更加清晰，论证更加有力。六、巩固练习1.思考题：在一个学校的年级里，有52名学生，他们中至少有多少人的属相是相同的？（属相共有12种）2.练习题：一个不透明的盒子里装有大小相同的黑、白、红三种颜色的棋子各若干颗，问至少要取出多少颗棋子，才能保证有3颗棋子是同一颜色的？3.拓展题：从1至15这15个自然数中，任意选出