2022考研数学三期中试卷｜精排打印版

2022考研数学三期中试卷｜精排打印版一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.设函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，且满足$\lim\limits_{x\toa^+}f(x)=\lim\limits_{x\tob^-}f(x)=+\infty$，则下列说法正确的是（）A.$f(x)$在$(a,b)$上必有最大值和最小值B.$f(x)$在$(a,b)$上必有最大值，但未必有最小值C.$f(x)$在$(a,b)$上未必有最大值，但必有最小值D.$f(x)$在$(a,b)$上未必有最大值，也未必有最小值2.已知函数$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，则$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$在$x=0$处的值为（）A.$1$B.$-1$C.$0$D.$2$3.设函数$z=f(x,y)$满足$\frac{\partialz}{\partialx}=2x+y^2$，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y+x^2$，且$f(0,0)=0$，则$f(x,y)$的表达式为（）A.$x^2+y^2$B.$x^2+y^2+xy$C.$x^2+y^2+2xy$D.$x^2+y^2+3xy$4.计算不定积分$\intx\ln(x+1)\,\mathrm{d}x$，结果为（）A.$\frac{x^2}{2}\ln(x+1)-\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}\ln(x+1)+C$B.$\frac{x^2}{2}\ln(x+1)-\frac{x^2}{4}-\frac{1}{4}\ln(x+1)+C$C.$\frac{x^2}{2}\ln(x+1)+\frac{x^2}{4}-\frac{1}{4}\ln(x+1)+C$D.$\frac{x^2}{2}\ln(x+1)+\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}\ln(x+1)+C$5.微分方程$y''-4y'+4y=0$的通解为（）A.$y=(C_1+C_2x)e^{2x}$B.$y=(C_1+C_2x)e^{-2x}$C.$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}$D.$y=C_1+C_2e^{2x}$6.设级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且$\lim\limits_{n\to\infty}na_n=1$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}n(a_n-a_{n+1})$的敛散性为（）A.收敛且和为$0$B.收敛且和为$1$C.发散D.敛散性不确定7.已知向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$，$\mathbf{b}=(2,-1,1)$，则$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$的模长为（）A.$\sqrt{14}$B.$\sqrt{15}$C.$\sqrt{16}$D.$\sqrt{17}$8.设$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$，则$A$的秩$r(A)$为（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$0$9.设$z=f(u,v)$，其中$u=x^2+y^2$，$v=\frac{y}{x}$，则$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$的表达式为（）A.$4x\frac{\partialf}{\partialu}-\frac{2y}{x^2}\frac{\partialf}{\partialv}$B.$2x\frac{\partialf}{\partialu}+\frac{2y}{x^2}\frac{\partialf}{\partialv}$C.$4x\frac{\partialf}{\partialu}+\frac{2y}{x^2}\frac{\partialf}{\partialv}$D.$2x\frac{\partialf}{\partialu}-\frac{2y}{x^2}\frac{\partialf}{\partialv}$10.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq0\\x+1,&x>0\end{cases}$，则$\lim\limits_{x\to0}f(x)$的存在性为（）A.存在且为$0$B.存在且为$1$C.存在且为$2$D.不存在二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.若$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=a$，则$a=$________。2.函数$y=\arctan(x^2)$在$x=1$处的二阶导数为________。3.设$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=1$，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-1}{\sinx}=2$，则$f'(0)=$________。4.计算定积分$\int_0^1x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$，结果为________。5.已知向量$\mathbf{a}=(1,1,1)$，$\mathbf{b}=(1,0,1)$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=$________。6.微分方程$y'-y=\sinx$的通解为________。三、解答题（共6题，共70分）1.（10分）计算不定积分$\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\,\mathrm{d}x$。2.（10分）设函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{y}+xy=x^2$确定，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$和$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$。3.（10分）计算二重积分$\iint_D(x+y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由抛物线$y=x^2$和直线$y=1$围成的区域。4.（10分）求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\cdot2^n}$的收敛域。5.（15分）设线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1-x_2+x_3=2\\x_1+x_2-x_3=-1\end{cases}$，求其通解。6.（15分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且满足$\int_0^1f(t)\,\mathrm{d}t=1$，证明：存在$x_0\in(0,1)$，使得$f(x_0)=x_0$。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：由极限性质，$f(x)$在$(a,b)$上必有最大值，但最小值未必存在，例如$f(x)=\frac{1}{(x-a)(b-x)}$在$(a,b)$上无最小值。2.A解析：$y'=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})=\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，$y''=-\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}$，$y''(0)=1$。3.C解析：由偏导数连续性，$z=\int(2x+y^2)\,\mathrm{d}x=x^2+xy^2+C(y)$，代入$\frac{\partialz}{\partialy}=2y+x^2+C'(y)$，得$C'(y)=x^2$，$C(y)=\frac{x^3}{3}+C$，故$z=x^2+y^2+2xy$。4.A解析：令$u=x+1$，则$\intx\ln(x+1)\,\mathrm{d}x=\int(u-1)\lnu\,\mathrm{d}u=\intu\lnu\,\mathrm{d}u-\int\lnu\,\mathrm{d}u=\frac{u^2}{2}\lnu-\frac{u^2}{4}-\frac{u}{2}+C=\frac{x^2}{2}\ln(x+1)-\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}\ln(x+1)+C$。5.A解析：特征方程$r^2-4r+4=0$有重根$r=2$，通解为$y=(C_1+C_2x)e^{2x}$。6.A解析：由$\lim\limits_{n\to\infty}na_n=1$，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，但$\sum_{n=1}^{\infty}n(a_n-a_{n+1})=\sum_{n=1}^{\infty}[(n+1)a_{n+1}-na_n]=\sum_{n=1}^{\infty}[(n+1)a_{n+1}-(n+1)a_n+a_n-na_n]=\sum_{n=1}^{\infty}[(n+1)(a_{n+1}-a_n)]-\sum_{n=1}^{\infty}[(n+1)a_n-na_n]$.7.B解析：$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&2&3\\1&0&1\end{vmatrix}=2i-2j-2k$，模长为$\sqrt{2^2+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{12}=\sqrt{15}$。8.B解析：$A$的前两行线性相关，秩为$2$。9.A解析：$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}\cdot2x+\frac{\partialf}{\partialv}\cdot0=2x\frac{\partialf}{\partialu}$，$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial}{\partialy}(2x\frac{\partialf}{\partialu})=2x\frac{\partial^2f}{\partialu^2}\cdot2y+2x\frac{\partial^2f}{\partialu\partialv}\cdot\frac{1}{x}=4x\frac{\partialf}{\partialu}-\frac{2y}{x^2}\frac{\partialf}{\partialv}$。10.B解析：$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}x^2=0$，$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x+1)=1$，极限不存在。二、填空题1.$4$解析：$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=4$。2.$-4$解析：$y'=\frac{2x}{1+x^4}$，$y''=\frac{2(1+x^4)-2x\cdot4x^3}{(1+x^4)^2}=\frac{2-6x^4}{(1+x^4)^2}$，$y''(1)=-4$。3.$2$解析：$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}\cdot\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{\sinx}=2\cdot1=2$。4.$1-\mathrm{e}^{-1}$解析：$\int_0^1x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=-\int_0^1x\,\mathrm{d}(\mathrm{e}^{-x})=-x\mathrm{e}^{-x}\big|_0^1+\int_0^1\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=-(\mathrm{e}^{-1}-0)+(-\mathrm{e}^{-x}\big|_0^1)=1-\mathrm{e}^{-1}$。5.$2$解析：$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot1+1\cdot0+1\cdot1=2$。6.$y=\mathrm{e}^x+C\mathrm{e}^x+\sinx$解析：令$y'=\mathrm{e}^x(u+v)$，$u'-u=\sinx$，$u'=\mathrm{e}^x(u+v)$，$v'-v=0$，$v=C\mathrm{e}^x$，$y=\mathrm{e}^x+C\mathrm{e}^x+\sinx$。三、解答题1.解：令$x=\tant$，则$\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\tan^2t}{\sec^4t}\cdot\sec^2t\,\mathrm{d}t=\int\sin^2t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int(1-\cos2t)\,\mathrm{d}t=\frac{t}{2}-\frac{\sin2t}{4}+C=\frac{\arctanx}{2}-\frac{x}{2(1+x^2)}+C$。2.解：对方程两边求导，$y'\mathrm{e}^y+xy'+2y=x$，$y''\mathrm{e}^y+(y')^2\mathrm{e}^y+xy''+2y'=1$，$y''\mathrm{e}^y+(y')^2\mathrm{e}^y+xy''+2y'-xy''=1$，$y''(\mathrm{e}^y+x)=1-(y')^2$，$y''=\frac{1-(y')^2}{\mathrm{e}^y+x}$。3.解：$D=\{(x,y)\mid-1\leqx\leq1,x^2\leqy\leq1\}$，$\iint_D(x+y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1(x+y)\,\mathrm{d}y=\int_{-1}^1(x\cdot(1-x^2)+\frac{1-x^2-x^4}{2})\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^1(\frac{1}{