湖南省株洲市部分学校2025-2026学年高一下学期期末联合考试数学试卷（含解析）

湖南株洲市部分学校2025-2026学年下学期高一期末联合考试数学试题一、单选题1．若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（

）A． B． C．2 D．-22．已知，，若，则实数（）A． B．2 C． D．33．空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则4．在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，10，5，6，4，2，则这组数据的平均数和极差分别为（

）A．5，8 B．6，8 C．5，7 D．6，75．已知平面向量，，，若，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．26．已知，，则（

）A． B． C． D．7．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（）A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为互斥事件C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立8．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．有一组互不相等的数据从小到大依次为，若删去，则（

）A．新数据的极差等于原数据的极差 B．新数据的平均数等于原数据的平均数C．新数据的标准差小于原数据的标准差 D．新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则向量在上的投影为B．若，则，C．若，，则D．若，则向量与的夹角为锐角11．定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（

）A． B．为偶函数 C． D．三、填空题12．在中，，则________．13．已知集合，，若，则实数__________．14．已知函数的图象关于点对称，也关于直线对称，且当时，，则______.四、解答题15．学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数：(3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.16．在中，角所对的边为，已知．(1)求；(2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长．条件①：；条件②：的面积为；条件③：．17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点.(1)证明：平面；(2)过点作平面平面交于点，交于点.①证明：；②求的值.18．已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，(1)若，其中．（i）求，的解析式；（ii）若对于任意，都有，求实数a的取值范围.(2)若函数在上单调递减，求不等式的解集.19．已知集合，，，，其中，2，，，由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质.(1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由；(2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？(3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论.参考答案1．C解析：，则，虚部为.故选：C2．C解析：由题意，向量，则，因为，可得，解得.3．B解析：对于A，若，，则或，当时，，则或者与斜交或者，当时，，则或者与斜交或者，故A错误；对于B，若，，，可在取作为的法向量，由于，故，即，则，故B正确；对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误；对于D，若，，，则或，故D错误；故选：B4．A解析：这6个数据的平均数为；这6个数据的最大值为10，最小值为2，所以这组数据的极差为.5．D解析：由，可得，解得，所以，故选：D.6．C解析：因为，，所以，所以，所以.7．D解析：A选项，事件包含的情况有，事件：至少有一颗点数为6包含的情况有，故，事件与事件不为互斥事件，A错误；B选项，事件包含的情况有，故，事件与事件不为互斥事件，B错误；C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有种情况，故，事件包含的情况为，故，故，故事件与事件不相互独立，C错误；D选项，事件包含的情况有，，共18种情况，故，事件包含的情况有：，故，因为，所以事件与事件相互独立，D正确.故选：D8．B解析：四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，，设直线与所成角为，则，直线与所成角的余弦值为．故选：B9．AD解析：对于A，删去，最小值与最大值保持不变，分别为，故极差保持不变，故正确；对于B，当的平均数为时，删去，平均数保持不变，否则会变化，故错误；对于C，取分别为，则原数据的平均数为，方差为删去，新数据的平均数为，方差为，显然，此时新数据的标准差大于原数据的标准差，故C选项错误；对于D，因为，原数据的40%分位数为；因为，故新数据的40%分位数为，故新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数，D选项正确.10．AD解析：对于A，因为，所以，又，所以向量在上的投影为，正确；对于B，因为，且，，，所以，即，该方程有无数组解，错误；对于C，因为，，且，，，则，，即，，所以，当时，，当时，，错误；对于D，，，若时，，所以，此时与为相反向量，当时，，则向量与的夹角为锐角，正确；故选：AD11．AC解析：令，代入式得，整理得，由题，故，代入式得，代入得，又恒成立，故.选项A正确；已知为偶函数，即，令，代入式得，代入和得，又，故，即是奇函数，不是偶函数.选项B错误；对任意，令，得，而，因此对任意恒有，即.已知，代入得，整理得.选项C正确；由满足，得，即.再代入得，即.选项D错误.12．或解析：在中，由正弦定理可得，又，所以，解得，因为，所以，所以或，当时，，当时，，综上所述：或.故答案为：或.13．解析：因为已知集合，，，所以，解得.14．解析：设，则函数的图象过点.设点与关于点对称，可得；设点与关于直线对称，可得；设点与关于点对称，可得.由于在上单调递增，值域为，根据图象的对称性可知，在上单调递增.故当且仅当时，.因为，所以点的横坐标在区间内，即.所以，所以，故.15．(1)2(2)71，(3)解析：（1）由，得，则成绩不高于60分的人数为：，成绩不高于50分的人数为：，则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：；（2）平均数.因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为，，解得；（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为.法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为.16．(1)(2)选条件①时高线长为，选条件②时高线长为，条件③对应的三角形不存在.解析：（1），根据辅助角公式可得（2）选择条件①，,，由正弦定理，代入得，由余弦定理，得解得（负值舍掉），边最长,设其高线是,所以，代入得，解得．选择条件②，由面积公式，得，由余弦定理，得,即,联立得b=8c=5或b=5c=8故最长边上的高．选条件③，由正弦定理得,不符合三角函数值域，故不存在．17．(1)证明见解析(2)①证明见解析；②解析：（1）连交于，因为底面为平行四边形，所以为的中点，而为的中点，所以，又平面平面；所以平面；（2）①因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理可得；②当为的三等分点且时，有平面平面，下面证明：因为为上的点，且，所以在中，，所以，由(1)知平面，因为不在平面内，所以平面，由①可知，因为不在平面内，平面，所以平面，因为，所以平面平面，所以.18．(1)（i），；（ii）(2)解析：（1）（i）因，则，因是奇函数，是偶函数，则，则，得，；（ii），即，令，则在上单调递增，当时，在上单调递增，符合题意；当时，开口向上，且对称轴，显然在上单调递增，所以；当时，开口向下，且对称轴，则由题意，得，又，所以；综上，故实数a的取值范围为；（2），则，又定义域为R，关于原点对称，则是偶函数，因在上单调递减，则在上单调递增，等价于，即，则，即或，得或，故不等式的解集为.19．(1)不具有，具有，,(2)120(3)，证明如下：集合具有性质，对于，根据定义可知：，，，又因为集合具有性质，则，如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故，也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即，对于，根据定义可知，，，，又因为集合具有性质，则，如果，是中不同元素，那么