第5章 多自由度系统的强迫振动

第5章多自由度系统的强迫振动5.1无阻尼强迫振动一个无阻尼N自由度系统的强迫振动的运动微分方程可表示为f(t)为N

1外激励向量由模态的定义可知，结构的响应可表示为模态函数X与一组广义坐标向量（模态坐标）的组合5.1无阻尼强迫振动左乘模态的转置矩阵XT模态坐标下的广义激励力5.1无阻尼强迫振动初始条件由于

为对角矩阵，对于N自由度系统(n=1,2,…,N)可以通过模态坐标把多自由度系统解耦为N个相互独立的单自由度系统，这使得多自由度系统强迫振动的计算难度大为下降5.1无阻尼强迫振动如果刚度矩阵K为正定矩阵，所有固有频率

n均为正实数的解可表示为如果刚度矩阵K为半正定矩阵，假设有固有频率

j为零的解可表示为可得：5.1无阻尼强迫振动如果外激励力为简谐激励时，例如f(t)=Fsin(

t)运动微分方程可表示为与单自由度系统的强迫振动求解相同，其完整解分为其通解与特解之和

n,H为通解显然，可以设特解

n,P为5.1无阻尼强迫振动代入如果激励力频率

等于系统的任意一个固有频率时，系统发生共振，响应幅值向量Un会趋于无穷大5.1无阻尼强迫振动系统在模态坐标下的完整解可表示为系统在物理坐标下的完整解5.1无阻尼强迫振动例题5-1考虑下图所示的无阻尼振动系统，已知m1=9kg，m2=1kg，k1=24N/m，k2=3N/m，m2受到外激励力为f(t)=sin(3t)。初始条件x(0)=[0.10]T，v(0)=[00]T，计算其响应。5.1无阻尼强迫振动解：图中所示的二自由度系统运动微分方程可表示为：通过MATLAB函数eig，可以得到固有频率矩阵和正则化模态矩阵5.1无阻尼强迫振动把物理坐标下的外激励力转换为模态坐标下的广义激励力，即解耦运动微分方程5.1无阻尼强迫振动把初始条件也表示为模态坐标由式（5-8）可知，

1和

2的解可表示为5.1无阻尼强迫振动由式（5-15）可知初始条件5.1无阻尼强迫振动利用求解得到的系数，

1和

2的解可表示为解转换为物理坐标5.1无阻尼强迫振动例题5-1的计算结果5.2阻尼系统对于阻尼多自由度系统的自由振动，系统的微分运动方程可统一表示为为了便于分析，假设阻尼矩阵C为对称矩阵，在固有振型矩阵变换下可对角化的阻尼矩阵统称作比例阻尼。即阻尼矩阵C满足关系式KM-1C=CM-1K由模态的定义可知，结构的响应可表示为正则化模态矩阵X与一组广义坐标向量的组合5.2阻尼系统由正则化模态特性可知5.2阻尼系统如果系统在零初始条件时，系统的完整解即为其稳态解

d,n为第n阶模态的阻尼固有频率（rad/s）如果系统有非零初始条件的存在，则系统会存在瞬态解

H,n，此时系统的完整解为

n

+

H,n，其求解方法与单自由度系统的强迫振动完全相同5.2阻尼系统例题5-2：在例题5-1中，假设系统存在阻尼，其阻尼矩阵C=0.1K。初始条件x(0)=[10]T，v(0)=[00]T，计算其响应解：由例题5-1可知，该系统的运动微分方程为5.2阻尼系统通过MATLAB函数eig，可以得到固有频率矩阵和正则化模态矩阵把物理坐标下的外激励力转换为模态坐标下的广义激励力5.2阻尼系统可得：把初始条件也表示为模态坐标5.2阻尼系统由模态公式可知，系统的固有频率、阻尼固有频率及阻尼比分别为系统的响应可表示为5.2阻尼系统再利用初始条件所以5.2阻尼系统系统在物理坐标下的完整解例题5-2的计算结果5.3频域分析对于阻尼多自由度系统，假设该系统受到外激励力为f(t)=Fexp(j

t)，其中F为外激励力向量，而激励力频率为

。则该系统的运动微分方程可表示为稳态响应系统的频响函数矩阵5.3频域分析例题5-3在例题5-1中，假设质量块m2受到外激励力f(t)=sin(

t)。计算该系统的稳态响应幅值与外激励力频率

的关系，并绘图表示解：系统的运动微分方程为5.3频域分析由例题5-1可知，该系统的固有频率矩阵和正则化模态矩阵分别为利用把计算得到的固有频率，系统的运动微分方程可解耦为5.3频域分析由式（5-15）可知所以系统的稳态时的模态坐标为5.3频域分析利用式（5-2），可得系统在物理坐标下的稳态解显然，该系统的幅值为5.3频域分析上述计算过程很容易在MATLAB中实现，具体程序如下clearall,closeallwarningoffM=[90;01];K=[27-3;-33];f=[0;1];omega=linspace(0,3,1e3);forn=1:length(omega)wn=omega(n);u=inv(K-M*wn^2)*f;X1(n)=u(1);X2(n)=u(2);endfigure(1)plot(omega,abs(X1),'k','linewidth',2),holdonplot(omega,abs(X2),'k:','linewidth',2)ylim([05])xlabel('激励力频率/(rad/s)')ylabel('|{\itu}|')legend('{\itu}_1','{\itu}_2')5.3频域分析在不同激励频率时的系统响应幅值5.3频域分析注意到系统的固有频率为1.414rad/s和2rad/s（见例题5-1），当激励力频率接近任意一个固有频率时，稳态响应的幅值会迅速增加；当激励力频率等于固有频率时，响应趋于无穷大，此时发生共振图5-3中的另一重要现象为：尽管质量块2存在外激励力，但是在某一特定激励力频率时，其幅值等于0，该频率称为“反共振频率”，这在设计吸振器或者振动控制系统时有重要意义5.3频域分析例题5-4设有一振动系统如图5-5所示，已知m1=m2=1kg，k1=k2=k3=1N/m，c1=c2=c3=c0，外激励力分别为F1(t)=0N，F2(t)

=

cos(

t)N。当c0=0.01Ns/m，0.1Ns/m，0.2Ns/m，0.3Ns/m和0.4Ns/m时，比较该系统在不同激励频率

时的稳态响应5.3频域分析解：该系统的运动微分方程可表示为把已知参数代入可得直接利用式（5-26）可得系统的稳态响应为5.3频域分析在不同激励频率时的质量块1的稳态响应幅值5.3频域分析在不同激励频率时的质量块2的稳态响应幅值5.3频域分析1）与无阻尼系统类似，当外激励频率等于系统任意一个阻尼固有频率时，就会发生共振。2）在阻尼系统中，振动幅值一般会随着频率的增加而降低。所以第一阶固有频率处的振动幅值一般远大于其它高阶固有频率处的幅值。所以在设计具有很多固有频率和模态的多自由度系统时，一般只要考虑前面若干阶对振动起主要贡献的模态即可。大部分情况下，第一阶固有频率、模态最为重要。3）随着阻尼的增加，“反共振频率”现象会消失。5.4状态空间方法状态空间方法可以借助MATLAB软件的强大计算功能，是计算多自由度系统响应的一种简便数值计算方法，计算过程与第4章阐述的自由振动相同例题5-5：通过状态空间方法重新计算例题5-1解：图5-1所示二自由度系统的运动微分方程可表示为5.4状态空间方法引入状态向量则运动微分方程可重新表示为初始条件上述分析可以通过如下MATLAB程序进行编程计算clearallM=[90;01];K=[27-3;-33];Damp=[00;00];F=[0;1];w=3;x0=[0.1;0];v0=[0;0];X0=[x0;v0];[u,t]=gensig('sin',2*pi/w,40,1e-3);

A=[zeros(2)eye(2);-inv(M)*K-inv(M)*Damp];B=[zeros(2,1);inv(M)*[0;1]];C=[1000;0100];D=zeros(size(C,1),size(B,2));sys=ss(A,B,C,D);[y,t]=lsim(sys,u,t,X0);figure(1)plot(t,y(:,1),'k')holdonplot(t,y(:,2),'k:')xlabel('{\itt}/s'),ylabel('{\itx}({\itt})/m')legend('{\itm}_1','{\itm}_2')5.4状态空间方法例题5-5计算结果5.4状态空间方法如果要通过状态空间方法重新计算例题5-2（阻尼系统），可以对该程序稍作修改，即把第4和第7行分别修改为“Damp=0.1*K;”和“x0=[1;0];”。重新运行该程序，即可得到例题5-2的计算结果通过状态空间方法计算例题5-25.5模态分析典型案例振动系统的模态振型、固有频率和阻尼比对结构振动特性具有决定性作用。因此一般把上述三个参数统称为模态参数。模态参数在工程应用中的有重要意义如果获得了振动结构的固有频率，就可以避免共振现象的发生；通过模态参数建立振动结构动态响应的预测模型，用于结构的动强度分析设计；通过模态参数结合响应测量来估计结构的动载荷。5.5.1模态分析实例一一座4层的框架建筑物及其只考虑侧向振动的简化模型如图5-12所示。已知各楼层的质量均为m=4000kg，各层之间框架的质量忽略不计，并且其抗侧移刚度均为k=5

104N/m。5.5.1模态分析实例一该建筑物的动能和势能可分别表示为可得该建筑物的质量矩阵和刚度矩阵5.5.1模态分析实例一通过质量矩阵和刚度矩阵，可以计算得到模态振型对应的固有频率分别为0.1954Hz、0.5627Hz、0.8621Hz和1.