2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.2　2.2.1　直线的点斜式方程

直线的点斜式方程第二章

§2.2

2.2.1学习目标1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点)3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点)射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点P0，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向(斜率k或倾斜角α)，它们与直线上任意一点P有什么关系呢？本节课就来研究这个问题.导语内容索引01020503直线的斜截式方程根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直随堂演练求直线的点斜式方程04课时对点练01求直线的点斜式方程问题1

给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线l，设P(x，y)为直线上异于P0的任意一点，怎么确定P0(x0，y0)，P(x，y)和斜率k之间的关系？问题2提示点P1在直线l上.由问题1可知，直线l上每一个点的坐标(x，y)都满足关系式y-y0=k(x-x0)，若点P1(x1，y1)的坐标也满足关系式y-y0=k(x-x0)，则点P1是否在直线l上？我们把方程

称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的

，简称点斜式.知识梳理y-y0=k(x-x0)点斜式方程(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0.(3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0.(4)建立直线方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式.注意点

(课本例1)直线l经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.

例1解：直线l经过点P0(-2，3)，斜率k=tan

45°=1，代入点斜式方程得y-3=x+2.画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1=-1，则y1=4，得点P1的坐标为(-1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示.

根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(-4，3)，斜率k=3；

例1解：由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4).

根据条件写出下列直线的点斜式方程：(2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°；

例1解：由题意知，直线的斜率k=tan

135°=-1，故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1).

根据条件写出下列直线的点斜式方程：(3)经过点P(5，-2)，且与x轴平行；

例1解：过点P(5，-2)，且与x轴平行的直线，其斜率为0，故所求直线的点斜式方程为y+2=0(x-5).

根据条件写出下列直线的点斜式方程：(4)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点.

例1解：

求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外.

反思感悟02直线的斜截式方程问题3提示由点斜式方程得y-b=k(x-0)，即y=kx+b.直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.1.把直线l与y轴的交点(0，b)的

叫做直线l在y轴上的截距.2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.知识梳理纵坐标b注意点(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点(不与坐标轴重合)时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.

已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等，求直线l的方程.

例2解：由直线的斜截式方程知，直线l1的斜率k1=-2，又因为l∥l1，所以kl=-2.由题意知，l2在y轴上的截距为-2，所以直线l在y轴上的截距b=-2.由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x-2.

本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程.延伸探究1

解：

若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.延伸探究2

解：求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.

反思感悟03根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直

(课本例2)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论：(1)l1∥l2的条件是什么？

例3解：若l1∥l2，则k1=k2，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，若k1=k2，且b1≠b2，则l1∥l2.

(课本例2)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论：(2)l1⊥l2的条件是什么？

例3解：若l1⊥l2，则k1k2=-1；反之，若k1k2=-1，则l1⊥l2.

例3解：

若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2=-1.

反思感悟

(1)当a为何值时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行？跟踪训练

解：

(2)当a为何值时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直？跟踪训练

解：课堂小结1.知识清单：(1)直线的点斜式方程.(2)直线的斜截式方程.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.3.常见误区：求直线方程时忽略斜率不存在的情况；混淆截距与距离.04随堂演练12341.已知直线l的方程为y+2=3(x-1)，则直线l的斜率为A.3 B.2

C.-1 D.-5解析：由直线的点斜式方程，可得k=3.√

1234√12343.若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则有A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b>0 D.k<0，b<0√解析：∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.12344.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=

.解析：由题意可知a·(a+2)=-1，解得a=-1.-105课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案DBDADABCDACDx=1题号91112131516答案DBC1610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112

14.131415161.若倾斜角为45°的直线l过点(-1，1)，则l的方程为A.y=-x

B.y=x+1C.y=x-1 D.y=x+2√答案123456789101112基础巩固131415解析：因为直线l的倾斜角为45°，所以直线l的斜率k=1，由点斜式方程得y-1=x+1，即y=x+2.16

√答案12345678910111213141516√答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516答案123456789101112131415

165.(多选)设点A(-1，0)，B(1，0)，直线y=-2x+b与线段AB相交，则b可能的取值有A.-1 B.0

C.2

D.3√答案12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516解析：b为直线y=-2x+b在y轴上的截距，如图，当直线y=-2x+b过点A(-1，0)和B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，当直线y=-2x+b过点A(-1，0)时，0=-2×(-1)+b，解得b=-2；当直线y=-2x+b过点B(1，0)时，0=-2×1+b，解得b=2，所以b的取值范围是[-2，2]，结合选项知，b可能的取值有-1，0，2.6.在等腰△AOB中，|AO|=|AB|，O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)答案123456789101112131415√16答案12345678910111213141516

7.(多选)已知直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(-3，3)，则直线l斜率k的可能的值是A.-3 B.-1 C.1

D.3答案123456789101112131415√16√√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

8.直线l经过点P(1，-1)，且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍，那么直线l的方程是

.答案123456789101112131415x=1解析：∵直线l经过点P(1，-1)，且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍，直线y=x+2的斜率k=1，倾斜角为45°，∴直线l过点P(1，-1)，倾斜角为90°，∴直线l的方程为x=1.16

答案123456789101112131415

16

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112

解：13141516

答案123456789101112

解：1314151611.已知直线l：y=xsinθ+cosθ的图象如图所示，则角θ是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角答案123456789101112131415综合运用√解析：结合图象易知，sin

θ<0，cos

θ>0，则角θ是第四象限角.1612.(多选)同一平面直角坐标系中，直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a大致位置正确的是答案12345678910111213141516√√答案123456789101112131415解析：因为l1：y=ax+b，l2：y=bx-a，对于A，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，矛盾，故A错误；对于B，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，符合题意，故B正确；对于C，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，符合题意，故C正确；对于D，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b<0，矛盾，故D错误.1613.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成60°角的直线方程为

.答案12345678910111213