2026-2027步步高人教数学选择性必修一同课异构课件第一章　1.4.1　第2课时　空间中直线、平面的平行

第2课时空间中直线、平面的平行第一章1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系<<<1.理解并掌握空间中直线、平面平行的向量表示，能用向量语言描述线线、线面、面面的平行关系.(重点)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理，会用向量方法解决空间图形的位置关系问题.(重点、难点)学习目标上节课，我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素，那么，我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢？如果能的话，应该怎样刻画呢？今天，我们来探究如何用空间向量刻画平行问题.导语一、直线和直线平行二、直线和平面平行三、平面和平面平行随堂演练内容索引直线和直线平行一提示平行.由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？问题1设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔

⇔∃λ∈R，使得u1=

.u1∥u2λu2上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线.

注

意

点<<<

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.例

1

证明

证明证明线线平行的两种思路：(1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明.(2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示.

反思感悟

跟踪训练

1

证明二直线和平面平行提示垂直.如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？问题2设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u___n⇔

.⊥u·n=0(1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)特别强调直线在平面外.

注

意

点<<<

(课本例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？例

2

解

解

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.例

2

证明

证明

证明

证明

在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由.延伸探究

解

解利用空间向量证明线面平行一般有三种方法(1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示.注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外.

反思感悟平面和平面平行三提示平行.如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？问题3设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔

⇔∃λ∈R，使得________.n1∥n2n1=λn2上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面.

注

意

点<<<

(课本例2)证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α.例

3求证：α∥β.

证明

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'.例

3

证明

证明

证明

证明证明面面平行的方法(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.

反思感悟

如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.跟踪训练2

证明

证明1.知识清单：(1)线线平行的向量表示及应用.(2)线面平行的向量表示及应用.(3)面面平行的向量表示及应用.2.方法归纳：坐标法、转化化归.3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略直线不在平面内的条件.随堂演练四1234

√

解析12342.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊄α，能使l∥α的是A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1)C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1)√√若l∥α，则a·n=0.而A中a·n=0，B中a·n=1+5=6，C中a·n=-1，D中a·n=-3+3=0.解析12343.若两个不重合的平面α与β的法向量分别是a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)，则平面α与β的位置关系是A.平行

B.垂直C.相交不垂直

D.无法判断√因为a=(1，0，-2)，b=(-1，0，2)分别是平面α与β的法向量，且a=-b，所以两法向量平行，则平面α与β平行.解析123