经济数学CH7动态最优化：最大值原理

2026/8/301CH8动态最优化

当一国的资本发展变成了一种赌博活动的副产品时，这项活动可能是错误的。——

凯恩斯2026/8/302导论古典数学家使用的动态问题的解法是变分法。这种方法从两条途径得以一般化：第一条是美国数学家贝尔曼在20世纪50年代所发展的动态规划方法。主要适用于离散时间和随机模型。第二条是俄罗斯数学家庞特里亚金在50年代所发展的最优控制的极大值原理。2026/8/303一、典型问题行为者选择或控制一些变量（被称为控制变量），以便在一些约束的限制下最大化一个目标函数。这些约束是动态的，它们描述了以一组状态变量表示的经济状态的持续演进。2026/8/304问题：约束条件：转移方程非蓬齐博弈c(t)是控制变量，k(t)是状态变量。初始条件F(0)是初始时刻的目标函数值。r(T)是在0和T期之间的平均贴现率。T是终端计划时期，可以是有限的，也可以是无限的。目标函数是瞬时幸福函数f(·)在0到T期的积分。幸福函数包括效用函数、利润函数等。转移方程表示控制变量的选择是如何影响状态变量的。非蓬齐博弈表示在计划期结束时所选择的状态变量k(t)贴现后必须为非负。这排除了连环借债或蓬齐(Ponzi)负债方法。2026/8/305二、动态最优化求解步骤1、构造汉密尔顿函数：幸福函数v(·)加拉格朗日乘数乘以转移方程右边的函数。2、汉密尔顿函数对控制变量的导数为零。3、汉密尔顿函数对状态变量的导数等于负的乘子对时间的导数。μ被称为动态拉格朗日乘数或共态变量。表示影子价格，即状态变量的边际价值。该式常被称为欧拉方程2026/8/3064、横截性条件情形1：有限期界。计划期结束时的影子价格和状态变量之积为零。情形2：有贴现的无限期界。情形3：没有贴现的无限期界。横截性条件为米歇尔条件。具体求解：根据第二步、第三步和转移方程可以得到控制变量c(t)和状态变量k(t)的微分方程系统。为了使系统确定，需要两个边界条件：初始条件和终端条件（横截性条件）。2026/8/307充分条件如果函数f(k,c,t)和g(k,c,t)是凹函数，那么满足上述四个条件的（k*,c*）和λ*>0，是最优化问题的极大值。如果是凸函数，则是极小值。经济学中的生产函数和效用函数都是严格凹函数，因此满足充分条件。2026/8/308三、现值和当期汉密尔顿函数1、现值汉密尔顿函数在大多数经济模型中，目标函数被贴现到当前，即0时期。在现值汉密尔顿函数中，影子价格μ表示以0时的效用单位来衡量t时资本存量的价值。2026/8/3092、当期汉密尔顿函数为了方便，有时也会从当期值价格（current-valueprice）来重构这个问题。当期值价格：以t时的效用单位来衡量t时的资本存量的价格。把现值汉密尔顿函数改写为：H=e-ρt[u(k,c)+q(t)g(k,c,t)]其中，q(t)=μ·eρt，为当期影子价格。定义H*=Heρt为当期汉密尔顿函数：H*=u(k,c)+q(t)g(k,c,t)2026/8/3010练习：拉姆齐模型在该模型中，家庭既是消费者也是生产者。生产函数为Y=Kα(AL)β，α+β=1。家庭选择消费使一生的效用最大化。效用函数为对数形式。未来消费的主观贴现率为ρ>0。求解该家庭的最优消费路径。为了求解这个最优化问题，建立现值汉密尔顿函数：H(c,k,t,μ)=e-ρtlog(c)+μ(kα-c-δk)2026/8/3011如果令ρ=0.06，δ=0且α=0.3，那么这个系统就是以前研究过的非线性系统。2026/8/3012