考研数学二强化试卷全套-2022（学霸笔记配套）

考研数学二强化试卷全套_2022（学霸笔记配套）一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.已知函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim_{x\to0}\frac{x^2f(x)-\sinx}{x^3}=-1$，则$f(0)$与$f'(0)$的值分别为（）A.$1$，$-\frac{1}{3}$B.$0$，$-\frac{1}{3}$C.$1$，$\frac{1}{3}$D.$0$，$\frac{1}{3}$解析：由题意，$\lim_{x\to0}\frac{x^2f(x)-\sinx}{x^3}=0$，则$x^2f(x)-\sinx\simCx^3$（$C=-1$），即$x^2f(x)-\sinx\approx-x^3$。两边除以$x^3$得$\frac{f(x)}{x}-\frac{\sinx}{x^3}\to-1$，从而$\frac{f(x)}{x}-\frac{\sinx}{x}\to0$，即$f(x)-\sinx\to0$，故$f(0)=\sin0=0$。再由洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{x^2f(x)-\sinx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2xf(x)+x^2f'(x)-\cosx}{3x^2}$，代入$x=0$得$0-\cos0=3f'(0)$，即$f'(0)=-\frac{1}{3}$。故选B。2.设函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上连续可导，且$f'(x)>f(x)$，若$F(x)=\frac{f(x)}{x}$，则$F(x)$在$(0,+\infty)$上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法判断解析：$F'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$。由$f'(x)>f(x)$，则$xf'(x)-f(x)>0$，故$F'(x)>0$，即$F(x)$单调递增。故选A。3.已知函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，若存在$c\in(a,b)$使得$f'(c)=0$，则称此为罗尔定理。下列说法正确的是（）A.罗尔定理的结论不一定成立B.罗尔定理的结论一定成立C.罗尔定理的条件$f(a)=f(b)$是多余的D.罗尔定理的条件$f'(c)=0$是多余的解析：罗尔定理的结论是：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则必存在$c\in(a,b)$使得$f'(c)=0$。这是拉格朗日中值定理的特例。故选B。4.设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}dt$，则$f'(x)$等于（）A.$\frac{\sinx}{x}$B.$\frac{\cosx}{x}$C.$\frac{\sinx}{1}$D.$\frac{\cosx}{1}$解析：由基本微积分定理，$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$。故选A。5.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则（）A.$f(0)=0$，$f''(0)=1$B.$f(0)=1$，$f''(0)=1$C.$f(0)=0$，$f''(0)=-1$D.$f(0)=1$，$f''(0)=-1$解析：由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，得$f(x)\simx^2$，故$f(0)=0$。再由洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{2x}=\frac{f'(0)}{2}=1$，即$f'(0)=2$。再由洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{2x}=\frac{f''(0)}{2}=1$，即$f''(0)=2$。故选A。6.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\geq0$，则$f(x)$在$[a,b]$上（）A.至少存在一点$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=0$B.单调递增C.必有最大值D.必有最小值解析：由$f'(x)\geq0$，则$f(x)$单调递增。故选B。7.设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f(x)$的极值点为（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.无极值点解析：$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$。令$f'(x)=0$，得$x=e$。当$x\in(0,e)$时，$f'(x)>0$；当$x\in(e,+\infty)$时，$f'(x)<0$，故$x=e$为极大值点。故选A。8.已知函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{\sinx}=2$，则$f'(0)$等于（）A.$2$B.$-2$C.$1$D.$-1$解析：由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{\sinx}=2$，得$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=2$，故$f'(0)=2$。故选A。9.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\geq0$，则$\int_a^bf(x)dx$的几何意义为（）A.曲边梯形的面积B.曲边三角形的面积C.曲边梯形与$x$轴围成的面积D.无法确定解析：由$f'(x)\geq0$，则$f(x)$单调递增，$\int_a^bf(x)dx$为曲边梯形与$x$轴围成的面积。故选C。10.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式为（）A.$x+x^2$B.$x-x^2$C.$x+\frac{x^2}{2}$D.$x-\frac{x^2}{2}$解析：由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，得$f(x)\simx^2$，故$f(x)=x^2+o(x^2)$。泰勒展开式为$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)=0+0\cdotx+\frac{2}{2}x^2+o(x^2)=x^2+o(x^2)$。故选A。二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f'(x)=$________。参考答案：$\sinx^2$。解析：由基本微积分定理，$f'(x)=\sinx^2$。2.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=1$，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=2$，则$f'(0)=$________。参考答案：$2$。解析：由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=2$，得$f'(0)=2$。3.设函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)$的极值点为________。参考答案：$x=1$。解析：$f'(x)=3x^2-6x$。令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。当$x\in(-\infty,0)$时，$f'(x)>0$；当$x\in(0,2)$时，$f'(x)<0$；当$x\in(2,+\infty)$时，$f'(x)>0$，故$x=1$为极大值点。4.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则由罗尔定理，必存在$c\in(a,b)$使得________。参考答案：$f'(c)=0$。解析：由罗尔定理，必存在$c\in(a,b)$使得$f'(c)=0$。5.设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f(x)$在$x=e$处的泰勒展开式为________。参考答案：$1-\frac{(x-e)}{e}+\frac{(x-e)^2}{2e^2}+o((x-e)^2)$。解析：$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，$f''(x)=\frac{\lnx-2}{x^3}$，$f'''(x)=\frac{2-3\lnx}{x^4}$。$f(e)=1$，$f'(e)=0$，$f''(e)=-\frac{1}{e^2}$，$f'''(e)=-\frac{1}{e^3}$。泰勒展开式为$f(x)=f(e)+f'(e)(x-e)+\frac{f''(e)}{2}(x-e)^2+\frac{f'''(e)}{6}(x-e)^3+o((x-e)^3)$$=1+0\cdot(x-e)-\frac{1}{2e^2}(x-e)^2-\frac{1}{6e^3}(x-e)^3+o((x-e)^3)$$=1-\frac{(x-e)}{e}+\frac{(x-e)^2}{2e^2}+o((x-e)^2)$。6.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则$f(x)$在$x=0$处的麦克劳林展开式为________。参考答案：$x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。解析：由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，得$f(x)\simx^2$，故$f(x)=x^2+o(x^2)$。麦克劳林展开式为$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)=0+0\cdotx+\frac{2}{2}x^2+o(x^2)=x^2+o(x^2)$。三、解答题（共6题，共70分）1.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，证明：在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f'(c)=2c\frac{f(c)}{b-a}$。证明：令$F(x)=f(x)(b-a)^2-x^2f(x)$，则$F(a)=F(b)=0$。由罗尔定理，在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$F'(c)=0$。$F'(x)=(b-a)^2f(x)+2xf(x)-2x^2f(x)-xf'(x)$，故$F'(c)=(b-a)^2f(c)+2cf(c)-2c^2f(c)-cf'(c)=0$，即$f(c)[(b-a)^2-2c^2]+cf'(c)=0$，故$f(c)[(b-a)^2-2c^2]=0$。若$f(c)=0$，则$f(c)[(b-a)^2-2c^2]=0$显然成立；若$f(c)\neq0$，则$(b-a)^2-2c^2=0$，即$(b-a)^2=2c^2$，故$c=\frac{b-a}{\sqrt{2}}$，代入$f(c)[(b-a)^2-2c^2]=0$得$f(c)\cdot0=0$成立。故$f'(c)=2c\frac{f(c)}{b-a}$。2.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，证明：在$(0,1)$内至少存在一点$c$，使得$f'(c)=1+\frac{f(c)}{c}$。证明：令$F(x)=f(x)-x-\frac{x^2}{2}$，则$F(0)=F(1)=0$。由罗尔定理，在$(0,1)$内至少存在一点$c$，使得$F'(c)=0$。$F'(x)=f'(x)-1-x$，故$F'(c)=f'(c)-1-c=0$，即$f'(c)=1+c$。故在$(0,1)$内至少存在一点$c$，使得$f'(c)=1+\frac{f(c)}{c}$。3.（10分）设函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上连续可导，且$f(0)=0$，$f'(x)\geq0$，证明：对任意$x\geq0$，都有$\int_0^xf(t)dt\geq\frac{x^2}{2}f(x)$。证明：令$F(x)=\int_0^xf(t)dt-\frac{x^2}{2}f(x)$，则$F(0)=0$。$F'(x)=f(x)-xf(x)-xf'(x)=-xf'(x)$，由于$f'(x)\geq0$，故$F'(x)\leq0$，即$F(x)$单调递减。故对任意$x\geq0$，都有$F(x)\geqF(0)=0$，即$\int_0^xf(t)dt-\frac{x^2}{2}f(x)\geq0$，故$\int_0^xf(t)dt\geq\frac{x^2}{2}f(x)$。4.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，证明：在$(0,1)$内至少存在一点$c$，使得$f'(c)=\frac{f(c)}{1-c}$。证明：令$F(x)=f(x)(1-x)$，则$F(0)=F(1)=0$。由罗尔定理，在$(0,1)$内至少存在一点$c$，使得$F'(c)=0$。$F'(x)=f'(x)(1-x)-f(x)$，故$F'(c)=f'(c)(1-c)-f(c)=0$，即$f'(c)=\frac{f(c)}{1-c}$。故在$(0,1)$内至少存在一点$c$，使得$f'(c)=\frac{f(c)}{1-c}$。5.（15分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\geq0$，证明：对任意$x_1,x