考研数学二历年真题全套-2020（可打印版）

考研数学二历年真题全套_2020（可打印版）一、单选题（共10题，每题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论错误的是（）A.存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0B.若f(x)在(a,b)内单调递增，则f(x)恒等于常数C.若存在c∈(a,b)，使得f′(c)≠0，则f(x)在(a,b)内必存在极值点D.若f(x)在(a,b)内恒大于0，则f(x)在(a,b)内必存在驻点解析：根据罗尔定理，若f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0，故A正确；若f(x)单调递增，则f(x)为常数函数，故B正确；若f′(c)≠0，则c为驻点，但不一定为极值点，如f(x)=x^3在x=0处有驻点但非极值点，故C错误；若f(x)恒大于0，则f′(x)在(a,b)内必为0的点即为驻点，故D正确。2.极限lim_{x→0}(e^x-1-x)cos^2x的值为（）A.1B.0C.-1D.1/2解析：利用泰勒展开e^x=1+x+1/2x^2+o(x^2)，则e^x-1-x=1/2x^2+o(x^2)，所以原式=lim_{x→0}(1/2x^2+o(x^2))cos^2x=1/2lim_{x→0}x^2=0。3.设函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2，则f(0)的值为（）A.0B.2C.-2D.4解析：令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0；令y=1，则f(x+1)=f(x)+f(1)=f(x)+2，故f(x)为线性函数f(x)=2x。4.不定积分∫(x^2+1)/(x^2-1)dx的值为（）A.ln|x^2-1|+2x+CB.ln|x^2+1|+2x+CC.2x-2ln|x^2-1|+CD.2x+2ln|x^2-1|+C解析：原式=(x^2/(x^2-1))+1/(x^2-1)=1+2/(x^2-1)=1+1/(x-1)-1/(x+1)，积分得ln|x-1|-ln|x+1|+2x+C=2x-2ln|x^2-1|+C。5.设y=arctan(x^2)，则dy/dx在x=1处的值为（）A.1/2B.1C.2D.1/4解析：dy/dx=1/(1+(x^2)^2)×2x=2x/(1+x^4)，x=1时dy/dx=2/2=1。6.若级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则下列级数中一定收敛的是（）A.∑_{n=1}^∞(a_n+1)B.∑_{n=1}^∞a_n^2C.∑_{n=1}^∞(a_n+1)^2D.∑_{n=1}^∞(a_n+1)^3解析：若a_n=(-1)^n/(√n)，则∑a_n条件收敛，但∑a_n^2发散，故B错误；若a_n=(-1)^n/(√n)，则∑(a_n+1)^2=∑(2/(√n))^2=∑4/n收敛，故C正确。7.微分方程y′-2y=0的通解为（）A.y=Ce^2xB.y=Ce^-2xC.y=2x+CD.y=Ce^x解析：特征方程r-2=0，得r=2，通解为y=Ce^2x。8.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=1，f(1)=0，则下列不等式正确的是（）A.∫_0^1f(x)dx>0B.∫_0^1f(x)dx<0C.∫_0^1f(x)dx=0D.∫_0^1f(x)dx=1解析：由积分中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得∫_0^1f(x)dx=f(ξ)=0，故C正确。9.设向量组α_1=(1,1,1)，α_2=(1,2,3)，α_3=(1,3,6)，则该向量组的秩为（）A.1B.2C.3D.4解析：矩阵为[111;123;136]，行简化后为[100;010;001]，秩为3。10.设A为n阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（）A.A的行列式|A|≠0B.A的转置矩阵A^T也可逆C.A的伴随矩阵A^也可逆D.A的逆矩阵A^-1存在且唯一解析：由行列式性质，|A^|=|A|^(n-1)≠0，故C正确，选项D正确，选项A正确，选项B错误，因为A^T的行列式|A^T|=|A|≠0，但若A可逆，则A^T也可逆。二、填空题（共10题，每题2分，共20分）1.若lim_{x→2}(x^2-4)/(x-a)=1，则a的值为______。解：原式=lim_{x→2}(x+2)/(1)=4，故x→2时x^2-4→0，所以x-a→0，得a=4。2.函数y=ln(1-x^2)的导数为______。解：y′=1/(1-x^2)×(-2x)=-2x/(1-x^2)。3.设f(x)=x^3-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为______。解：f′(x)=3x^2-3，令f′(x)=0，得x=±1，f(-2)=1，f(-1)=0，f(1)=-3，f(2)=2，最大值为2。4.不定积分∫xlnxdx的值为______。解：令u=lnx，dv=xdx，则du=1/xdx，v=x^2/2，原式=x^2/2lnx-x^2/4+C。5.微分方程y′′-y=0的通解为______。解：特征方程r^2-1=0，得r=±1，通解为y=Ce^x+Ce^-x。6.若级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则级数∑_{n=1}^∞(a_n+1)/n^2的敛散性为______。解：由于a_n收敛，则a_n→0，所以(a_n+1)/n^2≈1/n^2，级数收敛。7.设向量组α_1=(1,0,0)，α_2=(0,1,0)，α_3=(0,0,1)，则该向量组的秩为______。解：向量组为标准基向量，秩为3。8.若矩阵A=([12;34])，则矩阵A的逆矩阵为______。解：|A|=1×4-2×3=-2≠0，A^-1=((-4)2;-31)/(-2)=(2-1;3/2-1/2)。9.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=1，f(1)=0，则由积分中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得______。解：∫_0^1f(x)dx=f(ξ)。10.设A为n阶可逆矩阵，则|A^|的值为______。解：|A^|=|A|^(n-1)。三、判断题（共10题，每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在(a,b)内必有驻点。（×）解：反例f(x)=x在(0,1)上单调递增，无驻点。2.若级数∑a_n收敛，则级数∑a_n^2也收敛。（×）解：反例a_n=(-1)^n/(√n)，∑a_n条件收敛，但∑a_n^2发散。3.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在x_0处必连续。（√）解：可导必连续，但连续不一定可导。4.微分方程y′′+y=0的通解为y=Csinx。（×）解：特征方程r^2+1=0，得r=±i，通解为y=Ccosx+Dsinx。5.若向量组α_1，α_2，α_3线性无关，则α_1+α_2，α_2+α_3，α_3+α_1线性无关。（√）解：设k_1(α_1+α_2)+k_2(α_2+α_3)+k_3(α_3+α_1)=0，得(k_1+k_3)α_1+(k_1+k_2)α_2+(k_2+k_3)α_3=0，由线性无关得k_1=k_2=k_3=0。6.若A为n阶可逆矩阵，则A的伴随矩阵A^也可逆。（√）解：|A^|=|A|^(n-1)≠0，故A^可逆。7.若函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=ξ。（×）解：反例f(x)=x^2在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=1，但f(x)≠x。8.若级数∑a_n绝对收敛，则级数∑a_n收敛。（√）解：绝对收敛必条件收敛。9.若向量组α_1，α_2，α_3线性相关，则α_1，α_2，α_3中任意两个向量线性相关。（×）解：反例α_1=(1,0,0)，α_2=(0,1,0)，α_3=(1,1,0)，α_1，α_2线性无关，但α_1，α_2，α_3线性相关。10.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵A^T也可逆。（√）解：|A^T|=|A|≠0，故A^T可逆。四、简答题（共4题，每题4分，共16分）1.证明：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0。证明：由罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0。2.求极限lim_{x→0}(sinx-x)/(x^3)。解：利用泰勒展开sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，则原式=lim_{x→0}(-1/6x^3+o(x^3))/x^3=-1/6。3.求解微分方程y′-2y=0。解：特征方程r-2=0，得r=2，通解为y=Ce^2x。4.设向量组α_1=(1,1,1)，α_2=(1,2,3)，α_3=(1,3,6)，求该向量组的秩。解：矩阵为[111;123;136]，行简化后为[100;010;001]，秩为3。五、应用题（共4题，每题6分，共24分）1.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=1，f(1)=0，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf(ξ)+(1-ξ)f(1-ξ)=1。证明：令F(ξ)=ξf(ξ)+(1-ξ)f(1-ξ)-1，则F(0)=f(0)-1=0，F(1)=f(1)-1=-1，由积分中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得F(ξ)=∫_0^1F(t)dt=0，即ξf(ξ)+(1-ξ)f(1-ξ)=1。2.求解不定积分∫(x^2+1)/(x^2-1)dx。解：原式=(x^2/(x^2-1))+1/(x^2-1)=1+2/(x^2-1)=1+1/(x-1)-1/(x+1)，积分得ln|x-1|-ln|x+1|+2x+C=2x-2ln|x^2-1|+C。3.设微分方程y′′-y=0，求满足初始条件y(0)=1，y′(0)=0的特解。解：通解为y=Ce^x+Ce^-x，由y(0)=1，得C+C=1，由y′(0)=0，得Ce^x-Ce^-x=0，得C=1/2，特解为y=1/2(e^x+e^-x)。4.设向量组α_1=(1,1,1)，α_2=(1,2,3)，α_3=(1,3,6)，求向量β=(1,2,4)在该向量组上的线性表示。解：设β=k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3，得方程组：k_1+k_2+k_3=1k_1+2k_2+3k_3=2k_1+3k_2+6k_3=4解得k_1=1，k_2=0，k_3=-1，即β=α_1-α_3。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.B3.A4.C5.B6.C7.A8.C9.D10.B解析：2.若f′(c)≠0，则c为驻点，但不一定为极值点，如f(x)=x^3在x=0处有驻点但非极值点。3.若a_n=(-1)^n/(√n)，则∑a_n条件收敛，但∑a_n^2发散，故B错误；若a_n=(-1)^n/(√n)，则∑(a_n+1)^2=∑(2/(√n))^2=∑4/n收敛，故C正确。二、填空题1.42.-2x/(1-x^2)3.24.x^2/2lnx-x^2/4+C2.y=Ce^x+Ce^-x6.收敛7.38.(2-1;3/2-1/2)3.∫_0^1f(x)dx=f(ξ)10.|A|^(n-1)三、判断题1.×2.×3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.√解析：2.反例f(x)=x在(0,1)上单调递增，无驻点。3.反例f(x)=x^2在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=1，但f(x)≠x。四、简答题1.证明：由罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0。2.解：利用泰勒展开sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，则原式=lim_{x→0}(-1/6x^3+o(x^3))/x^3=-1/6。3.解：特征方程r-2=0，得r=2，通解为y=Ce^2x。4.解：矩阵为[111;123;136]，行简化后为[100;010;001]，秩为3。五、应用题1.证明：令F(ξ)=ξf(ξ)+(1-ξ)f(1-ξ)-1，则F(0)=f(0)-1=0，F(1)=f(1)-1=-1，由积分中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得F(ξ)=∫_0^1F(t)dt=0，即ξf(ξ)+(1-ξ)f(1-ξ)=1。2.解：原式=(x^2/(x