2026新教材 第五章 二次函数 4 第2课时 利用二次函数的图象估计一元二次方程的根

第五章二次函数5.4二次函数与一元二次方程第2课时

利用二次函数的图象估计

一元二次方程的根二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.如果交点是整数时，观察图象，可以直接得出对应方程的根.如果交点不是整数，应该如何处理呢？①使用求根公式②通过画图找近似值导入新课高效课堂任务一：探究用图象法估计一元二次方程的近似根的原理请观察二次函数y＝x2＋2x－10的图象(如图)，

能估计它与x轴交点的横坐标吗？能不能直接从图象中看出二次函数y＝x2＋2x－10

与x轴交点的坐标？不能直接看出，只能估计，一个点在(－5，0)和

(－4，0)之间；一个点在(2，0)和(3，0)之间.高效课堂二次函数y＝x2＋2x－10与x轴交点的横坐标具有什么意义呢？它们刚好是一元二次方程x2＋2x－10＝0的两个根，因此可以估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的两个根分别在－5和－4之间，2和3之间.利用函数图象来估计一元二次方程的根的近似值，这种方法可以适用于某些无法计算的一元二次方程.比如一元二次方程x2－x＋4＝0，可以画出二次函数y＝x2－x＋4的图象，观察它与x轴的交点情况.高效课堂任务二：小组合作探索估计一元二次方程的近似根的方法能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？(结果精确到0.1)(1)先求－5与－4之间的根，借助计算器进行探索：因为当x＝－4.3时，y＝－0.11比x＝－4.4时，y＝0.56更接近0，所以取x＝－4.3作为一元二次方程x2＋2x－10＝0的一个近似根.因此，一元二次方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间精确到0.1的根为x＝－4.3.如图.高效课堂如果需要将结果精确到百分位，只需继续取x＝－4.31，x＝－4.32等数值，重复前面的过程即可.高效课堂(2)用类似的方法求出另一个根：同理(如图)，x＝2.3是方程的另一个近似根.高效课堂利用二次函数的图象估计一元二次方程的近似根的步骤：(1)画出二次函数的图象.(2)观察二次函数的图象与x轴交点的横坐标的范围，从而确定对应的一元二次方程根的大致范围.通过取区间中点的方法缩小根的范围，再将新区间等分，计算出区间端点处对应的函数值，找到函数值由正变为负(或由负变为正)的区间，对应的两个自变量x就是根的更小范围.(3)确定一元二次方程的近似根，使y＝ax2＋bx＋c的函数值更接近0的x，即为ax2＋bx＋c＝0的近似根.简单来说，就是观察图象—确定范围—计算逼近—得出近似值.高效课堂高效课堂任务三：方法迁移，思维探索如何利用如图所示的二次函数图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根？方法一：可以将一元二次方程x2＋2x－10＝3变形为x2＋2x－13＝0；观察二次函数的图象可知，一元二次方程有两

个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间.用刚才的办法找出一元二次方程的一个近似根

是x＝－4.7，另一个近似根是x＝2.7高效课堂还能利用二次函数y＝x2＋2x－10的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根吗？方法二：y＝x2＋2x－10和直线y＝3交点的横坐标就是一元二次方程x2＋2x－10＝3的根.在同一平面直角坐标系里画出直线y＝3.由图象可知，一元二次方程x2＋2x－10＝3有两个根，一个根在－4.5和－5之间，另一个根在2.5和3之间.再用所学方法求出一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根是x1＝－4.7，x2＝2.7.高效课堂如果没有函数图象，能求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根吗？方法三：先画函数y＝x2＋2x的图象，再画直线y＝13的图象，观察交点的横坐标.方法四：先画函数y＝x2的图象，再画y＝－2x＋13的图象，观察交点的横坐标.得出结果：x1≈2.7，x2≈－4.7.高效课堂高效课堂任务四：函数与方程关系的再认识一次函数与二元一次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系，这两者在研究内容和研究方法方面有什么异同？高效课堂共性：(1)表达形式都可以转换，例如，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数的表达形式；(2)解与图象：方程的每一个解都对应图象上的每一个点；(3)两个一次函数的交点坐标可以看成二元一次方程组的解，同理，二次函数与x轴交点的横坐标可以看成一元二次方程的解.这两组关系共同构成了中学数学数形结合思想的基石.高效课堂不同：一次函数的图象为直线，对应二元一次方程的一组解；二次函数的图象为抛物线，对应一元二次方程的0~2个根，涉及开口方向、顶点等复杂的特性，二者在具体表现形式的复杂度上存在明显差异.课堂评价BC课堂评价