【《谐振器体模态杆件模型分析案例》4700字】

谐振器体模态杆件模型分析案例目录TOC\o"1-3"\h\u5141谐振器体模态杆件模型分析案例 118101.1纵向振动杆热弹性阻尼模型 15451.2纵向振动杆仿真 3302251.3空洞对杆谐振器品质因子影响 91.1纵向振动杆热弹性阻尼模型在谐振器件工作过程中,谐振器必须以期望的频率持续振动，并尽可能少地需要能量来维持其振动。这些特征可以用谐振器的品质因子来表征。品质因子的定义一般为：（1）其中Etotal和ΔE分别是每个周期存储的总能量和耗散的能量。ω0是系统的固有频率，ξ是阻尼比。谐振频率一定的情况下能量耗散较低则品质因子较高。因此，可以通过考虑减少能量耗散来获得高品质因子谐振器。然而，谐振器的能量耗散机理有多种形式，不能仅用一个因素来指定。谐振器的品质因子可以用以下形式表示：（2）当微机械谐振器运行于室温或真空条件时，热弹性阻尼被认为是最主要的能量耗散方式之一，系统也会因此存在一个品质因子值的上限。所以微机械谐振器在真空中工作时主要考虑热弹性阻尼（1/QTED）。热弹性阻尼是由热弹性材料中的不可逆热流引起的能量耗散,当微纳机械谐振器件振动时,材料内部必然会产生应变场,其中受挤压的部分温度升高,受拉伸的部分温度下降,产生的温度梯度使不可逆热流从温度高的部分流向温度低的部分,此过程在谐振器振动时不断重复，从而产生系统的固有能量耗散。1937年,Zener[11]首先强调了振动结构热弹性阻尼的重要性，是第一位提出热弹性阻尼概念的科学家，他提出了简单梁模型质量因素的解析表达式，建立并发展了热弹性阻尼理论,并应用经典傅里叶热传导理论,给出了品质因子的表达式,即:（3）式中,Cp为比热容，ρ为密度,E为杨氏模量,α为线性热膨胀系数,T0为谐振器温度,ω为振动频率,τ为弛豫时间。Zener所提出的理论对于在弯曲模式下振动的薄矩形梁模型是有效的。Lifshitz和Roukes[12]还利用显式计算的光束热分布，在经典的热弹性理论的背景下，基于一维模型研究了矩形截面梁谐振器弯曲振动的热弹性阻尼，并给出了热弹性阻尼和频移的明确表达式：（4）式中,，h为梁的厚度,ρ为密度,Cv为定体积比热,κ为热导率。他们研究发现微梁谐振器件的品质因子会随着微梁尺寸的变化呈现不规则分布。然而上述表达式都是对弯曲模态的热弹性阻尼进行的研究，纵向振动模式杆的热弹性阻尼模型才是体模态谐振器模型。纵向振动的热弹性阻尼过程与弯曲振动的过程相似，因为能量是通过热量从热区到冷区的不可逆流消散的。区别在于，在弯曲振动中，这些区域之间的距离由谐振器的横向几何形状决定，而在纵向振动中，沿设备的轴向，在特定的振动模式下，热区域和冷区域被节点分开。在弯曲振动中，机械能主要通过沿厚度方向的热传导而耗散并且由于弹性膨胀沿厚度方向线性地变化，因此可以容易地得出沿厚度方向的温度分布。相反，在纵向振动中，能量通过沿轴向的热传导而耗散，并且温度分布不能单独求解。因此，无法使用上述表达式的程序来获得纵向振动的热弹性阻尼的明确表示。Landau和Lifshitz[23]推导了在绝热假设下杆和板纵向振动的热弹性阻尼系数，通过寻找耗散的振动能量来推导由热弹性耦合效应产生的能量耗散表达式，给出了绝热条件下各向同性物体热弹性阻尼表达式为：（5）WeijianJiao[24]等利用热能法分析两端固定纵向振动模式下杆谐振器的热弹性阻尼,给出了绝热条件下纵向振动模式的热弹性阻尼表达式：（6）2016年，李立[25]等用非局部应变梯度理论研究尺寸相关杆的纵向振动，给出了纵向振动杆的固有频率ω表达式，其中悬臂杆固有频率ω表达式为：（7）两端固定杆固有频率ω表达式为：（8）一阶振型下上述公式可简化为：纵向振动悬臂杆：（9）纵向振动两端固定杆：（10）将式（9）、（10）代入式（5）、（6）后便可以得到纵向振动杆热弹性阻尼Landau–Lifshitz模型与热能法模型解，同时谐振频率可以由f=ω/（2π）计算得到。1.2纵向振动杆仿真1.2.1模型建立与仿真过程本文使用COMSOL进行热弹性阻尼仿真，在COMSOL中新建三维模型，选择热弹性物理接口，进行特征频率研究，在全局定义中添加材料参数（如表3-1所示），其中由于杆纵向振动，视为一维体模态工作状态，此时取泊松比μ为0。在几何中建立圆柱体，由于在仿真过程中发现模型横截面形状与面积大小不影响纵向振动杆热弹性阻尼大小，所以取圆柱体底面半径为圆柱体长度的1/20，在热弹性物理场中给杆端面施加固定约束，对整个杆模型施加指定位移约束，限制其只能沿纵向振动，使用物理场控制网格，网格划分见下图3-1，网格自由度数229426，进行特征频率研究。表3-1材料参数材料属性数值杨氏模量E（GPa）169热膨胀系数α（K-1）2.59e-6材料密度ρ（kg/m3）2330等压比热容Cp（J/（kg·K））713导热系数K（W/（m·k））159泊松比μ0图3-1网格划分图研究结束后，在派生值中建立全局计算，显示品质因子、热弹性阻尼、角频率等结果，并与Landau–Lifshitz模型与热能法模型解对比，同时可以得到其体模态工作模态下温度偏差图、总温度图与振型图，另外COMSOL还可以生成模型振动动画。1.2.2纵向振动两端固定杆由于Landau–Lifshitz模型与热能法模型都是基于两端固定纵向振动杆推导出的，所以先用不同长度两端固定杆进行COMSOL仿真，结果如下表3-2所示。其中Landau–Lifshitz模型与热能法模型解由MATLAB计算得出。图3-2显示了5e-7m的纵向振动两端固定杆总温度图，图3-3显示了5e-7m的纵向振动两端固定杆振型图。在MATLAB中输入各长度下模型结果，可以得到不同长度下Landau–Lifshitz模型与热能法模型解与COMSOL仿真解对比，如图3-3显示。表3-2两端固定杆热弹性阻尼与长度关系长度（m）特征频率仿真值（HZ）特征频率计算值（HZ）仿真品质因子Q-1Landau–Lifshitz模型解热能法模型解0.5e-78.5171e108.5166e109.3312e-51.3973e-49.3245e-51e-74.2587e104.2583e106.2181e-56.9867e-56.2124e-51.5e-72.8391e102.8389e104.4176e-54.6578e-54.4133e-52e-72.1294e102.1291e101.3911e-51.4934e-51.3878e-52.5e-71.7035e101.7033e102.7427e-52.7947e-52.7401e-53e-71.4196e101.4194e102.2994e-52.3289e-52.2971e-51.5e-71.2168e101.2167e101.9780e-51.9962e-51.9761e-54e-71.0647e101.0646e101.7349e-51.7467e-51.7332e-54.5e-79.4638e99.4629e91.5446e-51.5526e-51.5431e-55e-78.5174e98.5166e91.3918e-51.3973e-51.3904e-5图3-2纵向振动的两端固定杆总温度图（长度5e-7m）图3-3纵向振动的两端固定杆振型图（长度5e-7m）图3-4纵向振动两端固定杆热弹性阻尼与长度关系以上结果表明在对纵向振动两端固定杆的热弹性阻尼预测上，在杆谐振器长度尺寸较小时，热能解模型的精确性要高于Landau–Lifshitz模型，与COMSOL仿真结果拟合度高，在谐振器长度扩大后，两种模型的解将趋于一致，同时长度在大于0.5e-7m后，纵向振动两端固定杆热弹性阻尼随长度增大而减小。1.2.3纵向振动悬臂杆虽然Landau–Lifshitz模型与热能法模型都是基于两端固定纵向振动杆推导出的，但是在对纵向振动悬臂杆进行COMSOL仿真时发现在长度尺寸扩大到一定数值后，上述两种模型同样能较好地与仿真结果拟合，即在悬臂杆长度达到一定条件的情况下，这两种模型同样能用于描述纵向振动悬臂杆的热弹性阻尼模型与长度的关系。下表3-3与表3-4分别显示了纵向振动悬臂杆长度在0.5e-7至5e-7与10e-7至100e-7之间COMSOL仿真与两种模型解的结果对比。图3-5、7则是用MATLAB对表中数据更直观的展示。图3-6显示了长度为5e-7m的纵向振动悬臂杆总温度图，图3-8显示了长度为5e-7m的纵向振动两端固定杆振型图。表3-3悬臂杆热弹性阻尼与长度关系长度（m）特征频率仿真值（HZ）特征频率计算值（HZ）仿真品质因子Q-1Landau–Lifshitz模型解热能法模型解0.5e-74.0587e104.2583e101.7090e-56.9867e-56.2124e-51e-72.1293e102.1291e101.7307e-51.4934e-51.3878e-51.5e-71.4196e101.4194e101.4411e-52.3289e-52.2971e-52e-71.0647e101.0646e101.1968e-51.7467e-51.7332e-52.5e-78.5174e98.5166e91.0155e-51.3973e-51.3904e-53e-77.0978e97.0972e98.7992e-61.1645e-51.1604e-51.5e-76.0839e96.0833e97.7576e-69.9811e-69.9557e-64e-75.3234e95.3229e96.9354e-68.7334e-68.7165e-64.5e-74.7319e94.7314e96.2707e-67.7631e-67.7511e-65e-74.2587e94.2583e95.7227e-66.9867e-66.9780e-6表3-4悬臂杆热弹性阻尼与长度关系长度（m）特征频率仿真值（HZ）特征频率计算值（HZ）仿真品质因子Q-1Landau–Lifshitz模型解热能法模型解10e-72.1294e92.1291e91.0631e-61.4934e-61.4923e-620e-71.0647e91.0646e91.5979e-61.7467e-61.7466e-630e-77.0979e87.0972e81.0842e-61.1645e-61.1644e-640e-75.3234e85.3229e88.2153e-78.7334e-78.7333e-750e-74.2587e84.2583e86.6176e-76.9867e-76.9867e-760e-71.5489e81.5486e85.5425e-75.8223e-75.8222e-770e-71.0419e81.0416e84.7693e-74.9905e-74.9905e-780e-72.6617e82.6614e84.1861e-74.3667e-74.3667e-790e-72.3660e82.3657e81.7305e-71.8815e-71.8815e-7100e-72.1294e82.1291e81.3648e-71.4934e-71.4934e-7图3-5纵向振动悬臂杆热弹性阻尼与长度关系图3-6纵向振动的悬臂杆总温度图（长度5e-7m）图3-7纵向振动悬臂杆热弹性阻尼与长度关系图3-8纵向振动的悬臂杆振型图（长度5e-7m）上述结果表明热能解模型与Landau–Lifshitz模型在对纵向振动悬臂杆的热弹性阻尼预测上，在杆谐振器长度尺寸较小时，精度不高，与COMSOL仿真结果拟合度低，同样的在谐振器长度扩大后，两种模型的解将趋于一致，如表3-4所示，在杆长度大于60e-7m时，两种模型计算解结果一致，同时长度扩大后，两种模型对纵向振动悬臂杆的热弹性阻尼预测精度提高，此时这两种模型可以用于预测体模态谐振器的热弹性阻尼。1.3空洞对杆谐振器品质因子影响谐振器微结构特征（空洞）的空间分布对其频率、品质因子和灵敏度存在影响，在谐振器振动过程中，空洞的存在会造成空洞附近轮廓扭曲，增加了能量耗散，但是在合适的位置安放空洞可以有效阻隔热弹性阻尼不可逆热流，又可以起到一定的减少能量耗散的作用，所以有可能通过合理放置空洞的方式来提高谐振器品质因子。由于相对于悬臂杆，两端固定杆的结构更稳定，且具有对称性，便于研究空洞对谐振器的影响，所以下面就是在纵向振动两端固定杆谐振器上放置不同位置、不同尺寸、不同数量的空洞，使用COMSOL仿真研究空洞对热弹性阻尼与频率的影响，寻找可能的提高品质因子的方式，为设计高品质因子的体模态谐振器提供参考。1.1.1不同位置空洞的影响仿真模型取长度为5e-7m，底面半径为2.5e-8m的杆，建立如图3-9坐标系。由于研究对象为两端固定杆具有对称性，所以分别在x坐标为0.5e-7、1e-7、1.5e-7、2e-7、2.5e-7处打一个半径为1.25e-8的孔，使用物理场控制网格网格，材料参数不变，设置好约束后得到计算结果如表3-5所示。图3-9杆谐振器坐标图（长度5e-7m底面半径2.5e-8m）表3-5不同位置空洞对频率、品质因子的影响空洞x坐标（m）特征频率（GHZ）品质因子Q无空洞8.5174718490.5e-77.9778678791e-78.1717698571.5e-78.4138736072e-78.6342784862.5e-78.728181113由结果分析得出，空洞的存在对两端固定杆谐振器的特征频率与品质因子都有影响，且由COMSOL分析后发现，空洞位置对谐振器温度分布与振型也有一定影响，不过影响较小。由表3-5可得，合理地安排空洞的位置可以有效地提高谐振器特征频率与品质因子Q，且当空洞位于杆中间位置时其特征频率与品质因子可以达到最大值，这为通过设计空洞提高谐振器性能提供了一定参考。1.1.2不同尺寸空洞的影响上文研究了空洞位置对两端固定纵向振动杆的影响，并且发现空洞在杆中间时对谐振器频率与品质因子提升最明显，所以在研究不同尺寸空洞对杆谐振器的影响时将空洞放置在杆中间位置，改变其尺寸，结果如表3-6所示。表3-6不同尺寸空洞对频率、品质因子的影响空洞半径（m）特征频率（GHZ）品质因子Q无空洞8.5174718490.5e-88.5514732910.75e-88.5938751491e-88.6528777851.25e-88.7281811131.5e-88.8192848591.75e-88.9252885222e-89.044491379COMSOL仿真结果表明空洞半径改变对谐振器温度分布与振型影响极小。由表3-6可知，当空洞位于杆谐振器中间位置时，随着空洞尺寸扩大，两端固定纵向振动杆谐振器的特征频率与品质因子也随之扩大，所以设计时可以通过扩大该处孔的半径来获得具有更优越性能的谐振器，但同时需要注意但是，空洞尺寸扩大会导致谐振器结构刚度下降，所以需要合理考虑空洞尺寸大小。1.1.3不同数量空洞的影响下面考虑空洞数量对两端固定纵向振动杆谐振器频率与品质因子的影响，由于上文已经研究发现空洞的位置与