2025下半年中学教师资格证《数学学科知识与教学能力》试卷真题附答案

2025下半年中学教师资格证《数学学科知识与教学能力》试卷真题附答案2025年下半年中小学教师资格考试（中学）数学学科知识与教学能力试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。当x→0时，下列函数与sin3x2为等价无穷小的是（）

A.3xB.3x2已知三阶矩阵A的三个特征值为1,2,0，则伴随矩阵A*的秩r(A*)为（）

A.0B.已知平面π1:2x−y+3z−5=0，平面已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则E(3X−2)的值为（）

A.2B.3C.下列函数在定义域内既是奇函数又是单调增函数的是（）A.y=exB.y=x3+2xC.yA.数学抽象B.模型思想C.逻辑推理D.数据分析已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3下列关于形成性评价的表述，错误的是（）A.旨在了解学生学习进展，诊断学习中存在的问题B.一般在教学活动开展过程中实施C.结果可用于调整教学进度、优化教学方法D.核心目的是评定学生学业等级，作为升学选拔依据二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）计算定积分0π已知向量组α1=(已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，求该三棱锥外接球的体积。简述中学数学教学中开展探究式学习的意义。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，简述“数与代数”领域的学段划分及各学段核心内容要求。三、解答题（本大题1小题，10分）已知函数，完成下列问题：

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间上的最大值为3，求的值。

四、论述题（本大题1小题，15分）f(x)=结合中学数学学科特点，论述教学中如何落实“立德树人”根本任务。五、案例分析题（本大题1小题，20分）案例：某初中数学教师在讲授“一元一次方程的应用”新授课时，出示了如下例题：某服装店销售一款外套，标价为240元，若按标价的8折出售仍可获利20%，求这款外套的进价。

教师请学生甲上台板演，学生甲列出算式：240×0.8÷(1+20%)=160（1）分析该教师教学行为存在的不足；（10分）（2）如果你是该教师，会如何处理学生甲的回答？（10分）六、教学设计题（本大题1小题，30分）下面是人教版高中数学必修第二册“正弦定理”的核心内容：在任意△ABC中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即asinA=bsinB=c（1）确定本节课的教学目标；（8分）（2）设计本节课的教学重难点；（6分）（3）设计一个探究正弦定理生成过程的教学片段，要求体现师生互动，落实数学核心素养培育要求。（16分）参考答案及解析一、单项选择题【答案】B。解析：等价无穷小的定义为limx→0sin3x2g(x)【答案】B。解析：三阶矩阵A的特征值为1,2,0，则|A|=1×2×0=0，且非零特征值的个数为2，故【答案】C。解析：平面π1的法向量为n1=(2,−1,【答案】C。解析：泊松分布的期望E(X)=λ【答案】B。解析：A选项y=ex为非奇非偶函数；C选项y=tanx在定义域内为周期函数，不是整体单调增函数；D选项y=x12的定义域为【答案】B。解析：高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六项，模型思想属于义务教育阶段数学核心素养的内容。【答案】A。解析：双曲线离心率e=ca=3，故c=3a，由【答案】D。解析：形成性评价属于过程性评价，核心目的是诊断学习问题、调整教学，评定学业等级、作为升学选拔依据是终结性评价的功能。二、简答题【参考答案】用分部积分法求解：设u=x，dv=sinxdx，则du=dx，v=−cos向量组线性相关等价于向量组构成的矩阵的秩小于向量个数，即三阶行列式的值为0：1232353正三棱锥底面为正三角形，其外接圆半径r=23×32×2=233。

设正三棱锥的高为h，由侧棱长为6得h=(6)2−r2①落实学生主体地位，激发学习主动性：探究式学习以学生的自主探究活动为核心，能充分调动学生的学习兴趣，改变被动接受知识的学习模式。②深化知识理解，掌握数学研究方法：学生经历猜想、验证、推理的完整过程，能把握数学知识的生成逻辑，掌握类比、归纳、演绎等数学研究方法。③培育核心素养，提升综合能力：探究过程能有效发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，提升问题意识和创新能力。④增强合作意识，培育科学精神：小组探究的模式能提升学生的合作交流能力，帮助学生形成实事求是的科学态度和严谨的思维习惯。【参考答案】《义务教育数学课程标准（2022年版）》将义务教育分为四个学段，“数与代数”领域各学段核心内容如下：①第一学段（1-2年级）：核心内容为数的认识（认识万以内的数、简单的分数和小数）、数的运算（百以内的加减乘除运算）、常见的量（认识时间单位、人民币单位）。

②第二学段（3-4年级）：核心内容为整数、小数、分数的四则运算，理解运算律，认识常见的数量关系（总价=单价×数量、路程=速度×时间）。

③第三学段（5-6年级）：核心内容为认识负数、有理数，掌握代数式的初步认识，学习简单的方程、正比例和反比例，形成数感和符号意识。

④第四学段（7-9年级）：核心内容为实数、代数式、方程与不等式、函数四大模块，要求能运用数与代数的知识解决实际问题，发展运算能力和模型观念。

三、解答题

14.【参考答案】（1）对f(x)求导得f′(x)=3x2−3a=3(x2−a)：

①当a≤0时，f′(x①当时，在上单调递增，最大值为，令得，与矛盾，舍去；

②当时，，在上单调递减，在上单调递增，端点值，，极小值，故最大值为，解得，即，符合的条件；

③当时，，在上单调递减，最大值为，不符合要求，舍去。

综上，的值为1。

四、论述题

15.【参考答案】a≤0f(x)[0,2]f(2)=8−6a+1=9中学数学教学落实立德树人根本任务，要结合学科特性，从德育渗透、素养培育、活动设计、评价改革四个维度推进：第一，挖掘数学学科德育内涵，厚植爱国主义情怀与科学精神。一方面要融入数学文化与中国数学史教育，比如讲解圆周率时介绍祖冲之的研究成就，讲解拓扑学时介绍我国数学家吴文俊的贡献，讲解应用数学时介绍我国北斗导航、高铁建设中的数学应用案例，增强学生的民族自豪感与文化自信；另一方面要渗透理性精神教育，通过数学证明、逻辑推理的训练，培养学生实事求是、严谨求实的科学态度，树立正确的价值观。第二，结合数学核心素养培育，提升学生思维品质与社会责任。将立德树人融入核心素养培育的全过程：在逻辑推理教学中培养学生的规则意识与辩证思维；在数学建模教学中设计贴近社会现实的问题，比如让学生用统计方法分析本地空气质量数据、乡村振兴的农户收入数据，引导学生关注社会现实，增强社会责任感；在数学运算教学中培养学生的耐心与细致的品格。第三，优化教学活动设计，凸显学生主体地位，培育合作与创新意识。设计探究式、项目式学习活动，比如开展“校园建筑高度测量”“本地交通流量优化设计”等实践项目，让学生在自主探究、小组合作解决问题的过程中，提升实践能力、合作意识与创新精神，引导学生树立正确的学习观，避免“唯分数”的功利化学习倾向。第四，完善多元评价体系，关注学生全面发展。改变以纸笔考试为唯一评价标准的模式，构建过程性评价与结果性评价相结合的多元评价体系，评价内容不仅关注学业成绩，还要关注学生的学习态度、探究贡献、合作表现、创新思维等，设置“探究之星”“合作贡献奖”等多元化奖项，发挥评价的育人导向功能，引导学生实现全面发展。五、案例分析题【参考答案】（1）该教师的教学行为存在以下四点不足：①违背以生为本的教学理念，未尊重学生的主体地位。直接否定学生甲的算术解法，没有认可学生的思考成果，严重打击了学生的学习积极性与自信心，容易引发学生的挫败感。②忽视算法多样性的教学价值，限制学生思维发展。强制要求学生必须使用方程法，否定算术法的合理性，不利于学生发散思维与创新意识的培养，违背了“不同的学生在数学上得到不同发展”的教学理念。③未搭建新旧知识的衔接桥梁，不利于新知同化。算术法是学生已有的知识经验，方程法是本节课的新知，教师没有引导学生对比两种方法的联系与区别，没有帮助学生理解方程法“顺向思维”的本质，学生难以实现新旧知识的同化，无法真正掌握方程法的应用逻辑。④评价方式片面，未发挥评价的诊断与激励功能。仅以是否符合预设教学内容作为评价的唯一标准，没有关注学生的思维过程，无法诊断学生的认知水平，也无法发挥评价的激励作用。（2）如果我是该教师，会按以下流程处理学生甲的回答：①首先肯定学生的解法：“甲同学的计算完全正确，能熟练用算术法解决利润问题，逻辑非常清晰，值得表扬。”先认可学生的思考成果，保护学生的学习积极性。②引导学生对比思考：“你能不能给大家讲一讲你列这个算式的时候，是怎么找等量关系的？如果我们把要求的进价设为未知数x，你能不能把你刚才的思考过程用含有x的等式表示出来？”引导学生从算术法自然过渡到方程法，搭建新旧知识的衔接桥梁。

③组织全班对比分析：待学生甲列出方程后，引导全班对比算术法和方程法的差异：“大家看，算术法是从已知条件倒推结果，属于逆向思维，而方程法是把未知量和已知量放在平等的位置，根据等量关系直接列式，属于顺向思维，大家觉得哪种方法在解决复杂数量关系的问题时更便捷？”帮助学生理解方程法的优势，深化对新知的理解。④肯定学生的贡献：“今天我们能清晰对比两种方法的区别，找到方程法的优势，多亏了甲同学提供的不同思路，大家给他鼓鼓掌。”发挥评价的激励功能，引导学生形成尊重不同思路的学习氛围。六、教学设计题【参考答案】（1）教学目标：①知识与技能目标：学生能准确表述正弦定理的内容，掌握向量法、面积法两种以上的正弦定理证明方法，能运用正弦定理解决“已知两角及一边”“已知两边及其中一边的对角”两类解三角形问题。②过程与方法目标：经历“实际情境抽象—猜想—探究证明—应用拓展”的正弦定理生成过程，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象核心素养。③情感态度与价值观目标：体会正弦定理的对称美与实际应用价值，激发数学探究兴趣，树立用数学知识解决实际问题的意识。（2）教学重难点：教学重点：正弦定理的内容、证明方法及基本应用；教学难点：正弦定理的推导过程，以及“已知两边及其中一边的对角”解三角形时解的个数判断。（3）探究教学片段：【情境引入，提出问题】师：同学们，我市文旅局要测量本地云台山主峰的海拔，测绘人员在山脚的A、B两个观测点测得主峰顶端C的仰角分别为30°和45°，测得A、B两点的距离为1000米，已知A点的海拔为120米，我们能不能不用爬上山，就算出主峰的海拔？大家先试着把这个问题转化为数学模型。（学生思考后画出三角形模型：△ABC中，∠CA【操作猜想，归纳规律】师：大家在草稿本上画一个Rt△ABC，∠C=90°，分别写出三个角的正弦值，看看边和对角的正弦有什么关系？

生：sinA=ac，（学生分组操作，测量计算后反馈：三个比值近似相等）师：大家都发现了，任意三角形中，各边和它对角的正弦的比值都是相等的，这就是我们今天要探究的正弦定理。不过测量存在误差，我们需要用严谨的数学方法证明这个结论。【合作探究，证明定理】师：大家回忆一下，我们学过哪些和三角形的边、角相关的知识？能不能用向量的数量积或者三角形面积的方法证明这个结论？给大家5分钟时间分组探究。（学生分组讨论，教师巡视指导，针对思路受阻的小组提示“向量投影的大小和三角形的高有什么关系？”“三角形的面积可以用两边及夹角怎么表示？”）师：好，哪个小组愿意上台展示你们的证明方法？生1（展示锐角三角形的向量法证明）：我们用向量投影的方法，在锐角△ABC中，过A作垂直于AB的单位向量j，则AC在j方向上的投影等于AB和BC在j方向上的投影之和，即bcos(90°−生2（展示面积法证