第2章　第1讲　函数的概念及其表示

第一讲函数的概念及其表示知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[6]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一函数的概念概念一般地，设A，B是非空的__________，如果对于集合A中的________________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域______的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}实数集任意一个数x唯一x知识点二同一个函数1．前提条件：(1)定义域________；(2)对应关系________.2．结论：这两个函数为同一个函数．知识点三函数的表示法表示函数的常用方法有__________、图象法和列表法．相同相同解析法知识点四分段函数1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．2．分段函数表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的________.并集归

纳

拓

展1．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.[延伸]

2．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(2)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．(

)(3)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×题组二走进教材2．(必修1习题3.1T2改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(

)[答案]

B3．(多选题)(必修1P72T1改编)下列所给图象是函数图象的是(

)[答案]

CD[解析]

由函数概念知，题图A、B均不是函数图象，C、D是函数图象．4．(多选题)(必修1习题3.1T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下描述正确的是(

)A．函数f(x)的定义域为[－4，4)B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应[答案]

BD[解析]

由图象得此函数定义域为[－4，0]∪[1，4)，值域为[0，

＋∞)，在定义域内不具备单调性，当y∈(5，＋∞)时都有唯一的x与之对应．因此，A、C不正确．故选BD．题组三走向考场[答案]

(－∞，0)∪(0，1]A．0 B．1C．2 D．3[答案]

B[解析]

将x＝－1代入,得到f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0，所以f[f(－1)]＝f(0)，将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln1＝1.因此，f[f(－1)]＝f(0)＝1.故选B．考点突破·互动探究求函数的定义域——多维探究角度1求具体函数的定义域A．[1，4] B．[1，4)C．[1，＋∞) D．[2，4)[答案]

B角度2求抽象函数的定义域1．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(

)[答案]

B[答案]

B[答案]

D名师点拨：函数定义域的求解策略1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.3．抽象函数(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【变式训练】A．[－2，2] B．(－1，2]C．(－1，0)∪(0，2] D．(－1，1)∪(1，2][答案]

C[答案]

[0，2][答案]

C求函数的解析式——师生共研已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式．(1)f(1－sinx)＝cos2x；[解析]

(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]．即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．∴f(x)＝x2－2(x≥2)．(3)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f[f(x)]＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，名师点拨：求函数解析式的四种方法2．已知一次函数f(x)满足f[f(x)－2x]＝3，则f(x)＝________.[答案]

2x＋13．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝________.分段函数及应用——多维探究角度1分段函数求值问题A．－3 B．－2C．－1 D．0[答案]

B[解析]

因为f(x)为奇函数，g(－3)＝－g(3)＝－(log33－2)＝1，∴f[g(－3)]＝－2.故选B．角度2分段函数与方程[答案]

C角度3分段函数与不等式A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)[答案]

B名师点拨：分段函数问题的求解策略1．分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．2．分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．[答案]

DA．－3 B．－1C．1 D．3[答案]

A[解析]

∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.[答案]

(1，＋∞)名师讲坛·素养提升函数值域的求法求函数值域的一般方法：(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．求下列函数的值域．[解析]

(1)解法一：分离常数法即函数值域为(－1，1]．解法二：反解法解法二：复合函数法解法二：判别式法∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2.得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．解法三：导数法(单调性法)得－1<x<0或0<x<1.∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1.∴y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(5)三角换元法(6)解法一：绝对值不等式法由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以函数值域为[3，＋∞)．解法二：数形结合法画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．名师点拨：求函数值域的一般方法3．配方法：形如y＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例(2)．4．不等式法：如例(3)．5．单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域；如例(4)．7．数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例(6)．8．导数法：如例(3)．【变式训练】求下列函数的值域：(3)由－x2＋2x>0，解得0<x<2，所以f(x)的定义域是(0，2)．设t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则0<t≤1，所以y＝lnt，t∈(0，1]，由对数函数的图象和性质可知y∈(－∞，0]，即函数f(x)的值域为(－∞，0]．(4)令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1，提能训练练案[6]A组基础巩固一、单选题A．[4，＋∞) B．[4，5)∪(5，＋∞)C．(4，5)∪(5，＋∞) D．(－∞，－5)∪(4，5][答案]

B2．(2026·山西吕梁调研)下面四组函数中，表示相同函数的一组是(

)A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝(x－1)2，g(x)＝(x－2)2[答案]

C3．(2025·湖北黄冈二模)已知函数f(x)＝x2的定义域A⊆R，值域B＝{9}，则满足条件的f(x)有(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个[答案]

C[解析]

令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f(x)有f(x)＝x2，x∈{3}；f(x)＝x2，x∈{－3}；f(x)＝x2，x∈{－3，3}，故满足条件的f(x)有3个．故选C．A．1 B．6C．8 D．9[答案]

D5．(2026·山东潍坊阶段练习)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)[答案]

C[解析]

函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的定义域和值域；C图象满足题目要求；D图象不是函数的图象．故选C．A．(－2，5] B．(－2，3]C．[－1，3] D．[0，2][答案]

A7．(2026·江西模拟)已知函数f(x)满足A．1 B．4C．5 D．2024[答案]

A[解析]

因为f(1)＝3，所以f(2)＝10，f(3)＝5，f(4)＝16，f(5)＝8，f(6)＝4，f(7)＝2，f(8)＝1，f(9)＝4，f(10)＝2，f(11)＝1，f(12)＝4，f(13)＝2，f(14)＝1，f(15)＝4，f(16)＝2，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，2024－5＝2019，为3的倍数，则f(2024)＝1.故选A．A．(－∞，－2)∪(0，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2，0)∪(0，2)D．(－2，0)∪(2，＋∞)[答案]

D[解析]

由题意可知，a≠0.当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a，即a2＋2a<0，解得－2<a<0，当a>0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a，即a2－2a>0，解得a>2，所以a的取值范围是(－2，0)∪(2，＋∞)．二、多选题9．下列说法正确的是(

)[答案]

AC10．记无理数π＝3.1415926…0288…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b＝f(a)，定义域为A，值域为B，下列说法正确的是(

)A．值域B是定义域A的子集B．函数图象f(a)是一群孤立的点C．f(6)＝2D．a也是b的函数，记作a＝f(b)[答案]

BC[解析]

对于A，根据题意可知定义域为A＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为0∈B，0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误；对于B、C，由题意可知数位a对应的数字依次为1，4，1，5，9，2，6，…，则函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，所以B、C正确；对于D，因为b＝1时，a＝1和3，不符合函数的定义，所以D错误．故选BC．[答案]

BCD三、填空题[答案]

(－∞，2]

[0，4)[答案]

x2－2x(x≥1)[答案]

4

(－1，1)∪(1，＋∞)