第8章　第6讲　双曲线 第1课时

第六讲双曲线知识梳理知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，集合P是空集.知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)归纳拓展双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq\r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a)(通径)．过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为eq\f(2b2,a)；与两支相交所得弦长的最小值为2A．(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－A．过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).(6)双曲线的形状与e的关系：|k|＝eq\f(b,a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)，e越大，即渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔．(7)若M、N为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)实轴端点，P为双曲线上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝eq\f(b2,a2).(8)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,a2)＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，其离心率倒数的平方和为1.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).()(5)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)√题组二走进教材2．(选择性必修1P127T8)与椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1有公共焦点，且离心率e＝eq\f(5,4)的双曲线的渐近线方程为____________.[答案]3x±4y＝0[解析]由题意知c＝eq\r(49－24)＝5，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，∴a＝4，从而b＝eq\r(c2－a2)＝3.∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，即3x±4y＝0.3．(选择性必修1习题3.2T13改编)直线l交双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1于A，B两点，且P(4,1)为AB的中点，则l的斜率为________.[答案]2[解析]设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P(4,1)为AB的中点，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝8，,y1＋y2＝2.))又点A，B在双曲线上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－2y\o\al(2,1)＝4，,x\o\al(2,2)－2y\o\al(2,2)＝4，))即(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，则l的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝eq\f(8,2×2)＝2，此时直线l的方程为y－1＝2(x－4)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－7，,x2－2y2＝4，))消去y并整理，得7x2－56x＋102＝0，Δ＝562－4×7×102＝280>0，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.题组三走向考场4．(2025·新课标Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的eq\r(7)倍，则C的离心率为()A．eq\r(2) B．2C．eq\r(7) D．2eq\r(2)[答案]D[解析]设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c，由题知，b＝eq\r(7)a，于是a2＋b2＝c2＝a2＋7a2＝8a2，则c＝2eq\r(2)a，即e＝eq\f(c,a)＝2eq\r(2).故选D.5．(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________.[答案]eq\f(3,2)[解析]由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，故|AB|＝eq\f(2b2,a)＝10，|AF2|＝eq\f(b2,a)＝5，又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入eq\f(b2,a)＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2).第一课时双曲线的定义及应用——自主练透1．已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B．eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)[答案]D[解析]设动圆M的半径为r，则|C1M|＝r＋1，|C2M|＝3＋r，∴|C2M|－|C1M|＝2<6＝|C1C2|.∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线左支，且c＝3，a＝1，∴b2＝c2－a2＝8，∴其轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．故选D.2．(2025·河北石家庄一模)设点P为双曲线eq\f(x2,5)－eq\f(y2,11)＝1右支上的动点，F为该双曲线的右焦点，已知点Q(7,2)，则|PF|＋|PQ|的最小值为()A．2eq\r(5) B．3eq\r(5)C．4eq\r(5) D．5eq\r(5)[答案]B[解析]如图，设双曲线的左焦点为F1(－4,0)，由双曲线的定义得|PF|＋|PQ|＝|PF1|＋|PQ|－2a≥|QF1|－2eq\r(5)＝5eq\r(5)－2eq\r(5)＝3eq\r(5)，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3eq\r(5).故选B.3．(2026·广东部分学校质检)设F1，F2是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则△PF1F2面积为________.[答案]3[解析]由题意得双曲线中a＝1，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(1＋3)＝2，则其焦点坐标F1(－2,0)，F2(2,0)，根据双曲线对称性，不妨假设点P在第一象限，设|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝m，|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝m＋2，其中m>c－a＝1，因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则PF1⊥PF2，根据勾股定理知|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＝|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2，即m2＋(m＋2)2＝42，解得m＝－1＋eq\r(7)(负舍)，则|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝eq\r(7)＋1，则△PF1F2面积为eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))||eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×(eq\r(7)＋1)(eq\r(7)－1)＝3.[引申1]本例1中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________________．[答案]eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≤－2)[引申2]本例1中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.[答案]eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥2)[引申3]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.[答案]x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)[引申4]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.[答案]eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1[引申5]本例2中|PQ|－|PF|的最大值为____________.[答案]eq\r(13)[解析]由题意知F(4,0)，∴|PQ|－|PF|≤|FQ|＝eq\r(13)，(当且仅当P、F、Q共线时，取等号)．名师点拨：1．利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．【变式训练】1．在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足条件sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA时，则点A的轨迹方程为____________.[答案]eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x>2)[解析]设A的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA，得eq\f(|AC|,2R)－eq\f(|AB|,2R)＝eq\f(1,2)·eq\f(|BC|,2R).又∵|BC|＝8，∴|AC|－|AB|＝4，因此A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a＝4,2c＝8，即a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝12.所以所求A点的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x>2)．2．(2024·河北邢台二模)若点P是双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则“|PF1|＝8”是“|PF2|＝16”的()A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件[答案]D[解析]a＝4，b＝3，c＝eq\r(42＋32)＝5，当点P在左支时，|PF1|的最小值为c－a＝1，当点P在右支时，|PF1|的最小值为a＋c＝9，因为|PF1|＝8，则点P在双曲线的左支上，由双曲线的定义|PF2|－|PF1|＝|PF2|－8＝2a＝8，解得|PF2|＝16；当|PF2|＝16，点P在左支时，|PF1|＝8；在右支时，|PF1|＝24；推不出|PF1|＝8；故为充分不必要条件，故选D.双曲线的标准方程——师生共研1．(2026·河北衡水质检)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4eq\r(5)x的准线l经过F1，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若∠F1F2A＝eq\f(π,4)，则双曲线的方程为()A．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1C．eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1[答案]D[解析]抛物线y2＝4eq\r(5)x的准线方程为x＝－eq\r(5)，则c＝eq\r(5)，则F1(－eq\r(5)，0)、F2(eq\r(5)，0)，不妨设点A为第二象限内的点，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(b,a)x，,x＝－c，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－c，,y＝\f(bc,a)，))，即点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(bc,a)))，因为AF1⊥F1F2且∠F1F2A＝eq\f(π,4)，则△F1F2A为等腰直角三角形，且|AF1|＝|F1F2|，即eq\f(bc,a)＝2c，可得eq\f(b,a)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝2，,c＝\r(5)，,c2＝a2＋b2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝\r(5)，))因此，双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.故选D.2．(2025·陕西教育联盟模拟)已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且C经过点(－eq\r(6)，2eq\r(2))，则C的标准方程为()A．eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1 B．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1[答案]A[解析]因为双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，故可设双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝k，(k≠0)，又C经过点(－6,2eq\r(2))，故eq\f(－62,9)－eq\f(2\r(2)2,4)＝k，∴k＝2，故双曲线方程为eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1，故选A．[引申]本例2中，将“过点(－6,2eq\r(2))”改为“焦距为2eq\r(13)”，则C的标准方程为____________.[答案]eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1[解析]可设C的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝λ(λ≠0)，当λ>0时，c＝eq\r(13λ)＝eq\r(13)，λ＝1，当λ<0时，c＝eq\r(－13λ)＝eq\r(13)，λ＝－1，∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1.名师点拨：求双曲线的标准方程的方法1．定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．2．待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，根据条件确定A、B即可．特别的①与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或渐近线为y＝\f(b,a)x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＝－\f(b,a)x))))的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；②与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2<k<a2)；③过两点的双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)．特别地：离心率为eq\r(2)的双曲线的方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．【变式训练】1．(2026·江西创智协作体调研)“t>9”是方程“eq\f(x2,t－9)－eq\f(y2,t－7)＝1”表示双曲线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]若方程eq\f(x2,t－9)－eq\f(y2,t－7)＝1表示双曲线，则满足(t－9)(t－7)>0，解得t>9或t<7，所以“t>9”是方程“eq\f(x2,t－9)－eq\f(y2,t－7)＝1”表示双曲线的充分不必要条件．故选A．2．过点(eq\r(2)，eq\r(3))且离心率为2的双曲线的标准方程为____________.[答案]x2－eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,\f(7,3))－eq\f(x2,7)＝1[解析]∵e＝eq\f(c,a)＝2，则c＝2a，∴b2＝c2－a2＝3a2，若双曲线焦点在x轴上，则其方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3a2)＝1，将点(eq\r(2)，eq\r(3))坐标代入方程可得eq\f(2,a2)－eq\f(3,3a2)＝1，∴a2＝1，从而b2＝3，双曲线标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，同理可求得焦点在y轴上时双曲线的标准方程eq\f(y2,\f(7,3))－eq\f(x2,7)＝1.双曲线的几何性质——多维探究角度1双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围1．(2026·河南安阳调研)已知双曲线C：eq\f(x2,m＋2)－eq\f(y2,m)＝1(m>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(6),3)x，则C的实轴长为()A．12 B．8C．2eq\r(6) D．eq\r(6)[答案]C[解析]由题意可得a2＝m＋2，b2＝m，所以a＝eq\r(m＋2)，b＝eq\r(m)，所以一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x＝eq\f(\r(m),\r(m＋2))x，所以eq\f(\r(m),\r(m＋2))＝eq\f(\r(6),3)，解得m＝4，则a2＝6，所以实轴长2a＝2eq\r(6).故选C．2．(2025·江苏南京六校联合体调研)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，且∠F1PF2＝120°，若△F1PF2的面积为4eq\r(3)，则a＝________.[答案]2[解析]不妨取P点在第一象限，如图所示：根据双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c；由离心率为2可得eq\f(c,a)＝2，可得c＝2a，即|F1F2|＝4a；设|PF2|＝m>0，则|PF1|＝2a＋m；由题意知＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)m(2a＋m)×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3)，解得m(2a＋m)＝16；利用余弦定理可得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(2a＋m2＋m2－4a2,2m2a＋m)＝－eq\f(1,2)，整理可得2m2＋4am－12a2＝－m(2a＋m)，即12a2＝3m(2a＋m)，所以12a2＝48，解得a＝2.角度2双曲线的渐近线1．(2025·湖北“宜荆荆恩”联考)过双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的一个焦点作倾斜角为60°的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是________.[答案]eq\f(3\r(3),2)[解析]由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60°的直线过右焦点，由双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1可得渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，双曲线的半焦距为c＝2，故右焦点坐标为F(2,0)，过倾斜角为60°的直线方程为y＝eq\r(3)(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－2，,y＝\f(\r(3),3)x，))可得交点坐标为A(3，eq\r(3))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－2，,y＝－\f(\r(3),3)x，))可得交点坐标为Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，倾斜角为60°的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为eq\f(1,2)×2×|eq\r(3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))|＝eq\f(3\r(3),2).2．(2026·福建百校联测)已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与圆x2＋y2＝a2相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|＝|BF2|，则双曲线的渐近线方程为________.[答案]y＝±(1＋eq\r(3))x[解析]作出示意图如图所示，根据双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a，在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠AF1F2＝eq\f(|AF1|2＋|F1F2|2－|AF2|2,2|AF1|×|F1F2|)＝eq\f(4a2＋4c2－16a2,2×2a×2c)＝eq\f(b2－2a2,2ac)，又直线AF1与圆x2＋y2＝a2相切，所以cos∠AF1F2＝eq\f(b,c)，所以eq\f(b2－2a2,2ac)＝eq\f(b,c)，解得b2－2ab－2a2＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2－2×eq\f(b,a)－2＝0，解得eq\f(b,a)＝1＋eq\r(3)或eq\f(b,a)＝1－eq\r(3)(舍去)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(3)))x.[引申]本例1中双曲线的两条渐近线的夹角为________.[答案]eq\f(π,3)[解析]由渐近线方程知其斜角分别为eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)，故其夹角为eq\f(π,3).名师点拨：求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.或确定焦点位置并求出eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，从而写出渐近线方程．注：如图F为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点，l为渐近线；FH⊥l于H，则|FH|＝b，|OH|＝A．提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数．两条渐近线关于坐标轴对称．角度3双曲线的离心率1．(2026·河南郑州部分学校质检)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，若eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为()A．eq\f(\r(5),2) B．eq\r(6)C．eq\f(3\r(5),5) D．eq\f(\r(6),2)[答案]C[解析]如图，F1(－c,0)，F2(c,0)，设A(x1，y1)，B(0，y2)，则eq\o(F1A,\s\up6(→))＝(x1＋c，y1)，eq\o(F1B,\s\up6(→))＝(c，y2)，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(x1－c，y1)，eq\o(F2B,\s\up6(→))＝(－c，y2)，由eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋cc＋y1y2＝0，,x1－c，y1＝－\f(2,3)－c，y2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)c，,y\o\al(2,1)＝\f(16,9)c2，))又A(x1，y1)在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，所以eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，即eq\f(25c2,9a2)－eq\f(16c2,9b2)＝1，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，即25e4－50e2＋9＝0，由e>1解得e＝eq\f(3\r(5),5).故选C．2．(2025·河南许昌高级中学测试)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若3|AB|>|F1F2|，则双曲线的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(6),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(5),5)))C．(1，eq\r(2)) D．(1，eq\r(3))[答案]B[解析]设以F2(c,0)为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx－ay＝0交于A，B两点，则F2到渐近线bx－ay＝0的距离d＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，所以|AB|＝2eq\r(a2－b2)，因为3|AB|>|F1F2|，所以3×2eq\r(a2－b2)>2c，可得9a2－9b2>c2＝a2＋b2，即4a2>5b2＝5c2－5a2，可得5c2<9a2，所以eq\f(c2,a2)<eq\f(9,5)，所以e<eq\f(3\r(5),5)，又e>1，所以双曲线的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(5),5))).故选B.名师点拨：求双曲线离心率或其范围的方法1．直接法：由题设条件求出a，c，从而得e.2．等价转化法：由e＝eq\f(c,a)或e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e.3．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要特别注意几何特点，以简化运算或寻求不等关系．【变式训练】1．(角度1)(2026·山东潍坊调研)若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2)＝1过点(4，eq\r(6))，则C的焦距为()A．eq\r(2) B．eq\r(6)C．2eq\r(2) D．2eq\r(6)[答案]D[解析]由题意可得eq\f(16,a2)－eq\f(6,2)＝1，解得a2＝4，所以c2＝4＋2＝6，所以2c＝2eq\r(6)，故选D.2．(角度2)(2025·福建泉州质检)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,6)＝1的焦距为4eq\r(3)，则C的渐近线方程是()A．y＝±x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\f(\r(7),7)x[答案]A[解析]由已知，可得b2＝6,2c＝4eq\r(3)，所以c＝2eq\r(3)，a2＝c2－b2＝12－6＝6，即C的方程为eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.所以C的渐近线方程是y＝±x.故选A．3．(角度3)(2025·河北唐山一中开学考试)已知F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A是C上一点，点B满足2eq\o(BF1,\s\up6(→))＝－3eq\o(BF2,\s\up6(→))，∠F1AF2＝4∠F1AB＝120°，则C的离心率为()A．eq\f(\r(7),2) B．eq\f(\r(13),2)C．eq\r(7) D．eq\r(13)[答案]B[解析]由∠F1AF2＝4∠F1AB＝120°，得∠BAF2＝90°，∠F1AB＝30°.因为2eq\o(BF1,\s\up6(→))＝－3eq\o(BF2,\s\up6(→))，所以点B在线段F1F2上，且eq\f(|F1B|,|BF2|)＝eq\f(3,2).如图，过点F1作F1D∥AF2，交AB的延长线于点D，则F1D⊥AD，所以△AF2B△DF1B，|AF1|＝2|F1D|，所以eq\f(|AF2|,|DF1|)＝eq\f(|BF2|,|BF1|)＝eq\f(2,3).设|AF2|＝2m，则|F1D|＝3m，所以|AF1|＝6m.由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝6m－2m＝2a，所以m＝eq\f(a,2)，则|AF2|＝a，|AF1|＝3A．设F1(－c,0)，F2(c,0)，则|F1F2|＝2C．在△AF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos∠F1AF2，即4c2＝9a2＋a2－2×3a×a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝13a2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(13,4)，则e＝eq\f(\r(13),2)(负值已舍去)．故选B.圆锥曲线中的光性质1．(多选题)(2024·甘肃天水一模改编)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F1、F2是双曲线的左、右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F1；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.若双曲线C的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，则下列结论正确的是()A．射线n所在直线的斜率为k，则k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(4,3)))B．当m⊥n时，|PF1|·|PF2|＝32C．当n过点Q(7,5)时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13D．若T(1,0)，直线PT与C相切，则|PF2|＝12[答案]ABD[解析]在双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1中，a＝3，b＝4，则c＝5，易知点F1(－5,0)、F2(5,0)，设|PF1|＝u，|PF2|＝v，P(x0，y0)，因为双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x，当点P在第一象限内运动时，随着x0的增大，射线n慢慢接近于直线y＝eq\f(4,3)x，此时0<k<eq\f(4,3)，同理可知当点P在第四象限内运动时，－eq\f(4,3)<k<0，当点P为双曲线的右顶点时，k＝0，综上所述，k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(4,3)))，A正确；当m⊥n时，u－v＝2a＝6，u2＋v2＝(u－v)2＋2uv＝36＋2uv＝102，所以，|PF1|·|PF2|＝uv＝32，B正确；|F1Q|＝eq\r(7＋52＋52)＝13，故n过点Q(7,5)时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为|PF2|＋|PQ|＝|PF1|－2a＋|PQ|＝|F1Q|－6＝7，C错误；若T(1,0)，由角平分线定理可得eq\f(S△PF1T,S△PF2T)＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|F1T|,|F2T|)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，即eq\f(6＋|PF2|,|PF2|)＝eq\f(3,2)，解得|PF2|＝12，D正确．故选ABD.2．(2026·内蒙古赤峰模拟)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝2，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝()A．1∶eq\r(3) B．1∶2C．1∶3 D．1∶4[答案]D[解析]由已知得a＝5，|PF1|＝2，由椭圆定义可得|PF2|＝2a－|PF1|＝8，根据光的反射定理可得PM为∠F1PF2的角平分线，由正弦定理eq\f(|F1M|,sin∠F1PM)＝eq\f(|F1P|,sin∠F1MP)，eq\f(|F2M|,sin∠F2PM)＝eq\f(|F2P|,sin∠F2MP)，所以eq\f(|F1M|,|F1P|)＝eq\f(sin∠F1PM,sin∠F1MP)，eq\f(|F2M|,|F2P|)＝eq\f(sin∠F2PM,sin∠F2MP)，又eq\f(sin∠F1PM,sin∠F1MP)＝eq\f(sin∠F2PM,sin∠F2MP)，eq\f(|F1M|,|F1P|)＝eq\f(|F2M|,|F2P|)，即|F1M|∶|F2M|＝|F1P|∶|F2P|＝1∶4.故选D.【变式训练】1．(2026·广西玉林联考)双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足DA⊥AB，tan∠ABC＝－eq\f(1,2)，则该双曲线的离心率为________.[答案]eq\r(3)[解析]由题可知F1，A，D共线，F1，B，C共线，如图，设|AF1|＝m，则|AF2|＝m－2a，又|AB|＝2|AF1|，所以|BF2|＝m＋2a，所以|BF1|＝m＋4a，又AF1⊥AB，所以|BF1|＝eq\r(5)m，由m＋4a＝eq\r(5)m，得m＝(eq\r(5)＋1)a＝|AF1|，则|AF2|＝m－2a＝(eq\r(5)－1)a，而|F1F2|＝2c，则4c2＝(eq\r(5)＋1)2a2＋(eq\r(5)－1)2a2，化简得c2＝3a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).2．(2024·云南曲靖二模)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为()A．9＋eq\r(10) B．9＋eq\r(26)C．eq\f(71,12)＋eq\r(26) D．eq\f(83,12)＋eq\r(26)[答案]B[解析]如图所示：因为M(3,1)，所以yA＝yM＝1，所以xA＝eq\f(y\o\al(2,A),4)＝eq\f(1,4)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，又因为F(1,0)，所以lAB：y－0＝eq\f(1－0,\f(1,4)－1)(x－1)，即lAB：y＝－eq\f(4,3)(x－1)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(4,3)x－1，,y2＝4x，))所以y2＋3y－4＝0，所以y＝1或y＝－4，所以yB＝－4，所以xB＝eq\f(y\o\al(2,B),4)＝4，所以B(4，－4)，又因为|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq\f(1,4)＋4＋2＝eq\f(25,4)，|AM|＝xM－xA＝3－eq\f(1,4)＝eq\f(11,4)，|BM|＝eq\r(4－32＋－4－12)＝eq\r(26)，所以△ABM的周长为：|AB|＋|AM|＋|BM|＝eq\f(25,4)＋eq\f(11,4)＋eq\r(26)＝9＋eq\r(26)，故选B.提能训练练案[53]A组基础巩固一、单选题1．(2026·安徽蚌埠调研)若双曲线C的离心率为2，虚轴长为2eq\r(3)，则C的实轴长为()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．3[答案]C[解析]已知离心率e＝eq\f(c,a)＝2，虚轴长为2b＝2eq\r(3)，所以c＝2a，b＝eq\r(3).由双曲线的性质可知，c2＝a2＋b2，则4a2＝a2＋3，解得a2＝1，因为a>0，所以a＝1，所以双曲线实轴长为2a＝2.故选C．2．(2025·陕西安康模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，且a∶b∶c＝1∶2∶eq\r(5)，则下列说法正确的是()A．C的实轴长为2B．C的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)xC．C的离心率为eq\r(5)D．C的右焦点的坐标为(eq\r(5)，0)[答案]C[解析]对于A、D，由a∶b∶c＝1∶2∶eq\r(5)，取a＝2，则c＝2eq\r(5)，C的实轴长4，右焦点(2eq\r(5)，0)，A、D错误；对于B，由a∶b＝1∶2，得C的渐近线方程为y＝±2x，B错误；对于C，由a∶c＝1∶eq\r(5)，得C的离心率e＝eq\r(5)，C正确．故选C．3．(2025·福建福州质监)等轴双曲线经过点(3，－1)，则其焦点到渐近线的距离为()A．2eq\r(2) B．2C．4 D．eq\r(2)[答案]A[解析]设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，∴λ＝32－(－1)2＝8，∴a2＝b2＝8，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝4，取焦点F(4,0)，渐近线x－y＝0，∴d＝eq\f(|4|,\r(2))＝2eq\r(2)，故选A．4．(2024·天津高考卷)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1[答案]C[解析]如图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tanθ1＝2，求得sinθ1＝eq\f(2,\r(5))，因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，求得＝－eq\f(1,2)，即tanθ2＝eq\f(1,2)，sinθ2＝eq\f(1,\r(5))，由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sinθ1∶sinθ2∶sin90°＝2：1：eq\r(5)，则由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝eq\r(5)m，由＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)m·2m＝8得m＝2eq\r(2)，则|PF2|＝2eq\r(2)，|PF1|＝4eq\r(2)，|F1F2|＝2c＝2eq\r(10)，c＝eq\r(10)，由双曲线第一定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，a＝eq\r(2)，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(8)，所以双曲线的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1.故选C．5．(2026·安徽蚌埠省级示范性高中联考)若双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝3有公共点，则C1的离心率的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))C．(0,2] D．(1,2][答案]D[解析]∵双曲线渐近线为bx±ay＝0，且与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点，∴圆心到渐近线的距离不大于半径，即eq\f(2b,\r(a2＋b2))≤eq\r(3)，∴b2≤3a2，∴b2＝c2－a2≤3a2，∴1<e＝eq\f(c,a)≤2.故选D.6．(2025·江西九江模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,12)＝1(a>0)的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为eq\r(3)x＋y＝0，若点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，则|MF2|＝()A．9 B．1C．1或9 D．1或7[答案]A[解析]双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(2\r(3),a)x，∴eq\f(2\r(3),a)＝eq\r(3)，∴a＝2，从而c＝eq\r(a2＋12)＝4，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(||MF1|－|MF2||＝2a＝4，,|MF2|≥c－a＝2，,|MF1|＝5，))∴|MF2|＝9.故选A．7．(2026·广东深圳外国语学校月考)如图，F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若A是BF2中点且BF1⊥BF2则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2eq\r(3)x B．y＝±2eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±eq\r(2)x[答案]A[解析]设|AB|＝|AF2|＝m，|AF1|＝|AF2|＋2a＝m＋2a，|BF1|＝|BF2|－2a＝2m－2a，|BF1|2＋|BA|2＝|AF1|2，|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2①，(2m－2a)2＋4m2＝4c2②，由①可得m＝3a，代入②式化简得13a2＝c2，∴12a2＝b2，∴eq\f(b,a)＝2eq\r(3)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2eq\r(3)x.故选A．8．(2026·河南五市调研)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F1作圆：(x－c)2＋y2＝c2的切线，切点为M，该切线交双曲线C的一条渐近线于点P，若eq\o(F1M,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(\r(6),2) B．eq\f(\r(7),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)[答案]B[解析]如图，连接F2M，则F2M⊥PF1，|F2M|＝c，∵eq\o(F1M,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，∴M为PF1的中点，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|F1M|＝eq\r(PF\o\al(2,2)－MF\o\al(2,2))＝eq\r(3)c，∠MF1F2＝30°，设P(x0，y0)，∵|PF1|＝2|PM|＝2eq\r(3)c，∴y0＝2eq\r(3)c·sin30°＝eq\r(3)c，x0＝2eq\r(3)c·cos30°－c＝2c，∵点P(2c，eq\r(3)c)在渐近线y＝eq\f(b,a)x上，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3)c,2c)＝eq\f(\r(3),2)，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(\r(7),2).故选B.二、多选题9．(2026·山东聊城模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则()A．双曲线C的离心率为eq\f(2\r(3),3)B．焦点到渐近线的距离为3C．点P到两条渐近线的距离之积为eq\f(9,4)D．当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3[答案]BCD[解析]双曲线C：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1的a＝eq\r(3)，b＝3，c＝2eq\r(3)，则e＝eq\f(c,a)＝2，故A错误；焦点(±2eq\r(3)，0)到渐近线3x±eq\r(3)y＝0的距离为eq\f(6\r(3),\r(9＋3))＝3，故B正确；设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，则点P到两条渐近线的距离之积为eq\f(|3m＋\r(3)n|·|3m－\r(3)n|,\r(9＋3)·\r(9＋3))＝eq\f(|9m2－3n2|,12)＝eq\f(27,12)＝eq\f(9,4)，故C正确；设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，又A(－eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，可得kPA·kPB＝eq\f(n,m＋\r(3))·eq\f(n,m－\r(3))＝eq\f(n2,m2－3)＝eq\f(3m2－9,m2－3)＝3，知D正确．故选BCD.10．(2026·河南郑州部分学校质检)已知F1、F2分别是双曲线C：x2－y2＝2的左右焦点，点Q是圆A：(x－2)2＋(y－3)2＝eq\f(1,2)上的动点，下列说法正确的是()A．三角形AF1F2的周长是12B．若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为x2－y2＝8C．若|QF1|＋|QF2|＝8，则Q的位置不唯一D．若P是双曲线左支上一动点，则|PF2|＋|PQ|的最小值是5＋eq\f(3,2)eq\r(2)[答案]ACD[解析]由题意可得双曲线C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，a＝eq\r(2)，b＝eq\r(2)，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，圆心坐标A(2,3)，半径r＝eq\f(\r(2),2).|F1F2|＝2c＝4，|AF1|＝eq\r(2＋22＋3－02)＝5，|AF2|＝eq\r(2－22＋3－02)＝3，所以三角形AF1F2的周长是12，故A正确；由题意可设双曲线E的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝λ或eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝λ，变形为标准形式eq\f(x2,2λ)－eq\f(y2,2λ)＝1或eq\f(y2,2λ)－eq\f(x2,2λ)＝1，λ≠0，λ≠1，又双曲线E的焦距为8，所以2λ＋2λ＝42⇒λ＝4，所以双曲线E为x2－y2＝8或y2－x2＝8，故B错误；|QF1|＋|QF2|＝8，所以Q点轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝8⇒a＝4，c＝2，b2＝12，所以轨迹方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，圆心坐标A(2,3)代入椭圆方程可得eq\f(22,16)＋eq\f(32,12)＝1，所以圆心在椭圆上，又点Q是圆上点，画出图形可得所以，Q的位置不唯一，故C正确；由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝2a＝2eq\r(2)，所以|PF2|＝|PF1|＋2eq\r(2)，所以|PF2|＋|PQ|＝|PF1|＋|PQ|＋2eq\r(2)，因为|PF1|＋|PQ|≥|QF1|，所以当P，Q，F1三点共线时，|PF1|＋|PQ|取得最小值|QF1|，又因为|QF1|的最小值为|AF1|－r＝5－eq\f(\r(2),2)，所以|PF2|＋|PQ|的最小值是5－eq\f(\r(2),2)＋2eq\r(2)＝5＋eq\f(3,2)eq\r(2)，故D正确．故选ACD.三、填空题11．(2026·福建漳州质检)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线夹角是60°，则双曲线C的离心率为________.[答案]2或eq\f(2\r(3),3)[解析]∵双曲线的两条渐近线夹角是60°，∴eq\f(b2,a2)＝(tan60°)2或(tan30°)2.∴eq\f(c2－a2,a2)＝3或eq\f(1,3)，解得双曲线C的离心率为2或eq\f(2\r(3),3).12．(2026·河北重点高中模拟)关于双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，四位同学给出了四个说法：小明：双曲线C的实轴长为8；小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；小强：双曲线C的离心率为eq\f(3,2)；小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是________；双曲线C的方程为________.(第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”)[答案]小强eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1[解析]由题意，小明正确则有a＝4，小红正确有b＝3，小强正确有eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，小同正确则有c－a＝1，由此分析小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，即c－a＝1，则小明和小红正确，即双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故小强的说法错误．13．(2025·广东阶段联考)已知双曲线Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，四点A(6，eq\r(3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(\r(55),5)))，C(5,2)，D(－5，－2)中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为____________.[答案]eq\f(x2,5)－y2＝1[解析]因为点C、D关于原点对称，且双曲线Γ也关于原点对称，故点C、D都在双曲线Γ上，对于点A，eq\f(62,a2)>eq\f(52,a2)，eq\f(3,b2)<eq\f(22,b2)，所以eq\f(62,a2)－eq\f(3,b2)>eq\f(52,a2)－eq\f(22,b2)＝1，即点A不在双曲线Γ上，所以，点B、C、D都在双曲线Γ上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，,\f(16,a2)－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(55),5)))2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝1，))因此，双曲线Γ的标准方程为eq\f(x2,5)－y2＝1.14．(2026·山东名校考试联盟、辽宁辽西重点高中摸底)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E的渐近线上的一点，且PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(1,3)，则E的离心率为________.[答案]eq\f(5,4)[解析]如图，不妨设P在直线y＝eq\f(b,a)x上，且在第一象限，坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(b,a)x))(x>0)，因为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以直线PF1的斜率＝eq\f(\f(b,a)x,x＋c)＝eq\f(bx,ax＋c)，直线PF2的斜率＝eq\f(\f(b,a)x,x－c)＝eq\f(bx,ax－c)，因为PF1⊥PF2，所以＝－1，即eq\f(bx,ax＋c)·eq\f(bx,ax－c)＝－1，整理可得x2＝a2，解得x＝a，则P(a，b)，在△PF1F2中，tan∠PF1F2＝eq\f(b,a＋c)＝eq\f(1,3)，所以3b＝a＋c，两边平方可得9b2＝a2＋c2＋2ac，又b2＝c2－a2，所以4c2－5a2－ac＝0，即4e2－e－5＝0，解得e＝eq\f(5,4)或e＝－1(舍)．15．点A1，A2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点．若直线x＝eq\f(c2,a)上存在点P，使得∠A1PA2＝eq\f(π,6)，则该双曲线的离心率取值范围为________.[答案](1，eq\r(2)][解析]△A1A2P的外接圆半径为r＝eq\f(2a,2sin\f(π,6))＝2a，当该圆与直线x＝eq\f(c2,a)相切或相交时满足题意，故eq\f(c2,a)≤2a，即1<e≤eq\r(2)，所以该双曲线的离心率取值范围为(1，eq\r(2)]．B组能力提升1．(2023·全国甲卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(5)，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(4\r(5),5)[答案]D[解析]由e＝eq\r(5)，则eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝5，解得eq\f(b,a)＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝eq\f(|2×2－3|,\r(22＋1))＝eq\f(\r(5),5)，所以弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(4\r(5),5).故选D.2．(2026·八省八校T8联考)已知双曲线C：x2－eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆O：x2＋y2＝1的切线，交双曲线C的右支于点M，若∠F1MF2＝eq\f(π,3)，则实数m＝()A．2＋eq\r(3) B．1＋eq\r(3)C．2 D．1＋eq\f(\r(3),3)[答案]D[解析]如图，设点M在第一象限，过点F2作F2G⊥MF1于点G，设N为圆O的切点，连接ON，∴F1N＝NG＝m，F2G＝2ON＝2.在Rt△MGF2中，MG＝eq\f(2\r(3),3)，MF2＝eq\f(4\r(3),3)，由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，∴2m＋eq\f(2\r(3),3)－eq\f(4\r(3),3)＝2，∴m＝1＋eq\f(\r(3),3).故选D.3．(2026·浙江嘉兴模拟)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1，F2，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝eq\f(2π,3)，若C1的离心率为eq\f(\r(13),4)，则C2的离心率为()A．eq\f(\r(13),2) B．eq\f(5,2)C．eq\f(5,4) D．eq\f(\r(39),6)[答案]A[解析]如图，设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1.因为它们有相同的焦点，所以a2－b2＝m2＋n2＝c2.不妨设M点在第一象限，且|MF1|＝t1，|MF2|＝t2，因为M点在椭圆C1上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\o\al(2,1)＋t\o\al(2,2)－2t1t2cos\f(2π,3)＝4c2，,t1＋t2＝2a))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\o\al(2,1)＋t\o\al(2,2)＋t1t2＝4c2，,t1＋t2＝2a))⇒t1t2＝4(a2－c2)．又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),4)⇒a＝eq\f(4,\r(13))c，所以t1t2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,13)c2－c2))＝eq\f(12,13)c2.又M在双曲线C2上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\o\al(2,1)＋t\o\al(2,2)－2t1t2cos\f(2π,3)＝4c2，,t1－t2＝2m))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\o\al(2,1)＋t\o\al(2,2)＋t1t2＝4c2，,t1－t2＝2m))⇒3t1t2＝4(c2－m2)．所以3×eq\f(12,13)c2＝4(c2－m2)⇒m2＝eq\f(4,13)c2⇒m＝eq\f(2,\r(13))C．所以双曲线C2的离心率为e2＝eq\f(c,m)＝eq\