高一数学复合函数初步

复合函数初步

复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性复合函数：

如果y是u的函数,而u又是x的函数,即,y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量.注意：若y=f(u)定义域为A，u=g(x)值域为B，则必须满足B

A求复合函数的定义域(1)已知函数y=f(x)的定义域,求它的复合函数f[g(x)]的定义域.我们知道函数的定义域为____________,则f(x+1)的定义域为___________.{x|-1≤x≤1}{x|-2≤x≤0}训练：已知f(x)的定义域是[-1,4],求

g(x)=f(x+1)+f(1-x)的定义域.{x|-2≤x≤2}说明:

函数的定义域是指自变量x的取值范围,所以对于g(x)=f(x+1)+f(1-x)的定义域,应设x+1,1-x的取值范围满足y=f(x)中的x的取值范围.结论:(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定义域应有不等式a≤g(x)≤b解出x即得.求复合函数的定义域我们知道函数的定义域为____________,则f(x)的定义域为___________.{x|0≤x≤1}(2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域,

求原函数y=f(x)的定义域.{x|2≤x≤3}训练：已知f(x+1)的定义域是[-1,4],求

f(x)的定义域.x∈[0,5]结论:(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定义域，应由不等式a≤g(x)≤b解出x即得.(2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为

[a,b],求原函数y=f(x)的定义域,应

求出y=g(x)的值域(x∈[a,b]),即得

y=f(x)的定义域.练习:(1)设函数f(x)的定义域是[0,2],求函数f(x2)的定义域.(2)已知y=f(2x+1)定义域是[0,1],求

y=f(x)的定义域.(3).已知f(x2)的定义域是[-1,1],求函数f(x)的定义域.(3)[0,1]例1求下列函数的定义域、值域：解：（1）由x-1≠0得x≠1所以，所求函数定义域为{x|x≠1}⑴

⑵

⑶由，得y≠1所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}求复合函数的值域说明：对于值域的求解，可以令考察指数函数y=并结合图象直观地得到:函数值域为{y|y>0且y≠1}

⑵解：（2）由5x-1≥0得所以，所求函数定义域为由得y≥1所以，所求函数值域为{y|y≥1}

⑶解：（3）所求函数定义域为R由可得所以，所求函数值域为{y|y>1}

求下列函数的定义域和值域：⑴

⑵解：⑴要使函数有意义，必须

当时

,；

当时,

∵

∴

∴值域为

⑵要使函数有意义，必须

∵

∴又∵

∴值域为练习:1.

(1)若函数f(x)的定义域为(0,1),则的定义域为_________.(2)函数的定义域为________.练习:

1求函数的定义域和值域.

2已知函数的值域是，求f(x)的定义域.

3已知关于的方程有实根，求实数m的取值范围.练习:4.当x>0时,函数的值总大于1,则实数a的取值范围是___.复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(u)增函数减函数减函数增函数则y=f[g(x)]规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数“同增异减”增函数增函数减函数减函数

例：求函数的单调性.解：设，.f(u)和u(x)的定义域均为R因为，u在上递减，在上递增.而在R上是减函数,所以，在上是增函数,在上是减函数.例：求的单调区间.解:设,u=x2－2x－1,由u∈R,

得原复合函数的定义域为x∈R.因为在定义域R内为增函数，所以由二次函数u=x2－2x－1的单调性易知u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由

x∈R,

(复合函数定义域)

x≤1，(u减)解得x≤1.所以(－∞，1］是该复合函数的单调减区间.同理［1，+∞)是该复合函数的单调增区间.

练习：求函数的单调区间．答案：(－∞,－3]单减区间[2,+∞)单增区间注意：求单调区间时，一定要先看定义域．复合函数的单调性小结复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：

(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；

(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；

(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；

(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。复合函数的奇偶性函数的奇偶性：奇＋奇＝奇偶＋偶＝偶奇×奇＝偶偶×偶＝偶奇×偶＝奇奇＋偶＝（不确定）类比：负＋负＝负正＋正＝正负×负＝正正×正＝正负×正＝负负＋正＝（不确定）1、函数y=2的值域是＿＿＿＿＿＿x2－2x＋3分析：因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,函数y=2x为增函数。[4,+∞)2、函数y=2的减区间是＿＿＿＿＿＿-x2+2x-1[1,+∞)3.讨论函数f(x)=的奇偶性和单调性分析：函数的定义域为R(1)∵f(-x)==－＝－f(x)∴f(x)在R上是奇函数（2）设x1,x2∈R,且x1<x2∵f(x)==1－则f(x1)－f(x2)=(1－）－（1－）＝－＝∵x1<x2

∴上式的分子小于0，分母大于0即：f(x1)<f(x2)故函数f(x)大R上是增函数。小结:(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定义域,应由不等式a≤g(x)≤b解出x即得.(2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b],求原函数y=f(x)的定义域,应求出y=g(x)的值域(x∈[a,b]),即得y=f(x