2027版53B版新高考版数学总复习分层训练8.1　直线和圆

专题八平面解析几何8.1直线和圆目录考点1直线和圆的方程考点2直线与圆、圆与圆的位置关系五年高考·考点练三年模拟·限时练基础强化练综合提升练考点1直线和圆的方程五年高考·考点练1.★(2024北京,3,4分)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为

()A.

B.2

C.3

D.3

D

解析圆的方程可化为(x-1)2+(y+3)2=10,所以圆心坐标为(1,-3),所以圆心到直线x-y+2=

0的距离d=

=3

,故选D.2.★(2022北京,3,4分)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=

()A.

B.-

C.1

D.-1

A

解析由题意可知圆心(a,0)在直线2x+y-1=0上,故2a+0-1=0,解得a=

.故选A.3.★★(2020课标Ⅲ文,8,5分)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为

()A.1

B.

C.

D.2

B

解析易知直线过定点P(-1,0).设A(0,-1),当AP与直线y=k(x+1)垂直时,点A(0,-1)到直线y

=k(x+1)的距离最大,最大值为|AP|=

=

.故选B.4.★★(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为_________________________.

(x-1)2+(y+1)2=5

解析解法一(待定系数法):设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则

解得

所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.解法二(圆的几何性质):由题可知,M是以(3,0)和(0,1)为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2x+y-1=0的交点(1,

-1).则R=

,☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.5.★★★(2022全国乙,文15,理14,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的

方程为____________________________________________________________________________________.

(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或 + = 或 +(y-1)2=

(写出一个即可)

解析解法一(待定系数法):依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),则

解得

此时圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.若圆过(0,0),(4,0),(4,2),则

解得

此时圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.若圆过(0,0),(4,2),(-1,1),则

解得

此时圆的方程为x2+y2-

x-

y=0,即

+

=

.若圆过(-1,1),(4,0),(4,2),则

解得

此时圆的方程为x2+y2-

x-2y-

=0,即

+(y-1)2=

.解法二(性质法):若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),根据圆的几何性质知圆心是两弦的中垂线的交点,设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.联立

解得圆心坐标为(2,3).此时圆的半径r=

=

.所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,

+

=

,

+(y-1)2=

.考点2直线与圆、圆与圆的位置关系1.★★(2024全国甲文,9,5分)直线2x-y-2=0与圆x2+y2-6x-8y=0交于A,B两点,则|AB|=

()A.4

B.5

C.8

D.10D

解析解法一:将圆的方程整理得(x-3)2+(y-4)2=25,故圆心为(3,4),半径R=5.圆心到直线

AB的距离为

=0,则直线AB恰好经过圆心,从而AB是直径,且|AB|=2R=10.解法二:将y=2x-2代入圆的方程,并整理得x2-6x+4=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=6,xAxB=4.从而(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=20,(yA-yB)2=(2xA-2xB)2=80,所以|AB|=

=

=10.2.★★(2025全国一卷,7,5分)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=

x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是()A.(0,1)

B.(1,3)

C.(3,+∞)

D.(0,+∞)

B

解析圆x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心的坐标为(0,-2),圆心到直线y=

x+2的距离d=

=2,由题意得|r-d|<1,即|r-2|<1,解得1<r<3,故选B.3.★★(2023新课标Ⅰ,6,5分)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则

sinα=

()A.1

B.

C.

D.

B

解析设圆心为C.圆的方程x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,则圆心为C(2,0),半径r=

,设点P(0,-2),切点分别为A,B,如图所示.在Rt△PBC中,tan∠CPB=

>1,所以∠CPB>45°,则∠APB=2∠CPB>90°,所以α是∠APB的补角,

∵∠APB+α=180°,∠APB+∠ACB=180°,∴α=∠ACB,在Rt△CPB中,sin

=sin∠PCB=

=

=

,cos

=cos∠PCB=

=

=

,∴sinα=2sin

cos

=

,故选B.4.★★(2024全国甲理,12,5分)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0

交于A,B两点,则|AB|的最小值为

()A.1

B.2

C.4

D.2

C

解析由题知b=

,∴ax+

y+c=0,∴a

+

(y+2)=0,∴

解得

∴直线ax+by+c=0过定点(1,-2),将x2+y2+4y-1=0化为标准方程为x2+(y+2)2=5.当过圆心(0,-2)与定点(1,-2)的直线与直线AB垂直时,|AB|最小,且|AB|min=2

=4.故选C.5.★★(2023全国乙文,11,5分)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是

()A.1+

B.4

C.1+3

D.7

C解析由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,此方程表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆.设t=x-y,则x-y-t=0,设圆心(2,1)到直线x-y-t=0的距离为d,则d=

=

,依题意知,直线x-y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,∴d=

≤3,即|1-t|≤3

,∴-3

≤t-1≤3

,即1-3

≤t≤1+3

,∴t的最大值为1+3

,即x-y的最大值为1+3

,故选C.一题多解由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9.设x=2+3cosθ,y=1+3sinθ,θ∈[0,2π),∴x-y=2+3cosθ-1-3sinθ=1+3(cosθ-sinθ)=1+3

cos

,∵θ+

∈

,∴cos

∈[-1,1],∴(x-y)max=1+3

,故选C.6.★★★(2023全国乙理,12,5分)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB

与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=

,则

·

的最大值为

()A.

+

B.

+

C.1+

D.2+

A

解析由D为BC的中点可知OD与PD垂直,即点D的轨迹是以OP为直径的圆周在☉O内

部的部分.取OP的中点M,有|DM|=

=

,并且

=

+

,因为|PA|=

=1,

·

=

·

=

|

|·|

|·cos∠APO=

|

|2=

,同时

·

≤|PA|·|MD|=

,所以

·

=

·(

+

)=

·

+

·

≤

+

,当

与

同向平行时取到最大值,故选A.7.★★★(多选)(2026全国Ⅱ卷,9,6分)已知☉O:x2+y2=1,☉A:x2+y2-6x-8y+k=0,则

()A.点A的坐标为(-3,-4)B.当k=9时,☉A与x轴相切C.当k=-11时,☉O与☉A相切D.当☉O与☉A相交时,两个交点所在直线的方程为6x+8y-k-2=0

BC解析对于A,将☉A的方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25-k,则A(3,4),故A错误;对于B,当k=9时,☉A:(x-3)2+(y-4)2=16,半径rA=4,圆心到x轴的距离d=4=rA,故☉A与x轴相

切,故B正确;对于C,当k=-11时,☉A:(x-3)2+(y-4)2=36,半径r'A=6,☉O:x2+y2=1,半径rO=1,|AO|=

=5=r'A-rO,故C正确;对于D,两圆相交时,两圆方程作差即得相交弦所在直线的方程,即6x+8y-k-1=0,故D错误.8.★★★(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),

则

()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=3

D.当∠PBA最大时,|PB|=3

ACD

解析由题意可知直线AB的方程为

+

=1,即x+2y-4=0,则圆心(5,5)到直线AB的距离d=

=

>4,∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,∴点P到直线AB的距离的取值范围为

,∵

-4∈(0,1),

+4∈(8,9),∴选项A正确,选项B错误.过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2,如图,当点P在切点P1的位置时,∠PBA最小,当点P在切点P2的位置时,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为

,圆的半径为4,∴|P1B|=|P2B|=

=

=3

,故选项C,D均正确.故选ACD.

9.★★★(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则

下列说法正确的是

()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切

ABD

解析圆心C(0,0)到直线l的距离d=

,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d=

=|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确.若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=

>|r|,所以直线l与圆C相离,故B正确.若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=

<|r|,所以直线l与圆C相交,故C错误.若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=

=|r|,所以直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.10.★★★★(2026全国Ⅰ卷,11,6分)已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=1,圆C3:x2+(y-

)2=1.直线l:y=kx+b与C1,C2,C3均有两个交点.记l被C1,C2,C3截得的弦长分别为s1,s2,s3.则

()A.k可以取任意实数B.满足s1=s2=s3的直线l共有3条C.满足s1+s2+s3=3的直线l多于3条D.当b=0时,s1+s2+s3的最大值为

BCD

解析由题意知C1(-1,0),C2(1,0),C3(0,

),C1,C2,C3的半径均为r=1.直线l:y=kx+b被圆截得的弦长为si=2

=2

(d为圆心Ci到直线l的距离,i=1,2,3).对于A,直线l与圆Ci均有两个交点,即圆心Ci到直线l的距离di<1.即d1=

<1①,d2=

<1②,d3=

<1③,解①得b∈(k-

,k+

),解②得b∈(-k-

,-k+

),解③得b∈(

-

,

+

),当l⊥C1C3时,k=-

,此时不存在实数b满足要求,直线l不存在,故A错误.对于B,若s1=s2=s3,则d1=d2=d3,由d1=d2得k=0或b=0,当b=0时,d3=

=

,解得k=±

,对应两条直线y=±

x,当k=0时,d1=|b|=d3=|b-

|,解得b=

,对应直线y=

,综上,满足条件的直线共有3条,故B正确.选项C,由B知,当直线l分别为y=±

x,y=

时,s1=s2=s3=1,满足s1+s2+s3=3.当b=0时,d1=d2=

,d3=

,此时s1+s2+s3-3=4

+2

-3,令t=

,则s(t)=s1+s2+s3-3=4

+2

-3,t∈

,s'(t)=

-

=

,令h(t)=2

-3

,易知h(t)在

上单调递减.令h(t)=0,得t=

,在

上,h(t)>0,即s'(t)>0,s(t)单调递增,在

上,h(t)<0,s'(t)<0,s(t)单调递减.∴s(t)max=s

=

-3>0,又s(0)=-1<0,∴∃t0=

∈

,使得s(t0)=0成立,即s1+s2+s3=3有解.综上,满足s1+s2+s3=3的直线多于3条.对于D,由C可得,当b=0时,s1+s2+s3=4

+2

的最大值为

,当t=

=

,即k=±

时,取到最大值

.故选BCD.闪击高考对于A,如图,圆C1,C2,C3是三个半径为1且两两相切的圆,当k=±

时不满足,故A错误.

对于B,若s1=s2=s3,则d1=d2=d3.即不共线的三点C1,C2,C3到同一条直线的距离相等,所以此直线为三角形C1C2C3的三条

中位线,共三条,故B正确.11.★★(2022天津,12,5分)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则

m的值为___________.

2

解析圆心(1,1)到直线x-y+m=0的距离为

,则

+

=3,解得m=2(负值舍去).12.★★(2023新课标Ⅱ,15,5分)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出

满足“△ABC的面积为

”的m的一个值__________________________________.

2或-2或 或- (写出一个即可)

解析∵圆心(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=

,∴|AB|=2

=

,∴S△ABC=

|AB|·d=

=

,∴2m2-5|m|+2=0,∴|m|=2或|m|=

,∴m=±2或m=±

.13.★★(2025天津,12,5分)若直线x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点,且|AB|=3|CD|,则r=___________.

2

解析因为直线x-y+6=0与x轴交于A(-6,0),与y轴交于B(0,6),所以|AB|=

=6

,所以|CD|=2

,圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r,圆心(-1,3)到直线x-y+6=0的距离为d=

=

,故|CD|=2

=2

=2

,解得r=2.

14.★★(2022全国甲理,14,5分)若双曲线y2-

=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=___________.解析易得双曲线的渐近线方程为y=±

(m>0),圆的方程可化为x2+(y-2)2=1,其半径r=1,∵渐近线与圆相切,∴圆心(0,2)到渐近线的距离等于r,∴

=1,∴m2=

,又m>0,∴m=

.15.★★★(2022新高考Ⅱ,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆

(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是___________.解析设直线AB关于y=a对称的直线为l,∵kAB=

,∴kl=-

.显然点B(0,a)在直线l上,∴直线l的方程为y=-

x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.∵l与圆有公共点,∴圆心(-3,-2)到直线l的距离d≤r,即

≤1,即6a2-11a+3≤0.解得

≤a≤

,∴实数a的取值范围为

.16.★★★(2022新高考Ⅰ,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线

的方程______________________________________.

x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)

解析解法一:∵两圆C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=16的圆心分别为C1(0,0),C2(3,4),r1=1,r2=

4,∴|C1C2|=5=r1+r2,则两圆外切(如图),且均与直线l1:x=-1相切,两圆圆心连线C1C2所在直线

的方程为y=

x,记为l,l1与l交于点P

,由两圆另一外公切线l2过点P,设l2:y+

=k(x+1),由l2与圆C1:x2+y2=1相切,得

=1,求出k=

,则直线l2的方程为7x-24y-25=0,由内公切线l3与l垂直,设l3的方程为y=-

x+m,由l3与圆C1:x2+y2=1相切得

=1,∴m=

或-

.当m=-

时,y=-

x-

,与圆C2不相切,不符合题意,舍去.故m=

,则直线l3的方程为3x+4y-5=0.综上,可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.

解法二:显然直线的斜率不为0,设直线方程为x+by+c=0,则有

=1,

=4,则c2=1+b2,※|3+4b+c|=|4c|,则3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c,结合※得

或

或

∴所求直线方程为x=-1,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.17.★★★★(2021全国甲,文21,理20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,

直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.(1)求C,☉M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关

系,并说明理由.解析

(1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),则P,Q的坐标为(1,±

),∵OP⊥OQ,∴

·

=1-2p=0,∴p=

,∴抛物线C的方程为y2=x.∵☉M的圆心为(2,0),☉M与直线x=1相切,∴☉M的半径为1,∴☉M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)直线A2A3与☉M相切.理由如下:设A1(

,y0),A2(

,y1),A3(

,y2),∵直线A1A2,A1A3均与☉M相切,∴y0≠±1,y1≠±1,y2≠±1,由A1,A2的坐标可得直线A1A2的方程为y-y0=

(x-

),整理,得x-(y0+y1)·y+y0y1=0,由于直线A1A2与☉M相切,∴M到直线A1A2的距离d=

=1,整理得(

-1)

+2y0y1+3-

=0,①同理可得,(

-1)

+2y0y2+3-

=0.②观察①②,得y1,y2是关于y的一元二次方程(

-1)y2+2y0y+3-

=0的两根,∴

(*)同理,得直线A2A3的方程为x-(y1+y2)y+y1y2=0,则点M(2,0)到直线A2A3的距离d'=

,把(*)式代入,得d'=

=

=

=

=1.∴直线A2A3与☉M相切.三年模拟·限时练基础强化练

限时40分钟1.(2026安徽淮南第一次质检)已知直线l1:ax-2y+3=0,l2:3x+(a-5)y+a=0,则“a=-10”是“l1⊥l2”的

()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

A

解析若l1⊥l2,则3a-2(a-5)=0⇒a=-10,所以“a=-10”是“l1⊥l2”的充分必要条件.故选A.2.(2026安徽A10联盟联考)已知圆C与直线x+y=1相切,且经过坐标原点和A(2,-1),则圆C

的半径为

()A.

B.

C.

D.

C

解析设O(0,0).因为点A(2,-1)在直线x+y=1上,所以过点A且与直线x+y=1垂直的直线方程为x-y=3,所以圆心在直线x-y=3上,因为O(0,0)和A(2,-1),则OA的中点为

,其垂直平分线的斜率为2,所以OA的垂直平分线的方程为y+

=2(x-1),即4x-2y=5,所以圆心在直线4x-2y=5上,联立

解得

所以圆心为C

,所以圆C的半径为|OC|=

.故选C.方法技巧弦的垂直平分线过圆心.3.(2026河北张家口期末)已知直线l:x-2y+4=0的倾斜角为α,直线l与y轴的交点为点A,l绕

点A顺时针方向旋转45°得到直线l1,l1与x轴的交点为点B,则点B的坐标是

()A.

B.(8,0)

C.(4,0)

D.(6,0)

D

解析由题意得A(0,2),tanα=

,因为直线l绕点A顺时针方向旋转45°得到直线l1,则直线l1的斜率k1=tan[180°-(45°-α)]=-tan(45°-α)=

=

=-

,所以直线l1的方程为y=-

x+2,令y=0,可得x=6,所以B(6,0).故选D.4.(2026山东名校考试联盟联考)在平面直角坐标系中,过点P(3,4)的直线l与圆C:x2+y2-4x

-4y+7=0有两个交点,则直线l斜率的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

C

解析由题意知点P在圆C外.圆的方程x2+y2-4x-4y+7=0可化为(x-2)2+(y-2)2=1,则圆心为

C(2,2),半径为r=1,由题意知,过点P(3,4)的直线l与圆C相交,当直线l的斜率不存在时,l:x=3与圆相切,不符合题意;(易错警示:不要忘记讨论斜率不存

在的情况)故直线l的斜率存在,设l:y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,则

<1,即

<1,解得k>

,故直线l斜率的取值范围是

.一题多解如图,设过点P与圆C相切的直线分别与x轴交于点B,E,直线PC与x轴交于点

D,∠DPE=α,

由图可知PE与x轴垂直,tanα=

,所以kPB=tan∠PBE=tan

=

=

=

=

=

,故直线l斜率的取值范围是

.故选C.5.(2026山东菏泽一模)已知圆C:x2+y2=9,过点M(2,1)的直线l与C交于A,B两点,当|AB|取最

小值时,直线l的方程为

()A.x=2

B.x-2y=0

C.2x+y-5=0

D.x+2y-4=0

C

解析由题意知,当M(2,1)为弦AB的中点,即CM⊥AB时,|AB|取最小值,又C(0,0),所以kCM=

=

,则kAB=-2,此时直线l的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.6.(2026广东广州天河二模)已知点P在圆(x-2)2+y2=1上,点O(0,0),A(1,1),当∠POA最大时,

cos∠POA=

()A.

B.

C.

D.

D

解析设圆(x-2)2+y2=1的圆心为C,则C(2,0),半径r=1,如图,

由图可知,当OP与圆相切,且P点在第四象限时,∠POA最大,因为|OC|=2,|CP|=1,所以∠COP=30°,又A(1,1),所以∠AOC=45°,所以cos∠POA=cos(30°+45°)=cos30°·cos45°-sin30°sin45°=

-

=

.7.(2026四川成都树德中学期末)已知圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,

则下列选项不正确的是

()A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0B.线段AB的垂直平分线方程为x+y-1=0C.四边形O1AO2B的面积为4D.P,Q分别为圆O1,O2上的动点,则|PQ|的最大值为2

+1+

C

解析对于A,圆O1:x2+y2-2x=0,圆O2:x2+y2+2x-4y=0,将两圆方程相减可得x2+y2-2x-(x2+y2+2x-4y)=0,整理得x-y=0,所以公共弦AB所在直线方程为x-y=0,故A正确.对于B,圆O1:x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,圆心为O1(1,0),半径为1,圆O2:x2+y2+2x-4y=0可化为(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为O2(-1,2),半径为

,线段AB的垂直平分线是直线O1O2,根据两点式可得直线O1O2的方程为

=

,即x+y-1=0,所以线段AB的垂直平分线方程为x+y-1=0,故B正确.对于C,由

解得

或

不妨令A(0,0),B(1,1),则由两点间距离公式得|AB|=

=

,由点到直线的距离公式得O1到直线AB的距离d1=

=

,O2到直线AB的距离d2=

=

,所以四边形O1AO2B的面积为S=

|AB|·(d1+d2)=

×

×2

=2,故C错误.对于D,|PQ|的最大值为两圆的圆心距加上两圆的半径之和,即|PQ|max=|O1O2|+r1+r2=2

+1+

,故D正确.

故选C.一题多解对于C,由

解得

或

则|AB|=

=

,又|O1O2|=

=2

,AB⊥O1O2,所以

=

|AB|·|O1O2|=

×

×2

=2,故C错误.知识拓展两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)②,若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③.方程③表示圆C1

与C2的公共弦所在直线的方程.(链接人教A版选择性必修第一册P98练习第2题)8.(2026安徽合肥一中模拟)已知点P是圆C:(x-2)2+y2=4上一点,直线l:kx-y-k+1=0与圆C相

交于A,B两点,则|

+

|的最大值为

()A.2+

B.2+2

C.4+

D.4+2

D

解析直线l的方程kx-y-k+1=0可化为k(x-1)-(y-1)=0,所以直线l过定点D(1,1).圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为r=2,所以|CD|=

<2,所以定点D在圆C的内部.取AB的中点M,则

+

=2

,所以|

+

|=2|

|≤2|

|≤2(2+|

|)=2(2+

)=4+2

.当D与M重合,且AB⊥CD,P,C,D共线,P在优弧

上时取等号.故选D.9.(多选)(2026江西赣州摸底)已知圆C:x2+y2=4,过直线l:x+y-4=0上任意一点P作圆C的两

条切线,切点分别为A,B,则

()A.圆C上的点到直线l的最大距离为2(1+

)B.四边形PACB面积的最小值为4C.

·

的最小值为8D.当点P坐标为(1,3)时,直线AB的方程为x+3y-4=0

ABD

解析由题意得,C(0,0),半径r=2,因为圆心C(0,0)到直线l的距离d=

=2

,所以圆C上的点到直线l的最大距离为d+r=2

+2,故A正确.因为|PA|=

=

,所以四边形PACB面积为|PA|·r=2

,当|PC|=d=2

时,四边形PACB的面积最小,为2

=4,故B正确.因为cos(2∠APC)=1-2sin2∠APC=1-

=1-

,所以

·

=|

|·|

|cos(2∠APC)=(|PC|2-4)

=|PC|2+

-12,因为y=x+

在(4

,+∞)上单调递增,且|PC|2≥d2=8,所以当|PC|2=8,即|PC|=2

时,

·

取得最小值,最小值为0,故C错误.因为P(1,3),所以以PC为直径的圆的方程为

+

=

,即x2+y2-x-3y=0,则直线AB的方程为x+3y-4=0,故D正确.

10.(2026广东一模)如图,月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形,已知围成该月牙形

的两段圆弧所在圆的半径相同,两圆的圆心分别为坐标原点O和点C,月牙尖的坐标分

别为A(-1,2),B(2,-1),则圆C的标准方程为_________________________.

(x-1)2+(y-1)2=5

解析连接AB,由题易知,圆O的半径为|OA|=

=

,圆心C在弦AB的垂直平分线上,又直线AB的斜率k=

=-1,则直线OC的方程为y=x,设C(a,a)(a≠0),所以|CA|=

=

,解得a=1,所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.综合提升练

限时50分钟1.(2026江苏镇江零模)若圆(x-2)2+y2=4上有且仅有2个点到直线y=k(x+1)(k>0)的距离为

1,则k的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

D

解析由题意可得圆的圆心为(2,0),半径r=2,直线y=k(x+1)过定点P(-1,0),因为圆上有且仅有2个点到直线y=k(x+1)(k>0)的距离为1,则圆心到直线的距离d满足r-1<d<r+1,所以1<d<3,即1<

<3,由k>0,解得k>

.故选D.2.(2026河北石家庄一模)已知A(1,0),B(4,0),若圆C:(x-a)2+(y-a-1)2=8上总存在点P满足|PA|=

|PB|,则实数a的取值范围是

()A.(-∞,0]

B.[0,6]C.(0,6)

D.(-∞,0]∪[6,+∞)

B

解析设P(x,y),由|PA|=

|PB|,得

=

,化简得(x-7)2+y2=18,所以点P在以(7,0)为圆心,3

为半径的圆上,设D(7,0).由题意得圆C与圆D有公共点,所以3

-2

≤

≤3

+2

,解得0≤a≤6.故选B.3.(2026河北部分高中二模)若圆M:(x+1)2+(y+3)2=r2(r>0)上存在两点A,B,且直线l:3x+4y-5

=0上存在点P,使得∠APB=60°,则r的取值范围是

()A.(0,4]

B.[4,+∞)

C.(0,2]

D.[2,+∞)

D

解析圆M:(x+1)2+(y+3)2=r2(r>0)的圆心为M(-1,-3),半径为r,圆心M(-1,-3)到直线l:3x+4y-5=0的距离为d=

=4,过点P作圆的两条切线PA,PB(A,B为切点),则∠APB≥60°,所以

=

≥

,解得r≥2,故选D.4.(2026山东泰安二模)已知M,N为圆C:x2+y2-2x-4y=0上的两个动点,且|MN|=4,点P为直线

l:x+y+1=0上的动点,则

·

的最小值为

()A.2

-

B.2

+

C.5-4

D.5+4

C

解析取MN的中点E,则

=

,

·

=(

+

)·(

+

)=(

-

)·(

+

)=(

-

)·(

+

)=

-

=

-

=

-

=

-

=

-4,要求

·

的最小值,即求|

|的最小值,∵圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),半径为r=

,∴|CE|=

=

=

=

=1,∴点E的轨迹是以C(1,2)为圆心,r1=1为半径的圆,∵点P为直线l:x+y+1=0上的动点,∴|

|的最小值为圆心C(1,2)到直线l:x+y+1=0的距离减去半径r1,∴

=

-1=2

-1,∴

=

-4=(2

-1)2-4=5-4

,故选C.

5.(2026广东华附、省实、广雅、深中四校联考)设动直线l:mx-y-2m+3=0(m∈R)交圆C:

(x-4)2+(y-5)2=12于A,B两点,当∠ACB最小时其余弦值为

()A.

B.

C.

D.

C

解析因为动直线l:mx-y-2m+3=0(m∈R),所以m(x-2)-(y-3)=0,由

得

所以直线l过定点(2,3).当∠ACB最小时,|AB|最小,|AB|=2

,其中r为圆C的半径,d为圆心C到直线l的距离,当d最小,即直线l与过点(4,5)和(2,3)的直线垂直时,|AB|最小,如图所示,

此时d=

=2

,|AB|=2

=4,所以cos∠ACB=

=

.故选C.6.(2026山东省实验中学四诊)直线l与圆C:x2+y2-6x-2y+6=0交于A,B两点,且△ABC的面

积为2,已知M是圆C上的动点,则

·

的最大值为

()A.2+2

B.2+4

C.4+2

D.4+4

D

解析由圆C:x2+y2-6x-2y+6=0,即(x-3)2+(y-1)2=4得圆C的圆心为C(3,1),半径为r=2,如图,

D为AB的中点,则CD⊥AB,

因为△ABC的面积为2,所以

|AC|·|BC|·sin∠ACB=2sin∠ACB=2,解得sin∠ACB=1,所以∠ACB=90°,所以△ABC为等腰直角三角形,所以|CD|=|DA|=2sin45°=

,所以

·

=(

+

)·(

+

)=(

+

)·(

-

)=

-

=

-

=

-2,所以当|

|取得最大值时,

·

取得最大值,

=|CD|+r=

+2,所以

·

的最大值为

-2=4+4

.总结归纳圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上的点到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为m

(m<r),若圆心到直线的距离d满足d>r+m,则圆上不存在这样的点;若圆心到直线的距离d满足d=r+m,则圆上有且仅有1个这样的点;若圆心到直线的距离d满足r-m<d<r+m,则圆上有且仅有2个这样的点;若圆心到直线的距离d满足d=r-m,则圆上有且仅有3个这样的点;若圆心到直线的距离d满足0≤d<r-m,则圆上有且仅有4个这样的点.7.(2026河北衡水二中等校一模)若非负数x,y满足y2-2

=6

,则y的最大值为

()A.

B.42

C.2

D.40C

解析令

=a,a≥0,

=b,b≥0,所以a2+b2=y2,则

=y.因为y2-2

=6

,所以a2+b2-2a=6b,则(a-1)2+(b-3)2=10(a≥0,b≥0),(易错警示:换元过程中忽略变量的取值范围)则点(a,b)的轨迹为圆(a-1)2+(b-3)2=10不在第二、四象限的部分,

表示点(a,b)到坐标原点O的距离,由图可知,

的最大值为2

,此时

=a=2,

=b=6,即x=4,y=2

,所以y的最大值为2

.8.(2026安徽六安期末)已知A,B为平面内两定点,且|AB|=4,动点P满足

·

=-3,记点P的轨迹为曲线C,动直线l与曲线C相切,若直线l与以B为圆心、5为半径的圆相交所得的弦

长为m,则m的最大值与最小值的差为()A.1

B.10-4

C.4

-8

D.2

D

解析以线段AB所在的直线为x轴,垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设P(x,y),A(-2,0),B(2,0),则

=(-2-x,-y),

=(2-x,-y),因为

·

=-3,所以-(2+x)(2-x)+y2=-3,即x2+y2=1,则点P的轨迹C是以(0,0)为圆心,1为半径的圆.以B为圆心、5为半径的圆的方程为(x-2)2+y2=25,因为

=2<5-1=4,所以曲线C在圆(x-2)2+y2=25内.设点B到直线l的距离为d,则m=2

,当切线l过点B时,d=0,m取得最大值,即为圆B的直径的长,为10,当切线l过点(-1,0)时,d最大,此时d=3,m取得最小值,此时m=2

=8,则m的最大值与最小值的差为10-8=2.故选D.

9.(2026湖北荆州阶段检测)已知点P,Q分别在圆C1:x2+y2=1,C2:x2+y2-4x+2y+4=0上运动,点

M在直线l:x-y+2=0上运动,则|MP|+|MQ|的最小值为

()A.

-2

B.3

C.

-1

D.4

B

解析如图,作圆C1关于直线l:x-y+2=0对称的圆C3,设C3(m,n),则

解得

则C3(-2,2),连接MC3,与圆C3相交于点P2,连接MC2,与圆C2相交于点Q1,P关于直线l对称的点记为P1,连接MP1,则|MP|=|MP1|≥|MP2|=|MC3|-1(当M,P1,C3共线时取等号),|MQ|≥|MQ1|=|MC2|-1(当M,Q,C2共线时取等号),由于C2(2,-1),则|C3C2|=

=5,因此|MC3|+|MC2|≥|C3C2|=5,当M,C3,C2共线时取等号,所以所求最小值为3.总结归纳对称问题的类型和处理方法1.点关于点对称利用中点坐标公式找关系求解.2.直线关于点对称(1)在已知直线上任取两点,利用点关于点对称,求出对称点坐标,利用两点式求出直线

方程;(2)在已知直线上任取一点,求其对称点,利用关于一点对称的两条直线平行,求出直线方程.3.直线关于直线对称(1)若直线与对称轴平行,则可在直线上任取一点,求出该点关于对称轴的对称点,然后

用点斜式(斜率存在)求出直线方程.(2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后取直线上除交点外一点,求该点关于对称轴的对称点,最后利用两点式求出直线方程.

10.(2026江苏启东中学等九校联考)若直线y=x+1上存在点A,圆x2+(y-m)2=2上存在点B,

使得

=(0,1),则m的最大值为

()A.0

B.2

C.3

D.4

D

解析因为点A在直线y=x+1上,所以设点A坐标为(a,a+1).设点B坐标为(b,p),因为向量

=(0,1),所以

即b=a,p=a+2,所以点B坐标为(a,a+2).又B(a,a+2)在圆上,所以a2+(a+2-m)2=2.整理得2a2+2(2-m)a+(2-m)2-2=0,由题意得关于a的一元二次方程有实数根.故Δ=[2(2-m)]2-4×2×[(2-m)2-2]=4(2-m)2-8(2-m)2+16=-4(2-m)2+16≥0(提示:计算过程中注意保