2026年浙江省高中数学选修2-4第10章数列习题

2026年浙江省高中数学选修2-4第10章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.2n-6B.2n-8C.3n-9D.3n-12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，所以a_1=0，d=1。因此通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=n-1，化简得a_n=2n-6。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n+1-b_n=2n。累加可得b_2-b_1=2，b_3-b_2=4，…，b_n-b_{n-1}=2(n-1)。将上述等式相加得b_n-b_1=2(1+2+…+(n-1))=n(n-1)。因为b_1=1，所以b_n=n(n-1)+1。代入n=10得b_10=10×9+1=91。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n+1，则c_5的值为（）A.16B.32C.48D.64解析：由数列前n项和公式S_n=2^n-n+1，可得c_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，c_n=2^n-n+1-[2^{n-1}-(n-1)+1]=2^n-n+1-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}。当n=1时，c_1=S_1=2^1-1+1=2。因此c_n=2^{n-1}（n≥1）。代入n=5得c_5=2^4=16。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，且公比q≠1，则该数列的通项公式d_n为（）A.2^{n-1}B.2^nC.4^{n-1}D.4^n解析：由等比数列性质d_2d_8=d_5^2，代入d_2d_8=64得d_5=±8。设首项为d_1，公比为q，则d_5=d_1q^4。若d_5=8，则d_1q^4=8；若d_5=-8，则d_1q^4=-8。由于q≠1，解得d_1=2，q=2或d_1=-2，q=-2。因此通项公式为d_n=2^{n-1}或d_n=-2^{n-1}。由于题目未限制符号，取正解d_n=2^{n-1}。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4的值为（）A.16B.20C.24D.28解析：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，可得e_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，e_n=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。当n=1时，e_1=T_1=1^2+1=2。因此e_n=2n（n≥1）。代入n=4得e_4=2×4=8。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=3f_n+1（n≥1），则f_5的值为（）A.97B.98C.99D.100解析：由递推关系f_n+1=3f_n+1，可得f_n+1-1=3f_n。设g_n=f_n+1，则g_n=3g_{n-1}。因为f_1=2，所以g_1=3。因此g_n=3^n。故f_n=g_n-1=3^n-1。代入n=5得f_5=3^5-1=243-1=242。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=20，则a_3+a_4的值为（）A.4B.6C.8D.10解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=20，解得a_3=4。又因为a_3+a_4=2a_3.5=2×4=8。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-n，则数列{h_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上都不是解析：由数列前n项和公式S_n=3^n-n，可得h_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，h_n=3^n-n-[3^{n-1}-(n-1)]=2×3^{n-1}-1。当n=1时，h_1=S_1=3^1-1=2。因此h_n=2×3^{n-1}-1（n≥1）。由于h_n与n的关系不是线性或指数形式，故不是等差数列或等比数列。9.在等比数列{I_n}中，若I_1=1，I_4=16，则I_7的值为（）A.64B.128C.256D.512解析：设公比为q，由I_4=I_1q^3得16=1×q^3，解得q=2。因此I_7=I_1q^6=1×2^6=64。10.已知数列{J_n}的前n项和T_n=2n^2+n，则J_3的值为（）A.12B.18C.24D.30解析：由数列前n项和公式T_n=2n^2+n，可得J_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，J_n=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1。当n=1时，J_1=T_1=2×1^2+1=3。因此J_n=4n-1（n≥1）。代入n=3得J_3=4×3-1=11。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，a_10=a_1+9d，联立方程组得10=a_1+4d，25=a_1+9d。解得d=5/3。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=。解：由等比数列性质b_4=b_2q^2，代入b_2=6，b_4=54得54=6q^2，解得q=3。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n+1，则c_4=。解：由数列前n项和公式S_n=n^2+n+1，可得c_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，c_n=n^2+n+1-[（n-1）^2+(n-1)+1]=2n。当n=1时，c_1=S_1=3。因此c_n=2n（n≥1）。代入n=4得c_4=8。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=2，a_5=14，则该数列的前10项和S_10=。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=14得14=2+4d，解得d=3。因此S_10=10×2+(10×9/2)×3=220。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n≥1），则e_6=。解：由递推关系e_n+1=2e_n+1，可得e_n+1-1=2e_n。设g_n=e_n+1，则g_n=2g_{n-1}。因为e_1=1，所以g_1=2。因此g_n=2^n。故e_n=g_n-1=2^n-1。代入n=6得e_6=2^6-1=63。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=3，f_5=243，则该数列的公比q=。解：由等比数列性质f_5=f_1q^4，代入f_1=3，f_5=243得243=3q^4，解得q=3。7.若数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-n+2，则g_5=。解：由数列前n项和公式T_n=2^n-n+2，可得g_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，g_n=2^n-n+2-[2^{n-1}-(n-1)+2]=2^n-n+2-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n=1时，g_1=T_1=3。因此g_n=2^{n-1}-1（n≥1）。代入n=5得g_5=16-1=15。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=1，a_3=7，则该数列的前8项和S_8=。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=1，a_3=7得7=1+2d，解得d=3。因此S_8=8×1+(8×7/2)×3=120。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_n+1=i_n+2n（n≥1），则i_4=。解：由递推关系i_n+1=i_n+2n，可得i_n+1-i_n=2n。累加可得i_2-i_1=2，i_3-i_2=4，i_4-i_3=6。将上述等式相加得i_4-i_1=2+4+6=12。因为i_1=2，所以i_4=14。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_3=8，则该数列的通项公式j_n=。解：由等比数列性质j_3=j_2q，代入j_2=4，j_3=8得8=4q，解得q=2。因此j_n=j_2q^{n-2}=4×2^{n-2}=2^n。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和公式S_n=3n^2+n，可得a_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，a_n=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2。当n=1时，a_1=S_1=4。因此a_n=6n-2（n≥1）。由于a_n与n的关系是线性形式，故该数列是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q=2。（）解：由等比数列性质b_4=b_1q^3，代入b_1=1，b_4=16得16=1×q^3，解得q=2。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，则c_n=2n（n≥1）。（）解：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，可得c_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，c_n=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。当n=1时，c_1=T_1=2。因此c_n=2n（n≥1）。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=3。（）解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9得9=3+4d，解得d=3/2。5.若数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=3e_n+1（n≥1），则e_n=3^n-1（n≥1）。（）解：由递推关系e_n+1=3e_n+1，可得e_n+1-1=3e_n。设g_n=e_n+1，则g_n=3g_{n-1}。因为e_1=2，所以g_1=3。因此g_n=3^n。故e_n=g_n-1=3^n-1（n≥1）。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=3。（）解：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得54=6q^2，解得q=3。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-n，则数列{g_n}是等比数列。（）解：由数列前n项和公式S_n=2^n-n，可得g_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，g_n=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。当n=1时，g_1=S_1=1。因此g_n=2^{n-1}-1（n≥1）。由于g_n与n的关系不是指数形式，故不是等比数列。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=5，a_3=11，则该数列的前6项和S_6=42。（）解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=5，a_3=11得11=5+2d，解得d=3。因此S_6=6×5+(6×5/2)×3=84。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=i_n+2n（n≥1），则i_n=n(n-1)（n≥1）。（）解：由递推关系i_n+1=i_n+2n，可得i_n+1-i_n=2n。累加可得i_2-i_1=2，i_3-i_2=4，i_4-i_3=6。将上述等式相加得i_4-i_1=2+4+6=12。因为i_1=1，所以i_4=13。而n(n-1)当n=4时为12，故i_n=n(n-1)不正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_3=8，则该数列的通项公式j_n=2^n（n≥1）。（）解：由等比数列性质j_3=j_2q，代入j_2=4，j_3=8得8=4q，解得q=2。因此j_n=j_2q^{n-2}=4×2^{n-2}=2^n。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=14得14=2+4d，解得d=3。因此a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-n+1，求b_4的值。解：由数列前n项和公式S_n=3^n-n+1，可得b_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，b_n=3^n-n+1-[3^{n-1}-(n-1)+1]=2×3^{n-1}-1。当n=1时，b_1=S_1=3。因此b_n=2×3^{n-1}-1（n≥1）。代入n=4得b_4=2×3^3-1=55。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=1，c_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_4=c_1q^3，代入c_1=1，c_4=16得16=1×q^3，解得q=2。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，求d_3的值。解：由数列前n项和公式T_n=n^2+n+1，可得d_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，d_n=n^2+n+1-[（n-1）^2+(n-1)+1]=2n。当n=1时，d_1=T_1=3。因此d_n=2n（n≥1）。代入n=3得d_3=6。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=5，e_4=13，求该数列的前7项和S_7。解：由等差数列性质e_4=e_1+3d，代入e_1=5，e_4=13得13=5+3d，解得d=3.6667。因此S_7=7×5+(7×6/2)×3.6667=98。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_n+1=2f_n+1（n≥1），求f_5的值。解：由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_n+1-1=2f_n。设g_n=f_n+1，则g_n=2g_{n-1}。因为f_1=3，所以g_1=4。因此g_n=4×2^{n-1}。故f_n=g_n-1=4×2^{n-1}-1。代入n=5得f_5=4×2^4-1=63。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=8，g_5=32，求该数列的通项公式g_n。解：由等比数列性质g_5=g_2q^3，代入g_2=8，g_5=32得32=8q^3，解得q=2。因此g_n=g_2q^{n-2}=8×2^{n-2}=2^n。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求h_6的值。解：由数列前n项和公式S_n=2n^2+n，可得h_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，h_n=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1。当n=1时，h_1=S_1=3。因此h_n=4n-1（n≥1）。代入n=6得h_6=23。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求第5年的产量。解：由等比数列性质，设产量为{a_n}，则a_1=100，q=1.1。第5年产量a_5=a_1q^4=100×1.1^4=146.41万吨。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=14得14=2+4d，解得d=3。因此S_10=10×2+(10×9/2)×3=220。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2+n，求c_4的值。解：由数列前n项和公式T_n=3n^2+n，可得c_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，c_n=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2。当n=1时，c_1=T_1=4。因此c_n=6n-2（n≥1）。代入n=4得c_4=22。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=1，d_4=16，求该数列的通项公式d_n。解：由等比数列性质d_4=d_1q^3，代入d_1=1，d_4=16得16=1×q^3，解得q=2。因此d_n=d_1q^{n-1}=2^{n-1}。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=2n^2+n+1，求e_3的值。解：由数列前n项和公式S_n=2n^2+n+1，可得e_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，e_n=2n^2+n+1-[2(n-1)^2+(n-1)+1]=4n。当n=1时，e_1=S_1=4。因此e_n=4n（n≥1）。代入n=3得e_3=12。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=3，f_6=21，求该数列的前12项和S_12。解：由等差数列性质f_6=f_1+5d，代入f_1=3，f_6=21得21=3+5d，解得d=3.6。因此S_12=12×3+(12×11/2)×3.6=259.2。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n+2（n≥1），求g_5的值。解：由递推关系g_n+1=3g_n+2，可得g_n+1-2=3g_n。设h_n=g_n+1-2，则h_n=3h_{n-1}。因为g_1=2，所以h_1=0。因此h_n=0。故g_n+1-2=0，即g_n=2。代入n=5得g_5=2。8.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_3=8，求该数列的前8项和S_8。解：由等比数列性质j_3=j_2q，代入j_2=4，j_3=8得8=4q，解得q=2。因此j_n=j_2q^{n-2}=4×2^{n-2}=2^n。因此S_8=4+8+16+…+2^8=2^9-4=510。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.A6.A7.C8.D9.A10.D二、填空题1.5/32.33.84.2205.636.37.158.1209.1410.2^n三、判断题1.√2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.×9.×10.√四、简答题1.a_n=3n-1解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=14得14=2+4d，解得d=3。因此a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1。2.b_4=55解：由数列前n项和公式S_n=3^n-n+1，可得b_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，b_n=2×3^{n-1}-1。当n=1时，b_1=S_1=3。因此b_n=2×3^{n-1}-1（n≥1）。代入n=4得b_4=2×3^3-1=55。3.q=2解：由等比数列性质c_4=c_1q^3，代入c_1=1，c_4=16得16=1×q^3，解得q=2。4.d_3=6解：由数列前n项和公式T_n=n^2+n+1，可得d_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，d_n=n^2+n+1-[（n-1）^2+(n-1)+1]=2n。当n=1时，d_1=T_1=3。因此d_n=2n（n≥1）。代入n=3得d_3=6。5.S_7=98解：由等差数列性质e_4=e_1+3d，代入e_1=5，e_4=13得13=5+3d，解得d=3.6667。因此S_7=7×5+(7×6/2)×3.6667=98。6.f_5=63解：由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_n+1-1=2f_n。设g_n=f_n+1，则g_n=2g_{n-1}。因为f_1=3，所以g_1=4。因此g_n=4×2^{n-1}。故f_n=g_n-1=4×2^{n-1}-1。代入n=5得f_5=4×2^4-1=63。7.g_n=2^n解：由等比数列性质g_5=g_2q^3，代入g_2=8，g_5=32得32=8q^3，解得q=2。因此g_n=g_2q^{n-2}=8×2^{n-2}=2^n。8.h_6=24解：由数列前n项和公式S_n=2n^2+n，可得h_n=S_n-S_{n