第7章 多元函数微积分

微积分（应用型）函数与极限导数与微分导数的应用不定积分第1章第2章第3章第4章定积分及其应用微分方程多元函数微积分无穷级数第5章第6章第7章第8章多元函数

微积分第7章7.1空间解析几何简介7.2多元函数的基本概念7.3偏导数7.4全微分多元函数

微积分第7章7.5多元复合函数与隐函数的求导7.6多元函数的极值与最值7.7二重积分的概念与性质7.8二重积分的计算与应用本章导读空间解析几何是利用代数方法来刻画空间几何图形的一个数学分支，它为研究多元函数（即含有多个自变量的函数）的微积分提供了几何框架．而多元函数微积分是解决复杂实际问题的有力工具，它在自然科学、工程技术等领域具有广泛的应用．本章先介绍空间解析几何的基本概念，再在一元函数微积分的基础上以二元函数为主要研究对象，讨论多元函数微积分．学习导图学习目标（1）理解空间解析几何的基本概念．（2）理解多元函数的概念与连续性；会求多元函数的极限．（3）理解偏导数的概念；会求偏导数与高阶偏导数．（4）理解全微分的概念；了解全微分在近似计算中的应用．（5）掌握多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式．（6）会求多元函数的极值、最值与条件极值．（7）理解二重积分的概念；掌握二重积分的性质．（8）会在直角坐标系和极坐标系中计算二重积分．学习目标空间解析几何简介7.1

空间解析几何简介7.1.1空间直角坐标系7.1.2曲面及其方程7.1.1空间直角坐标系1．空间直角坐标系的概念7.1.1空间直角坐标系1．空间直角坐标系的概念7.1.1空间直角坐标系1．空间直角坐标系的概念7.1.1空间直角坐标系1．空间直角坐标系的概念7.1.1空间直角坐标系2．空间点的坐标7.1.1空间直角坐标系2．空间点的坐标小贴士7.1.1空间直角坐标系2．空间点的坐标7.1.1空间直角坐标系3．空间两点间的距离7.1.1空间直角坐标系3．空间两点间的距离空间两点间的距离公式7.1.1空间直角坐标系3．空间两点间的距离7.1.1空间直角坐标系3．空间两点间的距离答案7.1.1空间直角坐标系3．空间两点间的距离答案7.1.2曲面及其方程1．曲面方程的概念7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面答案7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面小贴士7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程常见曲面1）球面2）柱面3）旋转曲面小贴士7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程7.1.2曲面及其方程2．几种常见曲面及其方程习题C习题A习题参考答案习题参考答案习题参考答案多元函数的基本概念7.2

多元函数的基本概念引例XYS多元函数的基本概念7.2.1多元函数的概念7.2.2多元函数的极限7.2.3多元函数的连续性7.2.1多元函数的概念1．二元函数的定义7.2.1多元函数的概念1．二元函数的定义7.2.1多元函数的概念1．二元函数的定义7.2.1多元函数的概念1．二元函数的定义小贴士7.2.1多元函数的概念1．二元函数的定义答案7.2.1多元函数的概念1．二元函数的定义答案7.2.1多元函数的概念1．二元函数的定义答案7.2.1多元函数的概念2．二元函数的几何意义7.2.2多元函数的极限7.2.2多元函数的极限7.2.2多元函数的极限7.2.2多元函数的极限答案7.2.2多元函数的极限答案7.2.3多元函数的连续性7.2.3多元函数的连续性7.2.3多元函数的连续性小贴士7.2.3多元函数的连续性答案7.2.3多元函数的连续性习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案偏导数7.3

偏导数7.3.1偏导数的概念与计算7.3.2高阶偏导数7.3.1偏导数的概念与计算7.3.1偏导数的概念与计算7.3.1偏导数的概念与计算7.3.1偏导数的概念与计算小贴士7.3.1偏导数的概念与计算7.3.1偏导数的概念与计算7.3.1偏导数的概念与计算答案7.3.1偏导数的概念与计算答案7.3.1偏导数的概念与计算答案7.3.1偏导数的概念与计算答案知识宝典7.3.1偏导数的概念与计算答案7.3.1偏导数的概念与计算知识宝典点击查看7.2.2例37.2.2多元函数的极限答案点击返回7.3.2高阶偏导数7.3.2高阶偏导数答案7.3.2高阶偏导数答案7.3.2高阶偏导数小贴士习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案全微分7.4

全微分7.4.1全微分的概念7.4.2全微分在近似计算中的应用7.4.1全微分的概念7.4.1全微分的概念7.4.1全微分的概念7.4.1全微分的概念小贴士7.4.1全微分的概念7.4.1全微分的概念小贴士7.4.1全微分的概念7.4.1全微分的概念答案7.4.1全微分的概念答案7.4.1全微分的概念答案7.4.2全微分在近似计算中的应用7.4.1全微分的概念答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案多元复合函数与隐函数的求导7.5

多元复合函数与隐函数的求导7.5.1多元复合函数的求导法则7.5.2隐函数的求导公式7.5.1多元复合函数的求导法则1．一元函数与多元函数复合的情形2．多元函数与多元函数复合的情形7.5.1多元复合函数的求导法则1．一元函数与多元函数复合的情形7.5.1多元复合函数的求导法则1．一元函数与多元函数复合的情形7.5.1多元复合函数的求导法则1．一元函数与多元函数复合的情形答案7.5.1多元复合函数的求导法则1．一元函数与多元函数复合的情形答案7.5.1多元复合函数的求导法则2．多元函数与多元函数复合的情形7.5.1多元复合函数的求导法则2．多元函数与多元函数复合的情形7.5.1多元复合函数的求导法则2．多元函数与多元函数复合的情形答案7.5.1多元复合函数的求导法则2．多元函数与多元函数复合的情形答案7.5.1多元复合函数的求导法则2．多元函数与多元函数复合的情形答案7.5.1多元复合函数的求导法则2．多元函数与多元函数复合的情形答案7.5.1多元复合函数的求导法则2．多元函数与多元函数复合的情形答案7.5.2隐函数的求导公式7.5.2隐函数的求导公式7.5.2隐函数的求导公式答案7.5.2隐函数的求导公式答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案多元函数的极值与最值7.6

多元函数的极值与最值7.6.1多元函数的极值7.6.2多元函数的最值7.6.3条件极值7.6.1多元函数的极值7.6.1多元函数的极值例题7.6.1多元函数的极值7.6.1多元函数的极值小贴士7.6.1多元函数的极值7.6.1多元函数的极值7.6.1多元函数的极值小贴士7.6.1多元函数的极值答案7.6.1多元函数的极值答案7.6.2多元函数的最值7.6.2多元函数的最值7.6.2多元函数的最值答案7.6.2多元函数的最值答案7.6.3条件极值7.6.3条件极值7.6.3条件极值7.6.3条件极值7.6.3条件极值答案7.6.3条件极值答案7.6.3条件极值答案7.6.3条件极值答案7.6.3条件极值借助AI工具，练习用拉格朗日乘数法求解自变量多于两个而附加条件多于一个的极值问题．AI探索习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案二重积分的概念与性质7.7

二重积分的概念与性质引例

1二重积分的概念与性质分析（1）分割（2）取近似（3）求和（4）取极限二重积分的概念与性质分析（1）分割二重积分的概念与性质分析（2）取近似二重积分的概念与性质分析（3）求和二重积分的概念与性质分析（4）取极限二重积分的概念与性质引例

2二重积分的概念与性质分析（1）分割（2）取近似（3）求和（4）取极限二重积分的概念与性质分析（1）分割二重积分的概念与性质分析（2）取近似二重积分的概念与性质分析（3）求和二重积分的概念与性质分析（4）取极限二重积分的概念与性质分析二重积分的概念与性质7.7.1二重积分的概念7.7.2二重积分的性质二重积分的概念与性质知识抢先看7.7.1二重积分的概念1．二重积分的定义7.7.1二重积分的概念小贴士1．二重积分的定义7.7.1二重积分的概念2．二重积分的几何意义7.7.1二重积分的概念借助AI工具，探索二重积分与一元函数积分学中的不定积分、定积分的区别和联系．AI探索2．二重积分的几何意义7.7.1二重积分的概念拓展2．二重积分的几何意义7.7.2二重积分的性质7.7.2二重积分的性质7.7.2二重积分的性质7.7.2二重积分的性质7.7.2二重积分的性质答案7.7.2二重积分的性质答案习题参考答案习题参考答案习题参考答案二重积分的计算与应用7.8

二重积分的计算与应用7.8.1在直角坐标系中计算二重积分7.8.2在极坐标系中计算二重积分7.8.1在直角坐标系中计算二重积分X型区域Y型区域7.8.1在直角坐标系中计算二重积分X型区域Y型区域7.8.1在直角坐标系中计算二重积分X型区域Y型区域7.8.1在直角坐标系中计算二重积分7.8.1在直角坐标系中计算二重积分7.8.1在直角坐标系中计算二重积分7.8.1在直角坐标系中计算二重积分7.8.1在直角坐标系中计算二重积分7.8.1在直角坐标系中计算二重积分小贴士7.8.1在直角坐标系中计算二重积分7.8.1在直角坐标系中计算二重积分答案7.8.1在直角坐标系中计算二重积分答案7.8.1在直角坐标系中计算二重积分答案7.8.1在直角坐标系中计算二重积分答案7.8.1在直角坐标系中计算二重积分答案7.8.1在直角坐标系中计算二重积分答案7.8.1在直角坐标系中计算二重积分知识宝典7.8.2在极坐标系中计算二重积分7.8.2在极坐标系中计算二重积分7.8.2