第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

1/1第2节空间点、直线、平面之间的位置关系1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识梳理1.四个基本事实（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.提醒：三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面.2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.空间点、直线、平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与直线平行a∥b0个相交a∩b＝A1个异面a，b是异面直线0个图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个图形语言符号语言公共点平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）；（2）范围：（0°，90°].1.唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若直线l有无数个点不在平面α内，则l∥α.（×）（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.（×）（3）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.（√）（4）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（×）（5）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.（×）2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b（）A.共面B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线解析：Dα∥β，说明a与b无公共点，所以a与b可能平行也可能是异面直线.故选D.3.〔多选〕下列叙述正确的是（）A.若P∈（α∩β），且α∩β＝l，则P∈lB.若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C.三点A，B，C确定一个平面D.若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α解析：ABD点P是两平面的公共点，当然在交线上，故A正确；两相交直线确定一个平面，故B正确；只有不共线的三点才能确定一个平面，故C错误；直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内.4.已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则直线a与平面α的位置关系是a∥α或a⊂α.解析：当a⊄α时，由a∥b，b⊂α，得a∥α；当a⊂α时，满足题中条件.综上，直线a与平面α的位置关系是a∥α或a⊂α.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是33解析：连接BD（图略），由AA1∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角，不妨设正方体的棱长为a，则BD＝2a，BD1＝D1D2＋BD2＝3a，所以cos∠DD1B平面基本事实的应用（师生共研过关）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证：（1）E，C，D1，F四点共面；证明：如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.（2）CE，D1F，DA三线共点；证明：∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.（3）B，M，D1三点共线.证明：连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线，∵BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，即O与M重合，故B，M，D1三点共线.共面、共线、共点问题的证明方法训练1（1）（2026·贵州安顺模拟）如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是（C）A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC解析：由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.（2）在三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则（B）A.点P一定在直线BD上B.点P一定在直线AC上C.EH∥FGD.EH与FG必相交解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，故A错误，B正确；易知直线EH，FG共面，则直线EH，FG平行或相交，故C、D错误.空间两直线位置关系的判断（师生共研过关）（1）（2026·河南郑州模拟）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则（D）A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A、B错误，m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（B）A.DD1 B.ACC.AD1 D.B1C解析：对于A，如图1，当点P为A1C1的中点时，连接B1D1，BD，则P在B1D1上，BP⊂平面BDD1B1，又DD1⊂平面BDD1B1，所以BP与DD1共面，故A不正确；对于B，如图2，连接AC，易知AC⊂平面ACC1A1，BP⊄平面ACC1A1，且BP∩平面ACC1A1＝P，P不在AC上，所以BP与AC为异面直线，故B正确；当点P与点C1重合时，连接AD1，B1C（图略），由正方体的性质，易知BP∥AD1，BP与B1C相交，故C、D不正确.故选B.空间两直线位置关系的判定方法训练2（1）空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（D）A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能解析：根据条件作出示意图，得到如图所示的三种可能的情况，由图可知AB，CD有相交、平行、异面三种情况，故选D.（2）〔一题多解〕若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（D）A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交解析：法一（反证法）由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二（模型法）如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.异面直线所成的角（师生共研过关）（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝2，则异面直线A1C与AD所成角的大小为（C）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，∠CA1D1（或其补角）就是异面直线A1C与AD所成的角，连接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，由已知可得A1D1＝1，D1C＝3，A1C＝2，∵A1C2＝A1D12＋D1C2，∴△A1D1C为直角三角形且∠A1D1C＝90°，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝3，∴∠CA1D1＝（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（C）A.15B.56 C.55解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补一相同的长方体CDEF-C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角（或其补角）.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，所以DE1＝DE2＋EE12＝12＋（3）2＝2，DB1＝12＋12＋（3）2＝5，B1E1＝A1B12＋A1E12＝12＋求异面直线所成角的方法（1）平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条直线相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解；（2）补形法：在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解.提醒：在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.训练3（1）（2026·吉林长春模拟）如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（B）A.63 B.C.13 D.解析：连接AC，取AC的中点O，连接OE，OB，由题意知，EO∥PC，则异面直线BE与PC所成的角为∠BEO（或其补角），在△BEO中，EO＝1，BO＝2，BE＝3，则cos∠BEO＝BE2＋EO2－BO2（2）（2026·浙江金华模拟）已知底面半径为1的圆柱，O是其上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为π3，则BC＝33解析：如图所示，过A作母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，则∠OAD＝π3，在Rt△OAD中，可得AD＝1tanπ3＝33，（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是（）A.平行 B.异面C.相交 D.平行、异面或相交解析：D如图所示，a，b的位置关系分别是平行、异面、相交.故选D.2.在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：D如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，可得DE∥PB，EF∥BC，又因为PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF＝90°.故选D.3.已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.综上，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A.不存在 B.有且只有2条C.有且只有3条 D.有无数条解析：D在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，故直线MN与这三条异面直线都有交点，如图.M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，故空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.5.〔多选〕如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（）解析：BDA中，直线GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；C中，连接GM（图略），则GM∥HN.因此GH与MN共面；D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此直线GH与MN异面.故选B、D.6.〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（）A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面D.B，B1，O，M共面解析：ABC∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面.∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A、B、C.7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱的条数为5.解析：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，共5条.8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为平行，平面AEF与平面ABCD的交线是AD.解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD.因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线.9.（13分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中：（1）求异面直线AC与A1D所成角的大小；解：如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是异面直线AC与A1D所成的角或其补角.在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.故异面直线A1D与AC所成的角为60°.（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小.解：连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.故异面直线A1C1与EF所成的角为90°.10.如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的位置关系是（）A.相交 B.平行C.异面 D.不确定解析：C如图，取AB的中点G，连接GQ，GF，EQ，则GQ∥AD，又AD∥EF，所以GQ∥EF，则G，Q，E，F确定平面GQEF，又FQ⊂平面GQEF，P∈平面GQEF，P∉FQ，B∉平面GQEF，所以直线FQ与PB是异面直线.故选C.11.如图所示，已知在空间四边形ABCD中，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF＝（）A.1 B.2C.1或3 D.1或2解析：C如图，取CD的中点G，连接EG，FG，由题可知，EG∥BD，FG∥AC，EG＝12BD＝1，FG＝12AC＝1.因为AC与BD所成的角为π3，所以∠FGE＝π3或∠FGE＝π－π3＝2π3，当∠FGE＝π3时，△FGE为等边三角形，所以EF＝1；当∠FGE＝2π3时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos∠FGE＝1＋1－2×1×1×（－12）＝3，所以EF＝312.〔多选〕如图所示是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（）A.AB与CD所在的直线垂直B.CD与EF所在的直线平行C.EF与GH所在的直线异面D.GH与AB所在的直线夹角为60°解析：BCD把正方体的平面展开图还原，如图，连接AF.对于A，因为BD∥CF且BD＝CF，所以四边形BDCF为平行四边形，所以CD∥BF，故AB与CD所成的角为∠ABF，易知△ABF为等边三角形，则∠ABF＝60°，故A错误；对于B，由A可知CD∥EF，故B正确；对于C，由图可知，EF与GH所在的直线异面，故C正确；对于D，因为AH∥GF且AH＝GF，故四边形AFGH为平行四边形，所以GH∥AF，则GH与AB所成的角为∠FAB.因为△ABF为等边三角形，所以∠FAB＝60°，即GH与AB所在的直线夹角为60°，故D正确.13.（2026·江苏南京六校联考）我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCD-EFGH，其中ABCD是边长为4的正方形，EFGH为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，EF＝4，FG＝2，AE＝BF＝CG＝DH，且平面ABCD与平面EFGH的距离为4，则异面直线BG与CH所成角的余弦值为1333165解析：如图，把此六面体补成正方体，连接AH，AC，由题可知AH∥BG，所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角