第6节　一元二次不等式及其解法

第6节一元二次不等式及其解法课标要求1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

⁠的不

等式，称为一元二次不等式.提醒：对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形.2

2.

三个“二次”的对应关系判别式Δ＝b2－

4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c

（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0

（a＞0）的根有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2）没有实数根判别式Δ＝b2－

4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0

（a＞0）的解集{x｜x＜x1，或x

＞x2}Rax2＋bx＋c＜0

（a＞0）的解集{x｜x1＜x＜x2}⌀⌀

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.

（

×

）

（3）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.

（

√

）（4）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c

＞0（a＜0）的解集为R.

（

×

）××√×2.

不等式（x－2）（3－2x）≥0的解集为（

）C.

[2，＋∞）√

A.

－10B.

－14C.10D.14√

4.

不等式｜5－2x｜＜9的解集为

⁠.解析：｜5－2x｜＜9，即｜2x－5｜＜9，即－9＜2x－5＜9，解得－2＜x

＜7.5.

若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围

为

⁠.

（－2，7）

02PART研透核心考点一元二次不等式的解法（定向精析突破）考向1

不含参一元二次不等式的解法

〔多选〕下列选项中，正确的是（

）A.

不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1}C.

不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3}√√

1.

可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不

等式的解集.2.

分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进

行限制，转化为不等式组.考向2

含参一元二次不等式的解法

已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞

－ax－1.

解含参数的一元二次不等式的步骤（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于

0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；（3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论

两根的大小关系，从而确定不等式的解集.训练1

（1）不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是

⁠

⁠；

{x｜－3≤x＜－2或0＜

x≤1}

②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即（x－1）2≤0，所以x＝1；（2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.解：由题意知，Δ＝a2－4，

三个二次之间的关系（师生共研过关）

〔多选〕（2026·海南华侨中学考试）已知关于x的一元二次不等式

ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（

）A.

a＜0C.

a－b＋c＜0√√

“三个二次”之间的关系及其应用（1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次

不等式解集的端点值；（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开

口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解.训练2

（1）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－

cx＋3≤0的解集为（

D

）A.

（－∞，－1]B.

（－∞，－3]∪[1，＋∞）C.

[3，＋∞）D.

（－∞，－1]∪[3，＋∞）D解析：

根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋

bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则

bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋

1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.（2）〔多选〕（2026·山东枣庄调研）已知关于x的不等式（x＋2）（x

－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则（

ABD

）A.

x1＋x2＝2B.

x1x2＜－8C.

－2＜x1＜x2＜4D.

x2－x1＞6ABD

一元二次不等式恒成立问题（师生共研过关）

√

恒成立问题求参数的范围的解题策略（1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数；（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给

定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.训练3

（1）若不等式mx2－4mx＋3≠0对任意实数x均成立，则实数m的

取值范围是（

B

）

B（2）已知∀x∈[1，2]，∀y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值

范围为

⁠.

[6，＋∞）

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：91分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.

{x｜－2≤x≤1}B.

{x｜x≤－2}C.

{x｜－2≤x＜1}D.

{x｜x＞1}123456789101112131415√

2.

（2026·福建泉州月考）设x∈R，使得不等式x2－2x－8＜0成立的一个

充分不必要条件是（

）A.

－2＜x＜4B.

x＞－2C.2≤x≤3D.

x＜4√解析：

由x2－2x－8＜0即（x＋2）（x－4）＜0，解得－2＜x＜4.对

比选项，只有{x｜2≤x≤3}是{x｜－2＜x＜4}的真子集，可知不等式x2

－2x－8＜0成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3.故选C.

1234567891011121314153.

不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（

）√

1234567891011121314154.

不等式（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0的解集是（

）A.

{x｜x＜－1或x＞3}B.

{x｜－1＜x＜2或2＜x＜3}C.

{x｜－1＜x＜3}D.

{x｜－2＜x＜3}√解析：

（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0可化为（x－3）（x＋1）

（x＋2）2＜0，当x＝－2时，不等式显然不成立；当x≠－2时，（x＋

2）2＞0，所以原不等式等价于（x－3）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜3.

综上，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜3}.1234567891011121314155.

若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜

x2}，且x2－x1＝15，则a的值为（

）B.1C.2√

1234567891011121314156.

〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正

确的是（

）A.

当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}√√123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

1234567891011121314159.

（10分）若a＜3，求关于x的不等式ax2－3x＋2＞ax－1的解集.

123456789101112131415

123456789101112131415

10.

当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是

（

）A.

[－1，3]B.

（－∞，－1]C.

[3，＋∞）D.

（－∞，－1）∪（3，＋∞）

√12345678910111213141511.

（2026·江西南昌模拟）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积

为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均

匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过

容积的75%，则V的取值范围为（

）A.

（5，10]B.

（5，15]C.

（5，20]D.

（5，30]√

12345678910111213141512.

若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则

实数m的取值范围为（

）A.

（6，7]B.

[－3，－2）C.

[－3，－2）∪（6，7]D.

[－3，7]√解析：

不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当

m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个

整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为⌀，此时

不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有

4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m

的取值范围为[－3，－2）∪（6，7].故选C.

12345678910111213141513.

若函数f（x）