1 常用损失分布

损失金额模型孟生旺主要内容常见的损失金额分布伽马、逆高斯、对数正态、威布尔、帕累托VaR，TVaR的计算（公式，数值）新分布的生成：变换,混合,组合模型的参数估计免赔额、赔偿限额、通货膨胀的影响2为什么要建立损失金额模型？实际数据有限保证结论的一致性简化结果3来自伽马分布的随机观察值library(gamlss)phi=0.7x1=rGA(100,1000,phi)histDist(x1,family='GA',nbins=100,xlim=c(0,10000),ylab='f(x1)',main='100个观察值')x2=rGA(10000,1000,phi)histDist(x2,family='GA',nbins=100,xlim=c(0,10000),ylab='f(x2)',main='1万个观察值')x3=rGA(100000,1000,phi)histDist(x3,family='GA',nbins=100,ylab='f(x3)',main='10万个观察值')x4=rGA(1000000,1000,phi)histDist(x4,family='GA',nbins=100,ylab='f(x4)',main='100万个观察值')5注意估计误差，例：应用样本观察值估计均值和标准差的误差应用100个样本：984.9675.8应用1万个样本：1005.7703.2应用10万个样本：1000.3699.6应用100万个样本：1000.1700.1样本数据来自伽马分布，真实值：均值1000，标准差700伽马分布6

形状参数（shape）

比率参数（rate）令=1/，则

称作尺度参数（scale）7伽马分布的矩母函数：矩母函数的性质：伽马的可加性：8例：伽马的密度函数（theta=100），形状参数越大，越接近对称x=0:1200alpha=c(1.2,1.5,2,2.5)beta=1/100y1=dgamma(x,shape=alpha[1],rate=beta)y2=dgamma(x,shape=alpha[2],rate=beta)y3=dgamma(x,shape=alpha[3],rate=beta)y4=dgamma(x,shape=alpha[4],rate=beta)y5=dgamma(x,shape=sum(alpha),rate=beta)plot(x,y1,type='l',ylab='f(x)')lines(x,y2,lty=2,col=2)lines(x,y3,lty=3,col=3)lines(x,y4,lty=4,col=4)lines(x,y5,lty=5,col=5)text(c(100,100,100,100),c(6,4,3,2)/1000,paste('alpha=',alpha),col=1:4)text(700,2/1000,paste('alpha=',7.2),col=5)例：伽马分布的密度函数（均值=1000）9library(gamlss)x=0:4000phi=c(0.5,0.7,1,1.5)y1=dGA(x,1000,phi[1])y2=dGA(x,1000,phi[2])y3=dGA(x,1000,phi[3])y4=dGA(x,1000,phi[4])plot(x,y1,type='l',ylab='f(x)')lines(x,y2,lty=2,col=2)lines(x,y3,lty=3,col=3)lines(x,y4,lty=4,col=4)text(900,c(8,6,4,2)/10000,paste('phi=',phi),col=1:4)伽马分布的两个特例指数分布：

=1卡方分布：=n/2,

=1/210例：伽马分布的计算损失金额服从伽马gamma（shape=2，scale=100），应用R计算：（1）损失金额小于20的概率：F(20)（2）损失金额大于100的概率：1–F(100)（3）90%水平下的VaR：（4）90%水平下的TVaR：E(X|X>VaR)（5）模拟100个观察值，绘制直方图11R中的gamma分布：密度函数：dgamma(x,shape,rate=1,scale=1/rate)分布函数：pgamma(q,shape,rate=1,scale=1/rate)分位数函数：qgamma(p,shape,rate=1,scale=1/rate)随机数函数：rgamma(n,shape,rate=1,scale=1/rate)1213##损失金额服从伽马gamma（shape=2,scale=100），计算：#（1）损失金额小于20的概率

pgamma(20,shape=

2,scale=

100)##[1]0.0175231#（2）损失金额大于100的概率

1

-

pgamma(100,shape=

2,scale=

100)##[1]0.7357589#（3）模拟100个观察值，绘制直方图

x=

rgamma(100,shape=

2,scale=

100)

hist(x,col=

'grey')1415#（3）90%水平下的VaR

var90=

qgamma(0.9,shape=

2,scale=

100)

var90##[1]388.972#（4）90%水平下的TVaR

f=

function(x)x*dgamma(x,shape=

2,scale=

100)/(1

-

0.9)integrate(f,var90,Inf)$value##[1]509.4231varf=function(q)qgamma(q,shape=2,scale=100)integrate(varf,0.9,1)$value/(1-0.9)##[1]509.423116逆高斯分布的第一种形式（参见RobKaas)密度函数逆高斯分布分布函数17逆高斯分布的均值、方差和偏度系数分别为：伽马分布的均值、方差和偏度系数为18逆高斯的矩母函数：逆高斯的可加性：19逆高斯参数的极大似然估计（证明见下页）：

21例：逆高斯分布的参数估计##根据损失观察值y估计逆高斯分布的参数：y=

c(1,3,5,7,10,12,15)

mu=

mean(y)

invmu=

mean(1/y)

alpha=

1/(mu*invmu-1)

beta=

alpha/mu

c(alpha,beta)##[1]0.9230.12322逆高斯分布的第二种参数形式：均值、方差、偏度系数为：其中m为均值,

为离散参数23例：逆高斯分布的计算，应用actuar程序包（stamod程序包中有类似函数）逆高斯分布的均值参数为500，离散参数为1/400，计算：

（1）模拟1000个逆高斯分布的观察值，绘制直方图（2）计算损失金额小于200的概率（3）90%水平下的VaR（4）90%水平下的TVaR24##逆高斯分布的均值参数为500，离散参数为1/400

#模拟1000个逆高斯分布的观察值，绘制直方图

library(actuar)x=

rinvgauss(1000,mean=

500,dispersion=1/400)

hist(x,breaks=

20,col=

'grey')25#计算损失金额小于200的概率

pinvgauss(200,mean=

500,dispersion=

1/400)##[1]0.3162386#90%水平下的VaR

var90=

qinvgauss(0.9,mean=

500,dispersion=

1/400)

var90##[1]1110.74#90%水平下的TVaR

f=

function(x)x*dinvgauss(x,mean=

500,dispersion=

1/400)/(1

-

0.9)integrate(f,var90,Inf)$value##[1]1817.73126逆高斯与伽马的比较IG的优点：灵活,从对称到尖峰厚尾与伽玛分布的比较：27Gamma：shape=3;scale=4;IG：mu=12;phi=1/36;均值＝12,方差＝48IG具有尖峰Gamma与IG的比较28均值＝12,方差＝48IG具有厚尾Gamma与IG的比较对数正态分布29注：（1）

和

是lnX

的均值和标准差。（2）存在任意阶矩（见下页）,但矩母函数不存在。如何计算对数正态分布的矩？3031威布尔分布

32

actuar程序包的连续型分布3334InterrelationsbetweendistributionsoftheFeller–Paretofamily.TheFeller-Paretodistributionwithparametersmin=m,shape1=a,shape2=b,shape3=c，

scale=s,hasdensity:35actuar新增的函数36原有：p,

d,

q,

r新增：m,lev，mgfdinvgauss(x,mean,shape=1,dispersion=1/shape)pinvgauss(q,mean,shape=1,dispersion=1/shape)qinvgauss(p,mean,shape=1,dispersion=1/shape)rinvgauss(n,mean,shape=1,dispersion=1/shape)minvgauss(order,mean,shape=1,dispersion=1/shape)levinvgauss(limit,mean,shape=1,dispersion=1/shape,order=1)mgfinvgauss(t,mean,shape=1,dispersion=1/shape)例：逆高斯分布的计算（mean=100，dispersion=0.5）37library(actuar)mean=100;dispersion=0.5pinvgauss(q=100,mean=mean,dispersion=dispersion)#小于100的概率dinvgauss(x=100,mean=mean,dispersion=dispersion)#等于100的密度qinvgauss(p=0.9,mean=mean,dispersion=dispersion)#90%的分位数rinvgauss(n=4,mean=mean,dispersion=dispersion)#模拟4个随机数minvgauss(order=1,mean=mean,dispersion=dispersion)#均值minvgauss(order=2,mean=mean,dispersion=dispersion)#二阶矩levinvgauss(limit=200,mean=