第17讲　功能关系和能量守恒定律

第17讲功能关系和能量守恒定律目标要求1.熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题。2.掌握一对摩擦力做功与能量转化的关系。3.会应用能量守恒观点解决综合问题。目录CONTENTS立足“四层”·夯基础着眼“四翼”·探考点课时跟踪训练立足“四层”·夯基础ccccccc双基落实1.

易错判断（1）力对物体做了多少功，物体就具有多少能。

（

×

）（2）滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的变化。

（

√

）（3）一个物体的能量增加，必定有别的物体的能量减少。

（

√

）×√√2.

〔人教版必修第二册P92图8.4－4改编〕某运动员在一次自由式滑雪空

中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功

2

000

J，他克服阻力做功500

J。在此过程中（

）A.

动能增加了2

500

JB.

动能增加了2

000

JC.

重力势能减小了1

500

JD.

机械能减小了500

J√解析：

重力对他做功2

000

J，则重力势能减少了2

000

J，故C错误；克

服阻力做功500

J，则合力对他做功为1

500

J，由功能关系可知动能增加了

1

500

J，机械能减少了500

J，故A、B错误，D正确。着眼“四翼”·探考点考点一功能关系的理解和应用

几种常见的功能关系及其表达式何种力做功对应能的变化定量的关系合外力做功动能变化W合＝Ek2－Ek1重力做功重力势能变化WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2弹簧弹力做功弹性势能变化W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2只有重力、系

统内弹力做功机械能不变化机械能守恒ΔE＝0非重力和弹力做功机械能变化W其他＝ΔE

（2026·北京房山期末）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十

一号系列运载火箭。如图所示，发射舱内的高压气体先将火箭竖直向上推

出，火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过程

中，下列说法中正确的是（

）A.

火箭的加速度为零时，动能最大B.

高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能C.

火箭受到推力的冲量小于重力和空气阻力的冲量之和D.

高压气体的推力对火箭做的功小于重力和空气阻力对

火箭做功之和A

解析：火箭向上运动过程中受重力、竖直向下的空气阻力和竖直向上的高

压气体的推力，且推力大小不断减小，故火箭先向上做加速度减小的加速

运动，当火箭的加速度为零时，再向上做加速度增大的减速运动，直至速

度为零，故当火箭的加速度为零时，速度最大，动能最大，故A正确；根

据功能关系，可知高压气体释放的能量转化为火箭的动能、重力势能和内

能，故B错误；根据动量定理，可知I推－I重－I阻＝0，解得I推＝I重＋I阻，即

火箭受到推力的冲量等于重力和空气阻力的冲量之和，故C错误；根据功

能关系，可知W推＝W重＋W阻，故D错误。

教材母题

〔多选〕〔教科版必修第二册P101·T2改编〕如图，轻弹簧K一端与墙相

连，质量为4

kg的木块A，沿光滑水平面以5

m/s的速度运动，并压缩弹

簧，则下列说法正确的是（

）A.

在压缩弹簧的过程中，木块A的机械能守恒B.

在压缩弹簧的过程中，木块A与弹簧系统的机械能守恒C.

当木块的速度为2

m/s时，弹性势能为40

JD.

弹簧的最大弹性势能为50

JBD

链接高考

〔多选〕（2025·云南高考10题）如图所示，倾角为θ的固定斜面，其顶

端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为

m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数μ＝tan

θ。过程Ⅰ：Q以速度

v0从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹

簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，

过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（

）D.

连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含

O、M点）之间√√

链接分析

教材母题和2025·云南高考10题：（1）都考查了功能关系的理解和应用；（2）教材母题考查的是光滑水平面的物块弹簧组合，高考题考查的是粗

糙斜面上的物块弹簧组合，情境更为复杂；（3）充分体现了“源于教材、高于教材”的高考命题理念。考点二摩擦力做功中的能量转化

两种摩擦力做功特点的比较类型比较

静摩擦力做功滑动摩擦力做功不

同

点能量

的转

化方

面只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能（1）一部分机械能从一个物体转移到另一个物体（2）一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量类型比较

静摩擦力做功滑动摩擦力做功不同

点做功方面一对相互作用的静摩擦力所做功的代数和总等于零一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W＝－Ffs相对，其绝对值等于发生相对滑动时产生的热量相同

点做功情况两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功

〔多选〕（2026·天津南开期末）如图所示，质量为M、长度为L的小

车静止在光滑水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最

左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速

直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为Ff，小物块滑到小车的最右端

时，小车运动的距离为x。此过程中，以下结论正确的是（

）A.

小物块到达小车最右端时具有的动能为（F－Ff）（L＋x）B.

小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为FfxC.

小物块克服摩擦力所做的功为Ff（L＋x）D.

系统产生的内能为FxABC

解析：小物块滑到小车的最右端时，物块的位移为L＋x，根据动能定理有

（F－Ff）（L＋x）＝Ek1，故A正确；对小车进行分析，根据动能定理有

Ffx＝Ek2，故B正确；小物块的位移为L＋x，小物块克服摩擦力所做的功为

Wf克＝Ff（L＋x），故C正确；小物块与小车的相对位移为L，则系统产生

的内能为Q＝FfL，故D错误。注意区分两个位移（1）计算摩擦力对物体（或木板、传送带）做功时用物体对地的位移x。（2）计算摩擦生热时用相对位移Δx。

（2026·陕西商洛期末）如图所示，以恒定速率v＝1.6

m/s运行的传送带

与水平面间的夹角θ＝37°，转轴间距L＝4.8

m。工作人员将一个装有10

kg小麦的布袋（可视为质点）轻放在传送带的底部，布袋与传送带间的动

摩擦因数μ＝0.8。取重力加速度g＝10

m/s2，sin

37°＝0.6，cos

37°＝

0.8。下列说法正确的是（

）A.

摩擦力对布袋做的功为12.8

JB.

布袋和传送带间因摩擦而产生的内能等于布袋

机械能的增加量C.

布袋与传送带间产生的内能为204.8

JD.

因传送小麦，多消耗的电能为492.8

J√

考点三

功能关系中的图像问题

功能关系中的常见图像图像类型图像示例图像分析Ek-x图像

①物体的动能先减小后增大；②Ek-x图像的斜率表示物体受到的合外力图像类型图像示例图像分析Ep-h图像

①物体的重力势能增大；②Ep-h图像的斜率表示物体受到的重力E-s图像

①物体的机械能减小；②E-s图像的斜率表示物体受到的除重力

或弹力之外的力，而s常与滑动摩擦力做

功及摩擦生热相联系

〔多选〕（2026·湖南长沙模拟）如图甲所示，一质量为1.0

kg，可视

为质点的小铁块在平行于固定斜面的力F作用下由静止开始从斜面底端向

上滑动，力F由一个初始值开始逐渐减小到0后就不再作用。以出发点为零

势能点和原点，铁块的机械能E与其滑行位移x的关系如图乙中OABC所

示，其中OAB段是曲线，BC段是直线，曲线OAB段的最高点A的横坐标是

xA，B点和C点的坐标已在图乙中标出；铁块的重力势能Ep与其滑行位移x

的关系如图乙中直线OC所示，取重力加速度g＝10

m/s2，斜面粗糙程度均

匀，则下列说法正确的是（

）A.

外力F做的功为11.3

JB.

铁块与斜面间的动摩擦因数是0.45C.

铁块上滑xA时，其加速度大小为11

m/s2D.

铁块滑回出发点时的动能为4.7

JAD

★（2026·浙江金华期末）我国的深海载人潜水器处于世界领先水平。某次潜水器由静止开始竖直下潜，下潜过程中受到的阻力与下潜的速度大小成正比，下列关于潜水器的速度—时间图像、动能—位移图像、重力势能—时间图像和机械能—位移图像，可能正确的是（

）√解析：

根据牛顿第二定律得mg－kv＝ma，速度v增大，加速度a减小，

v-t图像切线的斜率减小，图像向下弯曲，当mg＝kv时，潜水器向下做匀速

运动，v-t图像的斜率等于0，故A错误；根据动能定理得Ek＝mgx－kvx＝

（mg－kv）x，Ek-x图像斜率为k1＝mg－kv，v增大，k1减小，当潜水器匀速

向下运动时，图像切线的斜率等于0，动能不变，故B正确；重力的功率为

P＝mgv，重力势能为Ep0－Ep＝Pt，解得Ep＝Ep0－mgvt，Ep-t图像切线斜率

的大小为k2＝mgv，潜水器先加速下降，后匀速下降，图像的斜率先增大后

不变，故C错误；根据功能关系－kvx＝E－E0，解得E＝E0－kvx，E-x图像

切线斜率大小为k3＝kv，潜水器先加速下降，后匀速下降，图像切线的斜

率先增大后不变，故D错误。考点四

能量守恒定律的理解及应用

1.

对能量守恒定律的理解（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和

增加量一定相等。（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和

增加量一定相等。2.

应用能量守恒定律解题的思路（1）分清有多少形式的能（动能、势能、内能等）发生变化。（2）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的

能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。（3）列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。

（2026·河南安阳模拟）如图所示，将原长为R的轻质弹簧放置在倾角

为37°的轨道AB上，一端固定在A点，另一端与滑块P（可视为质点，质量

可调）接触但不连接。AB长为2R，B端与半径为R的光滑圆轨道BCD相

切，D点在O点的正上方，C点与圆心O等高。滑块P与AB间的动摩擦因数μ

＝0.5。用外力推动滑块P，每次都将弹簧压缩至原长的一半，然后放开，

P开始沿轨道AB运动。当P的质量为m时刚好能到达圆轨道的最高点D。已知重力加速度大小为g，sin

37°＝0.6，cos

37°＝0.8。（1）求弹簧压缩至原长的一半时，弹簧的弹性势能Ep；答案：

3.8mgR

（2）改变滑块P的质量为M，使之能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求M的可能值；

（3）若滑块P能滑上圆轨道，且所在位置与O的连线与OC方向的夹角为

37°时恰好脱离圆轨道，求P的质量M'。

涉及弹簧的能量问题两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下

特点：（1）能量转化方面，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能

守恒。（2）如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或

压缩到最大程度时两物体速度相同。

（2026·山东东营模拟）图1所示为消防员采用的高压水枪，图2为某次灭

火的示意图，消防员将出水管与水平地面成θ＝53°角架好，着火点与出

水口的竖直距离H＝11

m，水平距离L＝12

m，水落在着火点。已知出水管

的横截面积S＝

0.005

m2，灭火过程中水枪机器的效率η＝80％，sin

53°

＝0.8，cos

53°＝0.6，水的密度ρ＝1×103

kg/m3，重力加速度g取10

m/s2，忽略空气阻力及出水口与水箱液面的高度差，则水枪机器消耗的功率为（

）A.20

kWB.25

kWC.40

kWD.50

kW√

课时跟踪训练

1.

（2025·江苏苏州一模）如图，某公园里的喷泉有40个相同的喷口，每

个喷泉管口直径为2

cm。喷嘴方向可变化，喷出的水柱最高可达约10

m，

水的密度ρ＝1×103

kg/m3，则喷泉电动机的输出功率约为（

）A.6

kWB.18

kWC.60

kWD.180

kW123456789√

1234567892.

（2026·天津河西期末）如图所示，子弹以水平速度v0射向原来静止在光

滑水平面上的木块，并留在木块中，最终和木块一起运动。已知子弹受到

的平均阻力大小为f，射入深度为d，子弹射入木块的过程中木块移动的距

离为L，忽略空气阻力，在子弹和木块相互作用的过程中，下列说法正确

的是（

）A.

子弹动能的减少量一定等于木块动能的增加量B.

子弹和木块组成的系统机械能减少量为fLC.

子弹动能的减少量为f（L＋d）D.

木块动能的增加量为fd√123456789解析：

根据能量守恒定律，子弹进入木块的过程中，由于阻力的作

用，子弹动能的减少量一定大于木块动能的增加量，子弹和木块组成的系

统机械能减少量等于fd，其中d为子弹相对木块的位移，故A、B错误；对

子弹，由动能定理有－W克f＝ΔEk子弹，解得ΔEk子弹＝－f（L＋d），故子弹

动能的减少量为f（L＋d），C正确；对木块，由动能定理有Wf＝ΔEk木块，

解得ΔEk木块＝fL，D错误。1234567893.

（2025·辽宁沈阳二模）如图所示，一物块（可视为质点）以初速度v0从

足够长的固定斜面底端滑上斜面，运动过程中所受的阻力Ff与速度大小成

正比。以斜面底端为原点O和重力势能的零点，沿斜面向上为正方向，该

物块的动能为Ek、重力势能为Ep、机械能为E、重力做功的绝对值为WG、

位移为s、在斜面上运动的时间为t。在该物块从斜面底端滑上斜面到返回

斜面底端的过程中，下列图像可能正确的是（

）√123456789解析：

设斜面的倾角为θ，物块沿斜面运动的过程中重力做功的绝对值

WG＝mgssin

θ，故A正确；物块在斜面上运动时，上升过程中所受的合力F

＝mgsin

θ＋kv，根据动能定理有－Fs＝Ek－Ek0，Ek-s图线切线的斜率的绝

对值越来越小，下滑过程中，位移s减小，所受的合力F＝mgsin

θ－kv，Ek-

s图线切线的斜率的绝对值越来越小，故B错误；物块上滑到最高点所用的

时间小于下滑到原点的时间，故C错误；物块沿斜面运动的过程中，由于

阻力做负功，物块的机械能一直在减小，故D错误。1234567894.

（2025·云南高考6题）如图所示，质量为m的滑块（视为质点）与水平

面上MN段的动摩擦因数为μ1，与其余部分的动摩擦因数为μ2，且μ1＞μ2。

第一次，滑块从Ⅰ位置以速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的某

一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x1，所用时间为t1；第二次，

滑块从Ⅱ位置以相同速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的另一位

置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x2，所用时间为t2。忽略空气阻

力，则（

）A.

t1＜t2B.

t1＞t2C.

x1＞x2D.

x1＜x2√123456789

123456789

√123456789

123456789

√123456789

1234567897.

（2026·云南昭通开学考）如图所示，左侧有一长为L＝3

m的传送带，

以速度v＝5

m/s顺时针转动，右侧有一质量为M＝6

kg、长为l＝5

m的长木

板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m＝2

kg的小物块（可视为质点）

以初速度v0＝10

m/s从传送带的左端滑上传送带，并且小物块能无机械能

损失地滑上长木板。已知小物块与传送带、长木板间的动摩擦因数均为μ

＝0.6，不计空气阻力，g取10

m/s2。则（

）A.

小物块滑上长木板的速度为5

m/sB.

小物块的最终速度为1

m/sC.

长木板的最终动能Ek＝12

JD.

全过程系统产生的内能Q＝48

J√123456789

123456789

123456789

（1）求滑块a在C点时对轨道压力的大小；123456789答案：

24

N

123456789（2）求滑块a整个运动过程中系统因摩擦而产生的热量；答案：7.92

J

解析：设B点所在水平面为零势能面，滑块a在A处时弹簧储存的弹性势能为

Ep，由能量守恒定律可知Ep＋m1gLsin

37°＝μm1gLcos

37°＋m1gRcos

37°解得Ep＝1.44

J最终滑块a在B与B关于C对称的点之间运动，由能量守恒定律可知Q＝Ep＋m1gLsin

37°解得Q＝7.92

J。123456789（3）若仅将滑块a换为质量为m2＝0.05

kg的滑块b，滑块b由A点弹出后立