高等基础数学 8

———教案一：洛必达法则基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本次教学内容为洛必达法则，是微分中值定理的重要应用，主要解决0/0​型和∞/∞型未定式的极限问题，同时介绍其他类型未定式（0⋅∞、∞−∞、1∞等）的转化方法。内容契合高职数学教学标准，注重实用性和操作性，是求函数极限的重要方法，为后续函数单调性、极值等导数应用奠定基础，培养学生的运算能力和转化与化归的数学思想。教学目标素质目标培养学生严谨的运算习惯，树立“先判断、后求解”的解题意识；2.增强学生的转化与化归数学思想，提升数学运算素养；3.锻炼学生分析问题、解决问题的能力，培育理性思维和工匠精神。知识目标理解未定式的概念，能准确判断0/0​、∞/∞​型未定式；2.掌握洛必达法则的条件和结论，理解法则的推导依据（拉格朗日中值定理）；3.掌握洛必达法则求解0/0​、∞/∞​型未定式的方法，能多次使用法则；4.掌握0⋅∞、∞−∞、1∞、0/0、∞/0型未定式的转化方法，将其转化为0/0​或∞/∞​型后用洛必达法则求解。能力目标能熟练运用洛必达法则求解0/0​、∞/∞​型未定式的极限，能结合等价无穷小替换简化运算；2.能将其他类型未定式转化为0/0​或∞/∞​型，并用洛必达法则求解。教学重点洛必达法则的条件、结论和适用范围；运用洛必达法则求解0/0​、∞/∞​型未定式的极限；3.其他类型未定式转化为0/0​或∞/∞​型的方法。教学难点洛必达法则适用条件的理解，避免滥用法则；多次使用洛必达法则时的条件验证；3.1∞、0/0、∞/0型未定式的转化（利用对数恒等式）。教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动完成测试及预习布置1.回顾函数极限的基本求法、等价无穷小替换公式；2.阅读洛必达法则，思考“未定式”“洛必达法则的解题步骤”。1.课前1天通过学习通发布预习任务和思考题，附带极限基础练习题；2.收集学生预习中的疑问，梳理课堂讲解重点。1.完成极限基础练习题，巩固旧知；2.阅读教材，尝试回答思考题，记录不懂的问题。

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动作业点评，课前引入（5分钟）计算、1.引出新的求极限方法——洛必达法则；2.引出未定式概念：0/0​、∞/∞​型极限。1.产生探究新方法的欲望；2.明确本节课的学习目标。【未定式0/0与洛必达法则】讲解（15分钟））1.未定式的定义：0/0​、∞/∞​型极限，称为未定式；2.洛必达法则（0/0​型）的条件：若；与在点的某一去心邻域内可导，且；为有限数，也可为），则板书未定式和洛必达法则的定义、条件、结论；2.简单介绍柯西中值定理，推导法则（无需详细证明，注重应用）；1.记录未定式和洛必达法则的相关内容；2.认真听讲定义要点，总结0/0型的解题步骤；3.主动向教师请教疑问，注意避免常见错误。【例题讲解】（20分钟）例1求下列函数的极限．;;．例题讲解加深学生的影响，板书解题步骤，强调每一步判断类型，结合等价无穷小替换简化运算；学生跟随老师讲解做好笔记【洛必达法则（0/0）的练习及讲解】知识学习（10分钟）练习1（2）1.教师发布练习任务查看学生做的情况2.教师进行评分3.及时反馈学生存在的问题达到对知识的掌握（成效检验）1.学生根据例题和新知进行尝试练习学生及时将做的结果反馈给老师2.根据教师的讲解及时改正自己的错误【洛必达法则∞/∞】新知识（5分钟）洛必达法则（∞/∞​型）的条件和结论（与0/0​型类似，仅极限为∞）板书∞/∞​型法则的条件和结论，与0/0​型对比；学生跟随思路不断思考和接受新知识【不可使用洛必达法则例题讲解】（5分钟）例2求使用洛必达法则解题，引导学生思考能否求出其极限？辨别不能使用洛必达法则的题【洛必达法则∞/∞】练习（5分钟）练习;1.教师发布练习任务2.查看学生做的情况3.教师进行评分4.及时反馈学生存在的问题达到对知识的掌握（成效检验）1.学生根据例题和新知进行尝试练习学生及时将做的结果反馈给老师2.根据教师的讲解及时改正自己的错误【洛必达法则其他未定型】新知识（5分钟）还有其他类型的未定式，如“”、“”、“”、“”及“”型等．对于“”和“”型的未定式，将它们转化成“”或“”型；对于“”、“”及“”型的未定式，处理方法为利用对数恒等式将它们转化成“”型，然后再转化成“”型或“”型未定式．1.分类板书其他类型未定式的转化方法和步骤；2.讲解5道典型例题，板书详细的转化过程和解题步骤，重点讲解对数恒等式的应用；1.记录各类未定式的转化方法和步骤；2.认真听讲，学习转化技巧，重点理解对数恒等式的应用；【洛必达法则其他型】例题讲解（10分钟）例2求下列函数的极限：;(2);讲解2道典型例题，板书解题步骤，重点演示多次使用法则时的类型验证；认真听讲例题，学习多次使用法则的方法【洛必达法则其他型】练习（5分钟）练习1.教师发布练习任务2.查看学生做的情况3.教师进行评分4.及时反馈学生存在的问题达到对知识的掌握（成效检验）1.学生根据例题和新知进行尝试练习学生及时将做的结果反馈给老师2.根据教师的讲解及时改正自己的错误【课堂总结】（5分钟）1.小结：梳理洛必达法则的核心内容，各类未定式的求解步骤和转化方法，强调注意事项；1.采用提问的方式，引导学生共同梳理知识点，板书知识框架；1.跟随教师梳理知识点，形成系统的知识认知；2.限时完成检测题，检验自己的学习效果，找出不足。教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业1.基础作业：教材习题3-2A组1-3题，巩固0/0​、∞/∞​型极限求解；2.拓展作业：教材习题3-2B组1-6题，掌握各类未定式的转化与求解；1.通过学习通发布作业和错题本模板，明确要求；2.提供作业参考答案，标注解题思路和技巧；3.及时解答学生的作业疑问。1.按时完成基础作业和拓展作业，书写规范；2.认真整理错题，分析错误原因，总结解题经验；3.遇到疑问及时请教教师或与同学讨论。预习布置预习下一节《函数的单调性与极值》，思考“函数的单调性与导数的符号有什么关系”“什么是函数的极值点”。1.发布预习任务和思考题；2.收集学生预习疑问，为下节课做准备。1.阅读教材，完成预习任务；2.记录预习中的疑问，为下节课听课做好准备。 教学反思教案二：函数的单调性基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本次教学内容为高等数学中函数的单调性，是导数应用的核心内容之一，对接高职工科专业后续课程（如物理、工程力学、电工电子等）的数学应用需求，体现学科知识与工程实际应用场景的融合。内容涵盖单调性的判定定理、单调区间求解、单调性的应用（证明不等式、讨论零点个数），注重培养学生的逻辑推理能力和数学应用能力，融入工程思维和科学精神的培育，契合高职层次人才培养的定位教学目标素质目标培养严谨的数学逻辑思维和科学的推理习惯；树立学以致用的数学应用意识，培养解决实际问题的能力；3.养成认真审题、规范解题的学习习惯。知识目标理解函数单调性与导数的关系，掌握单调性的判定定理；2.掌握求函数单调区间的步骤，理解驻点和导数不存在点的意义；3.学会利用单调性证明不等式、讨论函数零点（方程实根）的个数。能力目标能熟练求解各类初等函数的单调区间；能运用单调性证明简单的不等式；3.能利用单调性判断方程实根的个数，提升数学应用能力。教学重点函数单调性的判定定理及单调区间的求解步骤；利用单调性证明不等式；3.利用单调性讨论方程实根的个数。教学难点单调性判定定理的推导理解；构造辅助函数证明不等式；3.结合零点定理和单调性判断方程实根的唯一性教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动完成作业及预习完成1.复习导数的求导法则和拉格朗日中值定理；2.阅读教材中函数单调性与极值的第一节内容，标记不懂的知识点；3.尝试完成教材中简单的基础练习题。1.前在学习通发布预习任务和预习资料；2.收集学生预习中提出的问题，梳理课堂讲解重点。1.完成复习和预习任务，标记疑难问题；2.在学习通留言区提交预习疑问。

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动作业点评，课前引入（5分钟）1.如何用初等方法判断函数的单调性？（作差法、作商法）；2.初等方法对复杂函数（如三次函数、超越函数）求解困难，如何找到更简便的方法？3.1.提问引导学生回忆初等方法；2.展示函数图像，引导学生观察规律；3.引出本节课主题。1.回答教师提问，回忆初等方法；2.观察图像，思考图像升降与斜率的关系。【函数单调性判定定理】讲解（25分钟））1.定理3.1设函数在上连续，在内可导.（1）如果在内恒有，那么函数在上单调增加；（2）如果在内恒有，那么函数在上单调减少.2.驻点的定义：使的点叫做函数的驻点．1.板书推导过程，简化步骤，重点强调条件和结论；2.结合简单例子（y=x²）讲解有限个点导数为零的情况；3.强调驻点的定义和求解方法。1.认真听讲，记录定理内容和注意事项；2.思考例子，理解定理的说明；3.掌握驻点的求解方法。【例题讲解】（15分钟）例1判断函数在区间上的单调性.例2确定下列函数的单调区间．（1）；（2）.例题讲解加深学生的影响，板书解题步骤，总结求函数单调性的步骤学生跟随老师讲解做好笔记【函数单调性的练习及讲解】知识学习（10分钟）练习1(1)；(2)；(3)；梳理求单调区间的三步法：求定义域→求导找驻点和导数不存在的点→分区间判定导数符号；1.学生根据例题和新知进行练习学生及时将做的结果反馈给老师2.根据教师的讲解及时改正自己的错误【函数单调性的应用】新知识（10分钟）1.应用1：证明不等式。讲解构造辅助函数的方法，梳理解题步骤（移项作差设函数→求导判单调性→比较边界值得结论）；2.应用2：讨论零点个数。复习零点定理，梳理“存在性（零点定理）+唯一性（单调性）”的解题逻辑.针对难点进行重点讲解，强调辅助函数的构造和零点定理的使用条件。1.总结构造辅助函数的技巧，板书解题步骤；2.复习零点定理，结合例题讲解实根存在性和唯一性的判定；3.针对学生理解困难的地方反复讲解，提问学生梳理解题逻辑。1.记录应用的解题步骤，理解辅助函数的构造思路；2.复习零点定理，结合例题掌握实根判定的逻辑.【函数单调性的应用】例题讲解（10分钟）例1证明：当时，．例2证明方程在区间内有且仅有一个实根．讲解2道典型例题，板书解题步骤，强调辅助函数的构造和零点定理的使用条件；掌握解题思路和步骤，尝试完成简单的不等式证明和零点个数讨论练习题【函数单调性的应用】练习（10分钟）例2试证.1.教师发布练习任务2.查看学生做的情况3.教师进行评分4.及时反馈学生存在的问题达到对知识的掌握（成效检验）1.学生根据例题进行练习，将做的结果反馈给老师2.根据教师的讲解及时改正自己的错误【课堂总结】（5分钟）1.回顾本节课的核心知识点：单调性判定定理、单调区间求解步骤、单调性的两个应用；2.强调重点和难点：构造辅助函数、实根的存在性与唯一性判定；3.布置课后作业。1.带领学生回顾知识点，梳理知识框架；2.强调重点和难点，提醒学生注意解题易错点；3.明确课后作业的要求和提交时间。1.跟随教师回顾知识点，梳理知识框架；2.记录课后作业，明确学习任务。教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业1.完成教材习题3-3A组全部、B组1-2题；2.整理本节课的笔记，规范例题的解题过程；3.预习下一节《函数的极值与最值》的内容，标记疑难问题。通过学习通发布作业和错题本模板，明确要求；2.提供作业参考答案，标注解题思路和技巧；3.及时解答学生的作业疑问。1.按时完成基础作业和拓展作业；2.认真整理错题，分析错误原因，总结解题经验；3.遇到疑问及时请教教师或与同学讨论。预习布置预习下一节《函数的极值》，思考“函数的单调性与导数的符号有什么关系”“什么是函数的极值点”。1.发布预习任务和思考题；2.收集学生预习疑问，为下节课做准备。1.阅读教材，完成预习任务；2.记录预习中的疑问，为下节课听课做好准备。 教学反思教案三：函数的极值与最值基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本次教学内容是导数应用的延伸与深化，承接上一节函数的单调性，核心讲解函数的极值与最值的判定、求解及实际应用，对接高职工科专业的工程优化问题（如容积最大、成本最小、利润最大等），体现数学与工程实际的紧密结合。内容涵盖极值的定义、极值的判定定理、极值的求解步骤、闭区间上函数的最值求解及实际最值问题的应用，注重培养学生的数学建模能力和工程优化思维，融入工匠精神和创新意识的培育，符合高职职业教育的教学要求。教学目标素质目标培养数学建模能力，树立用数学解决实际问题的意识；培养工程优化思维，提升分析和解决实际问题的能力；3.养成严谨的解题习惯和精益求精的工匠精神。知识目标理解函数极值的定义，区分极值与最值的概念；掌握极值的必要条件和两个充分条件，掌握求函数极值的步骤；掌握闭区间上连续函数最值的求解步骤；4.学会将实际最值问题转化为数学问题，建立函数模型并求解。能力目标能熟练求解各类初等函数的极值点和极值；能准确求解闭区间上连续函数的最大值和最小值；3.能对简单的工程实际问题进行数学建模，求解最值问题，提升数学应用能力。教学重点会求函数的极值的；会求闭区间上函数的最值；3.会求实际的最值。教学难点1.极值的第一、第二充分条件的区别与灵活应用；2.实际最值问题的数学建模（设变量、确定定义域、列目标函数）；3.利用实际问题的性质判定驻点为最值点。教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动完成作业及预习完成1.复习上一节函数的单调性判定及单调区间求解；2.阅读教材中函数的极值与最值的内容。1.前在学习通发布预习任务和预习资料；2.收集学生预习中提出的问题，梳理课堂讲解重点。1.完成复习和预习任务，标记疑难问题；2.在学习通留言区提交预习疑问。

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动作业点评，课前引入（5分钟）函数单调性有什么应用？2.由函数图像（如），观察图像的峰值和谷值，极值的概念；3.如何设计无盖纸箱使容积最大？最值的概念。1.提问引导学生回忆旧知；2.展示函数图像，引导学生观察“峰值”“谷值”；3.提出实际问题，激发学生学习兴趣，引出最值的实际应用，导入最值的计算。1.回答教师提问，回忆单调性的应用；2.观察图像，感知极值的几何意义；3.思考实际问题，产生学习需求。【函数极值的判定定理】讲解（20分钟））1.极值的定义：极大值、极小值、极值点；2.极值的必要条件：可导函数的极值点必为驻点结合例子（y=x³）讲解；3.极值的第一充分条件；4.极值的第二充分条件.1.结合函数图像讲解极值和极值点的定义，强调极值的局部性，对比最值的整体性，让学生区分二者；2.强调条件和易错点。强调“驻点不一定是极值点”；3.极值的第一充分条件，梳理判定步骤，结合例题讲解；强调极值的第二充分条件适用条件（二阶导数存在且，，）1.记录定义、定理内容，区分极值与最值；2.认真听讲，思考教师的讲解过程；3.回答教师提问，参与课堂互动。【例题讲解】（15分钟）例1求下列函数的极值．例2求下列函数的极值．例题讲解加深学生的影响，板书解题步骤，总结求函数极值的步骤学生跟随老师讲解做好笔记【函数极值的练习及讲解】知识学习（10分钟）练习1求下列函数的极值点和极值..梳理求函数极值的的四步法：求定义域→求导找驻点和导数不存在的点→列表→总结；1.学生根据例题和新知进行尝试练习学生及时将做的结果反馈给老师2.根据教师的讲解及时改正自己的错误【函数的最值】新知识（10分钟）1．闭区间上连续函数的最值求连续函数在闭区间上的最值的步骤如下:（1）求出在开区间内的驻点和一阶导数不存在的点:（2）比较函数值,其中的最大者(最小者)便是在上的最大值(最小值).2.单峰函数的最值定义区间内仅有一个极值点，则极值点即为最值点3.在实际问题中的最值讲解闭区间上连续函数的最值存在性定理，说明最值的可能取点：驻点、导数不存在的点、区间端点；2.梳理闭区间上函数最值的求解步骤；3.结合图像讲解单峰函数的最值，让学生理解；4.强调实际问题的最值判定技巧，降低解题难度。1.记录实际问题的解题步骤，理解建模思路；2.跟随教师的思路，参与建模过程。【函数最值】例题讲解（15分钟）例1求函数在区间上的最值．例2现有边长为厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？1.讲解2道典型例题，板书解题步骤，强调板书最值求解步骤，规范解题过程；2.结合图像讲解单峰函数的最值，让学生理解；3.强调实际问题的最值判定技巧，降低解题难度；跟随教师解题思路，掌握最值的解题步骤【函数最值】练习（10分钟）练习已知某厂生产件产品的成本为(元)，产品产量与价格之间的关系：求：(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品？(2)当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润？1.教师发布练习任务2.查看学生做的情况3.教师进行评分4.及时反馈学生存在的问题达到对知识的掌握（成效检验）1.学生根据例题和新知进行尝试练习学生及时将做的结果反馈给老师2.根据教师的讲解及时改正自己的错误【课堂总结】（5分钟）1.回顾本节课的核心知识点：极值的定义与判定、最值的求解、实际最值问题的建模；2.强调重点和难点：极值与最值的区别、两个充分条件的应用、实际问题的建模；3.布置课后作业。1.带领学生回顾知识点，梳理知识框架；2.强调重点和难点，提醒学生注意解题易错点；3.明确课后作业的要求和提交时间。1.跟随教师回顾知识点，梳理知识框架；2.记录课后作业，明确学习任务。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业1.完成教材习题3-4A组全部、B组1-2题；2.整理本节课的笔记，规范极值和最值的解题过程；1.在学习通发布作业，明确提交要求和截止时间；2.批改作业。1.按时完成基础作业和拓展作业，书写规范；2.认真整理错题，分析错误原因，总结解题经验；3.遇到疑问及时请教教师或与同学讨论。预习布置预习下一节《函数的凹凸性与拐点》的内容，标记疑难问题。1.发布预习任务和思考题；2.收集学生预习疑问，为下节课做准备。1.阅读教材，完成预习任务；2.记录预习中的疑问，为下节课听课做好准备。 教学反思教案四：函数的凹凸性与拐点基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本次教学内容是导数应用的进一步拓展，核心讲解函数的凹凸性、拐点及曲线的渐近线，是描绘函数图像的重要基础，对接高职工科专业中函数图像绘制、工程曲线分析等需求，体现数学的工具性和应用性。内容涵盖凹凸性的定义、凹凸性的判定定理、拐点的定义与求解、曲线的水平渐近线和垂直渐近线的判定与求解，注重培养学生的几何直观能力和函数图像分析能力，融入科学精神和数字素养的培育，符合高职职业教育的课程标准要求。教学目标素质目标培养几何直观能力和综合分析能力，提升函数图像的解读与绘制能力；树立数形结合的数学思想，培养用数学方法分析几何问题的意识；3.养成认真分析、细致解题的学习习惯。知识目标理解函数凹凸性的定义，掌握凹凸性的判定定理（二阶导数判定）；理解拐点的定义，掌握求凹凸区间和拐点的步骤；理解水平渐近线和垂直渐近线的定义，掌握其判定与求解方法；4.初步掌握利用单调性、极值、凹凸性、渐近线分析函数图像的方法能力目标1.能熟练判定函数的凹凸性，求解凹凸区间和拐点；2.能准确求解曲线的水平渐近线和垂直渐近线。教学重点函数凹凸性的判定定理及凹凸区间的求解；拐点的定义及求解步骤；3.水平渐近线和垂直渐近线的判定与求解方法。教学难点水平渐近线和垂直渐近线的求解教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动完成作业及预习完成1.复习一阶、二阶导数的求导方法，以及函数的单调性、极值求解；2.阅读教材中函数的凹凸性与拐点的内容，标记凹凸性、拐点、渐近线的不懂知识点；3.尝试完成教材中简单的凹凸性判定练习题。1.提前在学习通发布预习任务和预习资料；2.收集学生预习中提出的问题，梳理课堂讲解重点。1.完成复习和预习任务，标记疑难问题；2.在学习通留言区提交预习疑问。

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动作业点评，课前引入（5分钟）1.提问：之前学习的单调性、极值描述了函数图像的什么特征？（升降、峰值谷值）；2.展示两个单调增加的函数图像（），提问：二者都是单调增加，为何图像弯曲方向不同？1.提问引导学生回忆旧知；2.展示函数图像，引导学生观察图像的弯曲方向；3.引出凹凸性的概念，导入本节课主题。1.回答教师提问，回忆单调性、极值的图像特征；2.观察图像，思考弯曲方向不同的原因；3.产生学习凹凸性的需求。【函数凹凸性的判定定理】讲解（10分钟））凹凸性的定义：凸曲线（切线在曲线上方）、凹曲线（切线在曲线下方）；2.凹凸性的判定定理：结合二阶导数的几何意义，说明时曲线凹，时曲线凸，强调定理的适用条件；1.结合图像讲解凹凸性的定义，让学生直观理解；2.板书判定定理，强调条件和结论，结合图像讲解二阶导数的几何意义；3.讲解定理的说明：有限个点二阶导数为零不影响凹凸性。1.记录定义、定理内容，理解凹凸性的几何特征；2.认真听讲，掌握二阶导数判定凹凸性的方法；3.回答教师提问，参与课堂互动。【函数拐点】新知讲解（10分钟））1.拐点的定义：连续曲线上凹凸性的分界点，；2.拐点的横坐标的可能取点：的点、不存在的点；3.求凹凸区间和拐点的四步法：求定义域→求二阶导数→找或不存在的点→分区间判定二阶导数符号，求拐点。1.结合图像讲解拐点的定义，区分拐点与极值点；2.板书解题步骤，明确每一步的要点。1.记录拐点的定义和解题步骤，区分拐点与极值点；2.模仿教师的解题过程，完成例题；3.回答教师提问，参与课堂互动；【例题讲解】（15分钟）例1判定曲线在区间内的凹凸性.例2求下列曲线的凹凸区间和拐点．(1)；(2)．例题讲解加深学生的影响，板书解题步骤，总结求函数凹凸性的步骤学生跟随老师讲解做好笔记【函数凹凸性练习及讲解】知识学习（10分钟）练习1求下列曲线的凹凸区间和拐点（1）；（2）梳理求函数极值的的四步法：求定义域→求导找拐点和二阶导数不存在的点→列表→总结；1.学生根据例题和新知进行尝试练习学生及时将做的结果反馈给老师2.根据教师的讲解及时改正自己的错误【曲线的渐近线】新知