【《数列极限的求解方法及其应用研究》9800字（论文）】

]中的三个条件都是缺一不可的，另外，若，仍然属型，或者为型，且和都满足了上述定理的要求，则我们就可以考虑继续使用洛必达法则：即简单的说就是：洛必达法则虽然我们可以多次的使用，但是我们每次使用都必须要逐一的来验证其条件。例3.求极限.解：由题意可知，其为型未定式，则可以使用洛必达法则来进行求解原式.此外，对于大部分的数列在求极限时可以直接通过利用洛必达法则来进行求解，但也有例外，以下列举两种需要转换后再通过利用洛必达法则进行求解的例子。在使用洛必达法则求解问题时，我们应该注意该定理只满足充分不必要条件，即已知不存在，我们不能直接推出不存在，也有可能存在，此时就需要用其他方法计算，例如下面这个例题。例4.求极限.解：首先我们利用洛必达法则来求解，如下:原式.可以清楚地看到这个极限是不存在的，但事实上这个数列的极限是的确存在的，所以我们不能用洛必达法则来进行计算，只能根据其它的定理来得出，即无穷小来乘以有界函数所得到的结果的乘积仍然是无穷小的，下面我们通过例题来看一下具体的求解过程：解：.由以上的问题我们已经知道，洛必达法则它是不适用于数列极限，它只能被用于函数极限，所以我们首先可以把这个数列极限中的自然数替换成这个函数中的未知数,然后利用该法则来求含有未知数的函数极限，再利用归结原则，就可以直接得到一个含有自然数的原数列的极限。下面我们以具体实例来求解这类问题：例5.求解数列的极限.解：洛必达法则在求解数列极限方面发挥着很重要的作用，可以说是非常有限的一种方法，但是，它也不是万能的，运用该方法求解数列极限时，我们通常需要考虑将数列能化简的尽量化简，能用等价无穷代换的尽量用等价无穷小代换，只有这样，才能将该法则的作用发挥到极致，这样也减轻了我们在解题中的一些负担。4.数列极限在数学中的实际应用4.1数列极限在定积分中的应用首先我们先给出黎曼积分的定义，即：设是定义在上的一个函数，而为一个确定的数，若对任给的一个正数,总是存在某一个正数,即：，使得在上对任意的分割，在其上任意选取一个点集，即，要，就有则称函数在上（黎曼）可积，而数为函数在上的定积分，记作[3].我们在求解部分数列极限时，有时候需要用到定积分的定义去具体求解数列极限的问题，下面我们通过例题来看数列极限是如何应用到定积分上的。例6.求极限.先分析这个例题，可以看到这个例题中每一项中都有n，显然我们首先考虑到的是否能用定积分来解决这个问题，下面我们来看具体的解题过程：解：因为，又同理所以由迫敛性得由上述的例题我们已经可以清楚地看到，在求解极限问题中时定积分的思想是在极限中的一种应用，进而找到他们之间的内在联系。在我们求解一个极限问题时，我们是将数列极限的表达式的整体通过转化成积分的形态，从而充分体现了定积分在极限求解过程中应用的重要性。当我们在实际应用定积分来帮助解决极限问题时我们首先应该注意以下两个问题，其一，这个极限必须要是一个无穷项和的极限，在经过一系列的恒等变形之后都能够转化成为一个定积分的表达式；其二，在应用定积分的方法来研究解决极限的问题时，我们还需要再考虑使用其它几种求极限的计算方法和手段，如极限的迫敛性和关于重要极限的一些结论等。这样才能更好的方便我们解决问题，达到事半功倍的效果。4.2数列极限在柯西收敛准则中的应用柯西收敛准则的基本定义[1]：数列收敛的充要条件是对∀ε>0，总存在自然数，使得当都大于时,都有an−am上述定义中，我们需要注意到的一个问题是，在实数域中，该准则只是数列极限的一个充分不必要条件。在我们运用柯西收敛准则来计算极限时，我们可以不用确定这个数列的极限是否存在，从理论上就已经可以大致反映出一个数列极限的存在问题，通过对问题的分析，我们可以知道：通过对于一个收敛的数列来分析，收敛数列各项的值越到后面，各项便越是非常接近，直至达到这样一种收敛的形态，也就说是后面的任何两项之差的绝对值都能够小于给定的一个任意正数，所以，我们在选择该准则时，首先我们可以用这个准则来判断数列的收敛性，如果我们可以通过证明的方法来进行证明，那是最好不过的了，最后再考虑如何去求解这个数列的极限。在实数域中，我们经常会使用到下面六个基本定理，即确界定理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，柯西收敛准则等，我们只要知道了任意一个基本定理，就能够推出另外的五个基本定理。因此，柯西收敛准则在求取一个数列极限的方法上与单调有界定理求取数列极限有很大的相似之处，即都是要首先确定这个数列的极限是存在的，再利用相应的定理去求解它。在这里，我们还需要特别注意一点，有的数列的极限不一定会存在，即数列的极限可能不是一个具体的数值，但是，当我们在运用柯西收敛准则时，我们就能够很容易的判断出数列是否收敛或者发散，这样的话，我们就可以知道该数列存在与否。下面我们来看看在下列题型中如何应用柯西收敛准则在数列中的计算。例7.用柯西收敛准则证明数列收敛，即：.先来分析这个例题，显然我们经过其它的一些方法来尝试证明其收敛时，都无法解答，由此我们想到了用柯西收敛准则来进行证明，但在使用该准则进行证明时，柯西收敛的准则的要求是对∀ε>0，总存在自然数，使得都大于,都有an−a证明：由题意可知，对，不妨就取，则对，有，所以只需要当时，即：，恒有，由柯西收敛准则可知这个数列收敛。4.3数列极限在几何问题中的应用4.3.1利用极限法求解圆的面积在我国古代刘徽发现了在《九章算术》中“周三径一”的方法来计算圆周没有精准度，由此创立了割圆术来计算圆的面积，这个方法是刘徽利用逐步二分的方法来分割圆周，最后来求圆的面积。首先第一点就是把这个圆周平均的分成了6份，然后再通过连接各个顶点以后构成了圆内接正六边形，他又接着把这6段相等的圆弧平均的的又划分为了两份，这就便构成了圆内的一个正十二边形，照这样下去，就会被割得越来越细，正多边形和圆的周长的误差就会越来越小，直至和圆的周长重合，这就是所谓的“割圆术”的具体做法，其实这也就是运用了极限的一种思想，在具体的求解极限的过程中实际上也就是得到了这样的一组数列，即：S6为了简便地计算我们可以假设圆的半径是，在圆内接的一个正边形中它的任意一条边所对应的圆心角是，我们可以首先计算出其中一个三角形的面积（利用求三角形面积的其中一个两边夹角的公式，即:），然后就可以得到这个正六边形的面积，面积如下：.当无限的增大时，经过了无数次的切割之后，这个内接正边形的形状就会无限的接近于圆的形状，这个时候它的面积也是在无限的接近于圆的面积。也即就是用有限的去表示无限的思想，无论这个有多么的大，很明显得到的结果其实也就是一个近似值，但是随着无限增大的时候，我们就可以得到了圆面积的一个精确值，得到的正是我们想要的结果，这也是极限的思想的独特的一点。这个极限的求法需要用到函数的极限来辅助求解，当时，有即当无限减小时，的图像与直线是重合的，在这种情况下，我们可以用的值来代替,以在某些领域做近似计算，那么我们可以得到：，于是，当时，此时，即上式，则可得到圆的面积：.4.3.2利用数列极限求抛物线与直线所围成的面积在解决下述问题的前提下，首先得知道微元法，所谓的微元法也就是将要所要研究的对象不断的进行一个无限的细分，然后接着从其中抽取某一段微小的部分来着重进行讨论和研究。再通过我们对图像的分析，找出其中被研究对象整体变化规律的一种方法。很显然，这种计算方法主要体现出来的就是一种具有极限的思想，然后通过我们自己所学的一些数学知识中的思维和方法去分析和解决实际的问题，其中，我们最常用的方法也就是分割，近似求和，取极限，来求解问题，最后将问题简单化。有了这个方法，下面我们将以实例来求解这种类型的几何问题，在解决几何应用问题时，我们最好通过数形结合的办法来解决，如求与y=0和x=1围成的面积时，首先我们根据题意画出相关的图形（见图1）。图1在这个问题中将其在区间中等分成个小区间，即：0,1n，1n,2n，…,n−1n,则这个小矩形的面积之和是：.我们不妨就定义这样的一个数列，可以看到对于每个，它都小于需要求得的“面积”，而且这两者之间的差别都不会大于长为1，宽为的矩形面积，也即，所以，当随着越来越大的时候，也将会无限接近于我们想要求的“面积”，因此，我们可以定义此面积为：.可以看到使用这种定义面积并求解面积的方法既朴素又很简单，是数列极限在数学解题中的一大应用.4.4利用数列极限求方程的数值解我们都知道2这个数，它是一个无理数，那么我们如何运用有理数的方法来无限地逼近2这个数，以此来帮助我们达到事先就已经确定的的精确度，这个问题是我们现在所要解决的一个难题，然而2就是二次方程的一个正根，所以这个问题我们也就可以说成是“求解方程的数值解”。想要真正彻底解决这个求方程数值解的问题，首先，我们必须得要将这个问题重新进行描述，如下：若假设任意给定的一个数，求这个数的近似值，对于一个给定的的一个近似值，即：，在以下两个为正数的和中，我们肯定其中有一个大于，而另外一个小于，当正好也就是的这时候，那么我们就可以有理由指望这两个数的算术平均值，即：当时，它的值可能更加靠近，这样我们能够得到一个期望较好的一个近似值，不妨我们先来看下列式子就比较清楚了。.可以看出：不论这个初值如何，很明显得出的第一次近似值就是过剩近似值，我们不妨就设这个初值本身就是一个过剩近似值，则有x0>x0−a>.由这个不等式我们可以知道：第一次近似值到的距离至多是初值到的距离的一半。当我们再接着重复上述的步骤以后，便会产生一系列的数列其中：由此：.可见这个结果就是，不论这个有多么大，这个数值与的距离我们想要多小它就就有多么小。让我们一起来看看在实践中应用时带来的快捷和便利性，设想我们所要求的是2的一个近似值，我们也不妨就随机地选择其初值（但是这是相当粗糙的一个近似值），不过要达到一个较为精确的近似值，还得考虑利用迭代法来计算近似值，而迭代法就是通过使用递推公式或者循环算法等方法来构造序列来进行求解近似解的一种理论方法，通过反复进行计算的过程，来逐次无限的逼近近似值，如此下去就可以得到一个非常理想的近似值，下面我们具体来看一下反复运用迭代法产生的结果如下：通过分析上述内容，可以看到上述式子和很是接近，所以当迭代到第五次就已经很接近真实值了，很明显其收敛的速度整体令人满意，从文献调研来看，只要上述方程所对应的函数是连续的，且对应零点是孤立的，则存在一个区间范围，只要选取的初始迭代值在该区间范围，通过迭代法求解的近似解序列则一定逐步收敛到真实值，所以迭代到第五次已是相当精确的近似值。[2]5.总结数列极限作为数学分析中常常考察到的基础概念之一，不仅要求我们熟练地掌握这些数列极限的概念、性质及其计算方法，也需要我们能灵活巧妙的应用数列极限的相关知识，只有扎实的掌握数列极限的基础知识，我们才能很好的解决函数极限及微积分的相关问题，那么我们遇到的一些看似困难的问题就可以迎刃而解了。本文主要以数列极限的求法为出发点，通过研究数列极限的定义、性质等简单介绍了求解时常用到的解题方法，再由相关的方法例题引申到数列极限在生活中的具体应用上。在实际解决问题中时，我们发现用定义法来证明极限值就比较抽象，且还存在着很大的局限性。而用单调有界定理的方法来证明一个数列的收敛性时，我们在应用中可以不用考虑其极限，但是必须保证其是单调的。当通过利用迫敛定理来分析和计算来求解数列极限时,又发现应用该定理时其局限性又更大了，因为它是数列收敛的一个充分条件，不是必要条件。所以当我们在对待不同种类的数列极限问题时，我们要根据极限题型的实际情况，来选择合适的求解方法来求值，对于解决哪些过程比较复杂的数列极限问题时，我们尽量将数列化简到最简形式，在结合不同的方法求出对应的极限值，对此，我们要具体问题具体分析，活学活用。本文主要从数列极限的理论角度概述了数列极限的定义与收敛数列的概念及其性质，根据对所求解数列极限的类型归纳分析总结出了有关于数列极限的各种计算方法和技巧，同时，引用具体的实例分析了数列极限在数学分析中的实际应用，分析数列极限的求解方法可以培养学生的极限思维能力，进而运用不同的定理来理解数列极限在解题中的应用.参考文献林潘能.数列极限不同求解方法及应用[J].报刊荟萃,2018,000(007):P.244-244.景慧丽.极限求解方法研究[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2015,31(05):16-22.华东师范大学数学系.数学分析(第四版)上册[M].高等教育出版社，2010,7：23-260.葛喜芳.数列极限的几种计算方法[J].北京工业职业技术学院学报,2013(03):63-65.李婧祎.数列极限在实际中的应用研究[J].赤子(下旬),2016唐燕武.极限的几种求解方法[J].自然科学版,2009,15(3):86-87.周淑娟,郭晓沛,李澎涛.浅谈N项和数列极限的几种求法[J].高等数学研究,2019,22(5):45-47.李素峰.谈数列极限证明中的“放大法”[J].衡水学院学报,2009,11(04):4-7.花中东.浅谈高等数学中几种数列的求法[J].池州学院学报,2007,21(5):127-128.王淑芳.数列极限的求解方法研究[J].高教学刊,2015,16:199-200.但仲康,张亚，朱伟.数列极限的求解方法与技巧探讨[J